а куда-то вверх, задумалась и...
     - Процесс.
     Аудитория ответила гулом одобрения.
     С тех пор прошло уже много лет. Марина стала кандидатом наук, но тот ее
экспромт,  которым она так  удивила  и членов  комиссии и  своих  товарищей,
вспоминается   всякий  раз,  когда  приходится  сталкиваться  со   становыми
проблемами  педагогики. Вот уже, думается, все:  на  этом направлении  можно
поставить последнюю точку  и  более к  нему не  возвращаться. Здесь уже  все
хорошо.  Но проходит еще  немного времени, и  новые мысли,  щемящее  чувство
неудовлетворенности  снова и снова возвращают сознание на  уже, казалось бы,
тысячекратно проторенные пути. Процесс... Не потому ли он так притягателен и
неизбывен, что  всякий  раз, рассматривая уже созданное, человек видит его в
новом освещении, в новых взаимосвязях и взаимозависимостях.
     Вот  во  время решения задачи  No 4002 (из  сборника М.  И. Сканави)  у
семиклассников  произошла заминка. После прочтения условия  "Сумма первого и
пятого членов арифметической прогрессии равна 5/3, а произведение третьего и
четвертого  ее  членов  равно 65/72.  Найти  сумму  17  первых  членов  этой
прогрессии" система уравнений была составлена сразу  же и работавший у доски
ученик предложил провести элементарную замену:

     Так как прямой ход решения приводил к недопустимо громоздким  расчетам,
решение задачи было приостановлено.
     - Подумайте, как проще решить эту систему.
     Полминуты тишины, и ни  единого предложения. Ничего удивительного: этот
вариант решения встретился впервые, и теоретические знания, не подкрепленные
практическими действиями, безмолвствовали.
     -  Пусть  эта запись  останется  на доске,  а мы решим пока  что другую
задачу.
     Прошло не более трех минут, и - рука!
     - Пять третьих - это удвоенный третий член.
     - Почему?
     -  А  потому что любой удвоенный  член арифметической прогрессии  равен
сумме  равно отстоящих  от  нее  членов. Первый и  пятый члены находятся  на
одинаковом расстоянии от третьего.
     -  Все!  Задача  решена.   И  снова   вы  убедились,  как  важно  уметь
отключиться. Как важно возвратиться к  решению задачи после некоторой, пусть
даже чем-то  заполненной паузы. Вам только кажется,  что вы оставили задачу.
На деле же  сознание продолжает над ней работать. Работать без  насилия, без
обязательного требования - выдать решение. Вот так и дома, вот так и всегда:
снова и снова возвращайтесь мыслью к трудной задаче. Возвращайтесь в течение
дня, в течение недели, в  течение месяца. Условие задачи  должно проясниться
до  мельчайших  деталей,  и  мозг  выдаст  вам  решение  в  награду за  вашу
настойчивость.   Вспомните,  как  решил  задачу  всесоюзной   математической
олимпиады в прошлом году Вова  Бустеряков.  Точно  так  же. Первое прочтение
условия. Отключение на  другую задачу. Второе включение, и - устные выкладки
от начала до конца.
     Только теперь  стала  понятна целевая установка приведенного примера  с
урока. Как и всему прочему, ребят нужно учить  работать. Работать грамотно и
продуктивно.  Одними  только  требованиями   и  увещеваниями  ничего,  кроме
отвращения к математике, добиться невозможно.
     Озарение  капризно  и избирательно. Оно не может  прийти к каждому, кто
только  однажды   прикоснулся  к  проблеме.  Озарение  -   это   награда  за
целеустремленность,  за  верность  идее,  за  прилежание, за  веру  в успех.
Сколько  раз  случалось  даже такое, когда ученики приносили в класс решение
задачи, над  которой  думали несколько месяцев.  Счастье  такого  достижения
невозможно сравнить ни  с чем. Дело-то в конечном счете не в самой задаче, а
в  самоутверждении,  в  растущей  вере  в  свои  возможности  и в  глубинном
понимании путей движения к результату, в трудовом настрое на его достижение.
И все это относится  не только к решению задач по физике или математике, а к
творчеству  вообще.  Так  же,  мучительно выверяя  каждую интонацию,  упорно
шлифуя  каждое  ударение и  каждый  слог, пишут стихи.  В творческих поисках
легких  побед  не   бывает!  Если  это  будет  осознано  учеником  и  станет
направляющим фактором в его учебных буднях, то можно с уверенностью сказать,
что зерна труда учителя, попав  в  благодатную почву, дадут добрые всходы, а
потом  и прекрасные  плоды. Памятуя  об этом, каждый  трудный  успех ученика
необходимо  делать достоянием всего класса. Уметь разделить искренне и полно
радость  другого -  редкое  качество человека.  Говорят, друзья  познаются в
беде, но еще более полно они познаются в счастье. Ободряющая улыбка, доброе,
искреннее слово, сердечно высказанное чувство  -  как много  они значат  для
растущего человека

 Лучшее - враг хорошего

     Первое собрание  с  родителями учеников  IV  экспериментального  класса
проводится в последних числах  августа. Цель  проста: еще до начала учебного
года  папы и мамы  должны подготовить некоторые пособия  для  первого урока.
Одно из таких  пособий  - плашки  с номерами  заданий на первые  два  месяца
работы.  Эти  плашки нужно  слегка  увеличить  и  наклеить  на  плотный лист
картона. На плашках  отражены  1500  упражнений  из стабильного учебника  по
математике  для  IV класса, но для решения в классе и самостоятельной работы
дома  выделено  немногим  более  600.  Остальные  помечены  точками,  косыми
крестиками или заштрихованными  квадратиками. Вот  образец первой плашки (с.
293).
     Вначале представлялось, что система  пометок существенного значения  не
имеет: велика  ли разница  - отмечен  квадратик точкой или  косым крестиком?
Оказалось, велика. Плоскость  плашки,  испещренная точками и  крестиками, не
становилась по мере работы  с ней чем-то завершенным -  слишком много на ней
было пустых мест и  прогалин. Работа  с такими  плашками значительно снижала
трудовую  активность   младших  школьников:  на  20-30%   сокращалось  общее
количество   самостоятельно  решаемых  упражнений.  Иное  дело  -  плашка  с
закрашенными квадратиками, представленная  на рисунке. Пустые клетки  - поле
предстоящей  деятельности  ученика.   Появляется  чисто  игровой  интерес  -
закрасить их все (отмечается  каждая решенная задача). И чем меньше остается
пустых клеточек, тем активнее работает  ученик.  Он  знает,  что впереди его
ждет  новая  плашка,  а  предстоящая  встреча  с  новым  в  высшей   степени
притягательна для ребят десятилетнего возраста.
     Если судить  по  плашке,  из  500 номеров учебника школьнику необходимо
решить всего 211. А как же остальные? Сначала произведем простой расчет. 500
номеров - это не 500 заданий. В No 15-4 примера,  в No 32-5 упражнений, в No
33-2 задачи, 500 номеров - это  более 1000 разнообразных упражнений, а всего
в учебнике IV класса их около 4000.


     Обычная норма для работы дома в традиционных условиях -  1 задача  и  1
пример. Всего  в учебном году в  IV классе  210  уроков,  а  это значит, что
ученик,  не  пропустивший  в  течение  года  ни  одного  урока,  может  дома
самостоятельно  решить  около  600  задач  и  примеров. Напомним, что пустые
клеточки  на   плашке   соответствуют   вдвое  большему  числу   упражнений.
Заштрихованные  клеточки  -  это  поле  деятельности  учителя  для   подбора
упражнений, выполняемых на  уроках коллективно и индивидуально. Значительное
число упражнений,  отмеченных заштрихованными клеточками, представляют собой
тренировочные,  необходимость в которых  при систематической  работе каждого
ученика просто отпадает  и  которые  в дальнейшем, по мере совершенствования
учебного процесса, не будут включаться в стабильные сборники задач. Учебники
станут несколько тоньше, но более насыщенными.
     Действенность  таких плашек  без труда может проверить  на  практике не
только любой учитель, но  и любой родитель. Дети охотно включаются в  игру и
стремятся решать задачи  каждую  свободную минуту. Без всяких  напоминаний и
принуждений.   Спустя   некоторое   время   на   смену   игровому   приходит
познавательный  интерес, а вместе с  ним  - успехи  в  учении  и  совершенно
закономерное чувство достоинства и самоуважения. Задача учителей и родителей
в этом процессе только одна: обеспечить систематическую проверку выполняемых
упражнений.     Дома     это     делают      родители,     в     школе     -
консультанты-старшеклассники.
     Несколько слов  о  двух точках  на  первой  плашке.  Они  соответствуют
задачам в учебнике No 301 и 347. Их решать вовсе не нужно. Никогда. Приведем
полное условие первой из них.
     "Пошел  дождь. Под  водосточную трубу  поставили  пустую  бочку.  В нее
вливалось каждую  минуту  8  л  воды. Через щель в бочке вытекало 3 л воды в
минуту. Сколько литров воды будет в бочке через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 4 мин и
т. д. до 10 мин?"
     На  научную нелепость  таких задач в свое время  указывал еще известный
советский писатель Я. И. Перельман, но, увы, ошибка  столь живуча, что о ней
приходится говорить снова спустя полвека. Дело в том, что по мере наполнения
бочки  давление   воды  на  уровне  щели  будет  возрастать,  а   количество
выливающейся жидкости - непрерывно увеличиваться.  Может случиться даже так,
что через  некоторое  время  количество выливающейся  жидкости сравняется  с
количеством поступающей и подъем уровня жидкости в бочке просто прекратится.
С такого рода задачами, когда речь идет  о  переменных величинах, нужно быть
чрезвычайно  осторожным (взлет  ракеты  при  сокращающейся  массе  горючего,
сползание каната  со  стола под действием собственной силы тяжести  -  таких
примеров достаточно много).

 Любите книгу - источник знаний

     Да, книга - источник знаний. Да, книгу нужно любить. Но нельзя из книги
делать культ.  Книги бывают разные - хорошие и плохие, полезные и вредные, и
несчастны те дети, которым никто и никогда не показывал совершенно очевидных
ошибок даже в  самых хороших книгах, не говоря  уже  о  школьных  учебниках.
"Будьте внимательны,- говорим мы детям.- Книги пишут обычные,  такие же, как
и мы с вами, люди. Им свойственно заблуждаться, ошибаться, и хотя над каждой
книгой работает множество людей - авторы, рецензенты, редакторы, корректоры,
в книгах все же довольно часто встречаются ошибки и опечатки".
     Школьники,  наученные  критически читать,  часто  находят  оригинальные
доказательства  теорем  (случается,  даже  изящнее   тех,  которые   даны  в
стабильных учебниках), обнаруживают ошибки в предложенных  авторами  ответах
на различного рода  примеры  и  задачи. Ученик, для  которого книга  - идол,
может бесплодно терять многие часы в поисках решения, подводя его к ответу в
книге, хотя  в результате ошибки автора  этого ответа просто не  существует.
Ученик же, уверенный  в своей правоте, спокойно  и  строго  докажет верность
выбранного им пути решения и полученного ответа. Вспоминается случай,  когда
ученица  VIII  экспериментального  класса  Таня Аминина не  только  доказала
ошибочность   ответа  в  сборнике  задач,  но  и,  перебрав  огромное  число
вариантов,  нашла  злополучную цифру,  которую  нужно  было заменить,  чтобы
получить  ответ  автора. Девочку к  этому никто  не  понуждал: эка невидаль,
опечатка,  мало ли  их  случается в новых  изданиях?  Но  нужно  было видеть
десятки  исписанных  листов,  чтобы  понять и  оценить  титаническую работу,
проведенную в  поисках условия примера, соответствующего  ответу. Вдумаемся:
ошибочной могла быть  любая  из полусотни  цифр,  любой из  знаков действий,
любая  скобка,  любая черта  дроби.  И не  одна... Добавим к  этому,  что до
прихода  в  экспериментальный класс Таня была рядовой троечницей. Сейчас она
научный сотрудник высшего  учебного заведения. Этот факт  отражает не только
качество   учебного   труда,  но  и  уровень   расчетных  навыков   учеников
экспериментальных классов, который может быть достигнут всего только за один
учебный  год,  независимо  от  того,  ведется работа с учащимися IV или VIII
класса.
     Весной  1986 г.  была проведена необычная сопоставительная  контрольная
между учащимися  IV экспериментального класса и выпускниками  очень сильного
(11 медалистов) X класса  по решению конкурсных примеров  на все действия  с
обыкновенными, десятичными  и  периодическими дробями. Итог: десятиклассники
решили   30   примеров  (количество   писавших   работу  было   одинаковым),
четвероклассники  - 34 примера. И это при условии, что 150 из заштрихованных
на плашке квадратиков  (т.  е. на выделенных для самостоятельного выполнения
заданий) - примеры.
     Все  дело  в  подходе  к  самим  примерам.  Нет  никакой  необходимости
расходовать драгоценное время  уроков на  выработку  вычислительных навыков:
они приходят сами по себе в процессе решения разнообразных задач и примеров.
Действия же с дробными числами во всех деталях аналогичны характеру работы с
целыми числами.  Стало быть, можно не  тратить  время на  примерах с  целыми
числами, а как можно раньше, уже во второй четверти IV класса, переходить ко
всем  действиям с  дробями,  т.  е.  к  тому учебному  материалу, который  в
основном перенесен на пятый  год  обучения.  В  этом  скрыт  одни  из  самых
значительных  резервов  ускоренного  (и  более  основательного!) прохождения
программы по математике.
     Рассмотрев попутно первые рекомендации по решению примеров, возвратимся
к основной мысли  этого короткого  раздела: каждую  обнаруженную в  учебнике
ошибку надо непременно обсуждать  с ребятами.  Это развивает у них вдумчивое
отношение к тексту, способствует их самоутверждению и независимости в лучшем
смысле этих слов.

 Наташины окошки

     Если кому-то из читателей  покажется, что  после  первого родительского
собрания все папы и мамы сделают своим детям красивые и  прочные плашки, уже
одним только  своим  внешним  видом  зовущие  к решению задач,  то это будет
непростительной наивностью.  Чего только не принесут ребята к первому уроку!
И кривые  картонки,  и  вырванные из тетради  листы  в  клеточку  с небрежно
нарисованными  на  них  сетками  плашек,  и   тяжелые  фанерные  пластины...
Некоторые  вообще  ничего  не  принесут.  И  чему,  собственно,  удивляться:
родители -  выпускники  вчерашней  школы,  многие  из них приучены  работать
спустя рукава или совсем не работать. Начинается индивидуальное обучение пап
и  мам.  По мановению  волшебной  палочки  ничего  не  происходит.  Родители
врастают в работу на  новой методической основе значительно  труднее, чем их
дети. Сказывается труднопреодолимый разрыв между семьей и школой. Постепенно
все  образуется,  возникнет  взаимопонимание,  но  это  будет потом,  а пока
тетрадные листочки  теряются,  картонки лохматятся и  приходят в совершенную
негодность.
     Саша Пономаренко  терял  свои плашки в течение учебного года  не  менее
четырех  раз.  Потом  они  вдруг находились  -  под  школьными вешалками, за
радиаторами, в  темных чуланах. Оставалось загадкой,  каким образом они туда
попадали.  Сам  Саша  смотрел на всех кристально  чистыми глазами и искренне
недоумевал по  поводу каждого  исчезновения очередной плашки.  Папа  - врач,
человек чрезвычайно занятой, удивлялся вместе с сыном, и каждую новую плашку
делал все более массивной.
     Иное дело - Наташа  Нестерцова. Ей плашку сделали маленькую, аккуратную
и  черную, как воронье крыло: все  заштрихованные квадратики залили сплошным
слоем туши. Циферки на  плашке - чуть побольше  маковых  зернышек,  и оттого
Наташа то строчку перепутает, то не по тому столбику пальцем поведет. Ребята
шли  вперед,  их   строчки  в  ведомости   открытого  учета  решенных  задач
заполнялись все новыми квадратиками, а Наташа топталась на месте, теряя веру
в свой возможный успех. Причин же тому было две. Первая - неудачная  плашка,
вторая  -   Наташина   невнимательность.   Да   и  откуда   ей   было  быть,
внимательности,  если  за весь предыдущий учебный  год  в  III классе Наташа
получила  около  50 троек, столько же двоек  и несколько четверок за ведение
тетради - писала  девочка  аккуратно и  красиво. Вот и весь багаж  Наташи, с
которым  она  пришла  в экспериментальный класс. На протяжении  первых  трех
месяцев  она  сидела в  классе безмолвным холмиком с большими,  наполненными
испугом глазами.  Ни малейшего  движения  и никакой  попытки поднять руку, а
если называлась ее фамилия, то холмик вставал и  снова-таки беззвучно хлопал
длиннющими  ресницами. Правда,  иногда Наташа открывала рот,  но только  для
того, чтобы протяжно и горестно вздохнуть.
     Пустые клеточки в плашках в первые  недели  (так  было легче вести учет
решенных  задач) закрашивались  яркими фломастерами. У других ребят на  фоне
бледных  заштрихованных  пастой  от  шариковых  ручек  квадратиков  все  это
смотрелось цветастой, но  ничем не примечательной картиной. А у Наташи среди
сплошной черноты...
     - Посмотри, как интересно! Это  у тебя  на плашке ночь,  большой черный
дом,  и в его окошках -  новогодние  огни.  Ты решаешь задачу, и  сразу же у
кого-то в квартире радость: зажглась новогодняя елка.
     Образность  сравнения была столь  неожиданной и  точной,  что  стоявшие
рядом ребята потянулись к Наташиной плашке,  а  девочка,  слегка зардевшись,
улыбалась счастливо и благодарно.
     На следующий день она принесла в тетради вдвое больше задач, чем делала
это обычно.  Через две недели в школу пришел Наташин папа, который, несмотря
на запрет, помогал дочери решать задачи, и удивленно сообщил:
     - Категорически  отказалась  от помощи. Сидит  за  математикой, как  не
сидела никогда. Ошибается,  зачеркивает, исписывает  лист за листом и  почти
всегда приходит к правильному ответу. Что произошло?
     Откуда  ему было знать, что у Наташи отзывчивое и доброе сердце, что ей
очень хочется, пусть даже понарошку, приносить людям счастье - зажигать в их
квартирах новогодние елки. Но  ведь зажечь  огоньки в  одном только домике -
это значит решить более 200  упражнений.  Это значит, что бесхитростная игра
неприметно,   исподволь   пробуждает  интерес  к   математике,  приучает   к
умственному   напряжению,   к   систематическому   самостоятельному  поиску,
укрепляет чувство самоуважения. С Наташей эта метаморфоза  произошла к концу
первого учебного года. Решительно  и  смело  она  предлагала свои  ответы на
вопросы,  а  выходя к  доске,  каждый раз  возвращалась  на место  с  высоко
поднятой головой: задачи, ранее побеждавшие ее, теперь  безропотно сдавались
перед ней.  Но  что  -  Наташа! Нужно было  видеть,  с каким  воодушевлением
смотрели на  нее те, кто еще вчера  ходил в середнячках и  для кого не далее
как  вчера  она  была молчаливым холмиком с  большими  глазами. К  концу  IV
класса, упустив время в начале года, Наташа не успела решить все задачи по V
классу, но  в новом учебному году, работая по учебникам алгебры и  геометрии
для  VI класса, она  продолжала  ежедневно приносить  задачи по  книге для V
класса,  пока  не  закончила  ее  полностью.  Обязательность -  вот  главное
качество,  которое  приобрела  Наташа  всего  за  один только  учебный  год.
Разумеется, в Наташином преображении главную роль сыграла  не столько удачно
найденная игра в задачи-окошки, сколько  благожелательная поддержка старшими
усилий ребенка, ежедневная  проверка решенных задач, умная  помощь в случаях
затруднений,  умение  заметить  и  разделить  радость победы.  Но вот решены
первые  200  задач. Рисовать новый домик-плашку?  Не  нужно.  Лучше  сделать
плашку-аппликацию,  на которой  каждая  клеточка заклеивается квадратиком из
цветной бумаги.  Цвета  подбираются  таким образом,  чтобы после  завершения
работы на  плоскости  листа  образовалась  какая-либо фраза.  Вот  такая,  к
примеру, плашка, заключенная в рамку и взятая под стекло, висит над столом у
одного из наших учеников:


     Размер  ее,  правда, несколько  больше  -  около 2000 клеточек. Столько
задач  решил  Саша и  сделал  из  цветных квадратиков  красивую  аппликацию.
Поучительная самоделка.

     Н