аждому циклу
учащиеся  станут  возвращаться раз в 10 дней. В дальнейшем  промежутки между
циклами увеличатся  д0 18  дней,  но беды в этом  уже  не  будет:  глубина и
прочность знайки  по  материалу  первых циклов  достигают такого уровня, при
котором некоторое смещение  акцента на задачи из новых разделов не ослабляет
практических  навыков  учащихся  по ранее  изученным  разделам. Многократное
повторение  идет не по  кругу, а по  спирали.  И  теперь впору  вспомнить  о
релейной работе, подводящей итог решению  задач за весь учебный  год.  Вот и
получается,  что задачи  из  каждого  раздела  находятся  в  поле  активного
внимания  учащихся  на  протяжении  учебного  года,   а  это   уже  само  по
себе становится гарантом успешного изучения всего предмета.

 Приглашение к эксперименту

     Предположим, что учащиеся  двух классов - обычного и экспериментального
- закончили изучение раздела "Архимедова  сила. Плавание тел". Если  теперь,
спустя  3-4 урока, провести в этих классах контрольную, то учащиеся обычного
класса,  возможно, напишут ее значительно лучше  чем  ребята, обучающиеся по
новой  методике.  И  это понятно: для  учителя, работающего  в  традиционных
условиях, задачам из нового раздела уделяется  особое внимание  в ущерб всем
остальным. В экспериментальном же классе  вокруг задач по  новому разделу не
создается никакого ажиотажа. Они включаются  в  общий план  работы,  и после
прохождения  раздела начинается  неторопливая  доводка  навыков  учащихся  в
умении решать задачи этого типа - от простых до головоломных. Новая методика
начисто  исключает   какую   бы  то   ни  было   штурмовщину,  натаскивание,
нервозность.  Ускоренное изучение  теоретического  материала оставляет много
времени для  основательного решения задач, поиска  и моделирования различных
вариантов оперирования теоретическими знаниями на практике.
     Прошло  два  месяца. Если теперь  без  всякого  предупреждения провести
снова контрольную по  разделу "Архимедова сила. Плавание  тел", то  учащиеся
экспериментального класса  напишут ее в  несколько раз лучше, чем  в обычном
классе. И наконец, если эту же работу провести в обычном IX или X классе, то
результаты ее  окажутся не просто плохими -  провальными.  Каждый учитель  и
каждый директор школы может убедиться в этом завтра же.
     При  работе  в  новых  методических условиях  знания  и  умения по всем
разделам  курса физики нарастают от урока  к  уроку на  протяжении  всех лет
обучения,  и  в  IX классе с контрольной по любому разделу, изученному в VI,
VII  или  VIII  классе,   справится  каждый  ученик.   Подобные  контрольные
проводились неоднократно, и о результатах их еще будет рассказано. Сейчас же
есть смысл вспомнить о другой проверочной работе.
     Весной  1974 г. девятиклассники закончили программу  средней  школы  по
математике. Только по математике, так как физикой они начали заниматься не с
VIII класса, как это было в наборе  1970 г., а  только  с IX. Кроме того,  в
1974/75 учебном  году во всех школах было  введено изучение разделов  высшей
математики.  Имея в  резерве целый учебный год, экспериментаторы решили за 3
месяца концентрированно изучить новую программу по высшей математике,  с тем
чтобы в оставшиеся 6 месяцев учебного года уделить главное внимание физике и
вести обзорное повторение курса математики.  При таком плане работы первые 3
месяца  не  велось   никакого  повторения  курса   элементарной  математики,
завершенного  еще в  мае. И  вдруг  в конце октября  из  Москвы  и из  Киева
одновременно    приехала   большая   группа   работников    министерства   и
научно-исследовательских институтов АПН СССР для изучения нового дела. После
нескольких  дней   посещений  уроков  решено  было  провести   сравнительную
контрольную. Но где найти спаринг-партнера для экспериментального IX класса,
который   уже   завершил   изучение   полного   курса   математики,  а   все
десятиклассники  страны  еще  только  заканчивали  программу первой  учебной
четверти? И все  же  интересно  было  узнать,  что  сохранилось в  знаниях и
умениях учащихся, если с мая до  ноября  никто ничего не повторял и не решал
из  курса   IX  класса.  Контрольную  пришлось   давать   без  сопоставления
результатов  -  только  в экспериментальном  классе. Ребятам было объявлено:
итоги работы не будут влиять ни на четвертную, ни на годовую  отметку. Можно
решать спокойно. Такое  объявление было нелишним:  члены комиссии предложили
каждому ученику на 2 учебных  часа 23 задания! Теоретические вопросы, задачи
по алгебре и геометрии, часть которых  была взята из письменных контрольных,
предлагавшихся на  вступительных экзаменах  в Московский  физико-технический
институт  в  1972 г.  Упражнения  охватывали  всю программу  средней  школы:
логарифмы,  прогрессии,  уравнения,  системы  уравнений,  тригонометрические
уравнения, логарифмические неравенства, графики,  задачи по планиметрии и по
стереометрии. Каково  же  было  удивление  многочисленных  участников  этого
эксперимента, когда более половины учащихся  выполнили от  15 до 20 заданий!
Общее мнение было единодушным: класс с контрольной справился блестяще.

 Восхождение по спирали

     После всего сказанного может остаться только одно  сомнение: в учебнике
физики для VI класса  всего  только 49 задач по разделу "Архимедова сила", и
все  они  весьма  простые.   На  каком  же  тогда  материале  отрабатываются
практические  умения  учащихся,  если  в последующие  годы  изучаются  новые
разделы  с задачами большей сложности?  Кроме стабильного учебника  есть еще
сборник   задач   группы   минских   авторов27.   Таким   образом
обеспечивается уровень знаний  и навыков, необходимый для того, чтобы решать
задачи разной сложности и типов, в  том числе комбинированные, основанные на
нескольких разделах  физики  одновременно. Кроме того, напомним, в VI классе
школьники   заканчивают   программу  по  математике   VIII   класса   и   их
математическая  подготовка   позволяет   одолеть  любую   задачу   из  самых
разнообразных  сборников по физике. Вопрос о  лимите времени отпадает сам по
себе: весь курс физики без  каких-либо  затруднений укладывается  в  380-400
уроков  вместо 627, предусмотренных  современными  программами,  и  изучение
физики завершается не  в X, а в IX классе. Тем самым создается резервный год
для  выхода на такой уровень  знаний, о  котором вчера  еще  никто не  мог и
помышлять.
     При массовом  переходе на новую  методическую систему  неизбежно должен
быть  поставлен вопрос  о дифференциации  обучения  и  создании  по  каждому
учебному предмету, связанному с выполнением упражнений, сборников задач двух
концентров.  Первый  из них  будет  содержать  обязательные  задачи для всех
учащихся,  вне  зависимости от  их  склонностей. Второй  -  целенаправленные
задачи  для  учащихся,  проявляющих  способности  и  интерес к тем или  иным
наукам.
     Используя большое  количество разнообразных  сборников  задач, учащиеся
неоднократно  возвращаются  к  исходному,  основополагающему  теоретическому
материалу,  поднимаясь тем  самым  на  новые уровни его  освоения. Это снова
напоминает  восхождение  по  спирали.  Например,  в  X  классе,  когда  весь
теоретический курс математики уже был изучен, ребята  работали в основном со
сборником задач по  математике для  конкурсных  экзаменов во втузы.  В  этом
сборнике  16  глав.  В школе на первом уроке  (спаренном) кроме  всех прочих
работ ребята решали 5 задач (группы Б и В)  из 5 последовательно идущих одна
за  другой глав: 2-й и 6-й (1-я не учитывается, так  как решение примеров  с
арифметическими действиями к тому времени  уже было  освоено  полностью). На
втором уроке этого же цикла подбирались  задачи из 7-11-й глав, на последнем
уроке цикла - из  трех последних  глав. Промежутки между циклами  составляли
1-2 урока, на которых использовались другие сборники задач.
     Как видим, в работе по развитию навыков решения задач высокой сложности
нет ни торопливости, ни искусственности. Все  естественно, просто и надежно:
уже через несколько циклов ребята осваивают  конкурсный  сборник и  начинают
делать  первые попытки  подступиться  к  задачам  нового  уровня  сложности.
Однажды покоривший вершину всегда стремится подняться на еще более высокую и
недоступную.  Любознательность  и желание испытать  себя свойственны каждому
человеку. Попробуйте воспротивиться неуемной потребности годовалого карапуза
в  активной деятельности, и  вы оставите  эту пустую  затею после первых  же
попыток.  Постигнув премудрость  разгадывания ребусов, мы  всегда  и  охотно
делаем это  на протяжении всей нашей жизни.  Обладая достаточным лексическим
запасом,  мы никогда не пройдем мимо  кроссворда, будь он  в районной газете
или в журнале "Огонек". И так во всем. Выскажем,  однако, одно  соображение.
Мы  с  удовольствием и увлечением разгадываем, например, кроссворды,  потому
что это  для  нас отдых,  но  если  бы в каком-либо учреждении  существовала
должность  разгадывателя кроссвордов,  отношение  к этому виду деятельности,
очевидно, было бы совершенно иным. В условиях традиционного обучения никто и
никогда не  ставил  вопрос о том,  является  ли решение задач  учащимися  во
внеурочное время трудом или отдыхом,  обязательным  или  свободно  выбранным
занятием.  Если   речь  вести  о  традиционных  формах  работы,  то  задачи,
рассчитанные на "среднего  ученика",  неинтересны и мало что  дают, как  уже
было показано, большей  части ребят. Стало  быть это труд, но безрадостный и
тягостный.

 Солнцем полна голова!

     Иное  дело,  когда  успех   обеспечен  фундаментальной  предварительной
подготовкой и нет  страха даже перед самой  сложной задачей, а значит, нужны
лишь воля  и упорство, чтобы прийти к желаемому результату. Иное дело, когда
радость  победы разделит с тобой старший  товарищ  - твой  консультант. Иное
дело, когда о твоей победе  заявит во всеуслышание ведомость открытого учета
решенных  задач  и  никто  никогда  не  сможет  обвинить  в  зазнайстве  или
бахвальстве.  Для бравады  или  бахвальства  просто нет  оснований.  Голубые
ручейки строчек  ведомости, обгоняя друг друга, не позволяют остановиться на
месте,  отстать:  идет  движение  вперед  фронтом,  лавиной.  Перед кем  тут
важничать? А случится сбой, она же, эта  самая ведомость, немедленно сообщит
об этом, и сигнал тревоги включит в работу такое действенное средство помощи
из  методического  арсенала,  как урок  открытых  задач. Ведь на этом  уроке
ученик имеет право обратиться  к учителю  с просьбой  помочь ему  в  решении
любой   затрудняющей  его   задачи.   Каждый   урок  открытых  задач  ребята
воспринимают  как маленький  праздник, после которого солнцем  полна голова!
Уроки открытых  задач на  корню  пресекают  попытки  списывания  и сетования
родителей  на непосильность задач, которые "не получаются" у их детей. Уроки
открытых   задач  -  рычаг  управления  самостоятельной  работой   учащихся.
Сообщение  о  предстоящем  уроке  открытых задач  ребята  встречают  дружным
"ура!". Уроки эти проводятся не столь уж часто - один  раз в  3 недели, и за
это  время у каждого накапливается по несколько "неподъемных"  задач, иногда
по 100 и  более. Как  же справиться со всеми  за один урок, может возникнуть
недоуменный вопрос. Но ведь одна и та же задача  вызывает обычно затруднения
одновременно у  многих,  и  достаточно  ее разобрать,  чтобы отпал сразу ряд
вопросов.
     Звонок, и мгновенно - тишина. Учитель у доски.
     - Ну-с, так какая задача у кого не получается?
     Класс отвечает частоколом  рук. В сущности, вопросы  назрели  у всех, и
каждый дома подготовил список "трудных орешков".
     - Желтков, пожалуйста.
     - No 1111 по V классу 28.
     В этот момент можно видеть, как 10-15  человек сразу же опустили руки -
хотели спросить о той же  самой задаче. Как же теперь пойдет работа над этой
задачей?  Это зависит от  многих обстоятельств,  в  частности  от  сложности
задачи; громоздкости необходимых для ее решения вычислений, общей готовности
класса  к решению  этой задачи,  подготовленности ученика, задавшего вопрос,
оставшегося  на  уроке времени  до звонка,  наличия  в классе учащихся,  уже
решивших эту  задачу, и т.д. Остановимся. Учитель, разумеется, не компьютер,
но он должен  держать  в голове  эту  и  другую информацию, чтобы  мгновенно
выбрать  оптимальный  методический  путь  решения  задачи.  А  путей этих  -
видимо-невидимо. Отметим пунктирно лишь некоторые:
     вызвать к доске решать задачу ученика, задавшего вопрос;
     записать на доске краткое условие и предложить классу найти решение
задачи;
     дать время учащимся прочитать условие и подумать над решением;
     вызвать к доске того, кто ранее самостоятельно решил эту задачу;
     вызвать  одного из тех,  кто предложит решение после краткой записи
на доске или после чтения условия по книге;
     вызвать ученика,  который руки не  поднимал и желания решать задачу
не высказывал;
     вызвать одного из лучших, одного из слабых или кого-либо другого;
     решать задачу будет сам учитель;
     во  время  решения  позволить  ребятам  делать  черновые пометки  в
тетрадях или на листочках;
     не позволять делать никаких записей;
     выполнять  все  действия  и  вести   решение  вплоть  до  получения
окончательного результата;
     записывать все промежуточные действия на доске;
     проговаривать  вопросы, действия и  выполнять  их  устно, не  делая
никаких записей на доске;
     начать решение сразу после заданного учеником вопроса или  провести
отсроченное решение в середине  или в конце урока после нескольких возвратов
к условию, когда смысл задачи станет ясным всем учащимся;
     решать  задачу по частям, когда каждый из вызванных  к доске станет
выполнять 1-3 действия;
     решать задачу, не вызывая учеников  к доске,  а только проговаривая
вопросы и действия с места.

     Скомбинировав  все  возможные  варианты   из  16  перечисленных,  можно
получить четкое  представление о величине "видимо-невидимо".  Но вернемся на
урок.
     - Как предлагает решать задачу Эпель?
     - Эту задачу нужно решать с помощью уравнения.
     - Что предлагает для этого Чефанов?
     - За х примем количество бензина в первой бочке.
     - Тогда... Южелевский.
     - Тогда во второй бочке (725-х) литров.
     - Дальше Озерская.
     -  Теперь найдем  1/3 от  х и  из  х вычтем 2/3х.
Получится 2/3х. Это количество литров бензина, которое осталось в
первой бочке...
     В этот момент поднимается Желтков, который попросил решить эту задачу.
     - Дальше понятно?
     - Понятно!  Теперь найдем 2/7 от 725-х, и то, что получится,
вычтем  из  725-х.  Это  бензин,   оставшийся  во  второй  бочке.  А  теперь
приравняем!
     - Прочитай окончательное уравнение.
     - 2/3х равно 725-x, минус 2/7, умножить на 725-х.
     - Сколько получится в первой части?
     - А!! Там получится 5/7 умножить на 725-х!
     - Будем решать на доске?
     - Не нужно. Я сам.
     Это,  так сказать,  17-й  вариант, при  котором  задачу  решают  другие
ученики,   но   учитель  внимательно  следит  за  Желтковым,  дожидаясь  его
прозрения.  И это справедливо: задачу попросил решить  он, и эти 2 минуты (а
именно  столько продолжается решение  задачи) принадлежат ему.  Он сейчас  в
классе  единственный,  кому дано  право  прекратить  дальнейшее решение  или
продолжать его до полной. для себя ясности.
     Далее урок пойдет  своим чередом. Вопросы будут задавать другие ребята,
а  Желтков  тут  же,  не  откладывая,  доведет  до   конца  решение  задачи.
Зафиксируем еще раз:  вся работа  над  задачей  далеко  не средней сложности
заняла 2 минуты.  Сколько же можно за 45  минут рассмотреть задач? Много. Во
всяком случае, не менее 20. Если  при этом каждый ученик получит ответ на 10
вопросов,  то в  ведомости  открытого  учета  решенных  задач  завтра  будут
закрашены  400  ранее  пустых  клеточек.  Но  урожай  урока  открытых  задач
несколько  больше. Многие из  рассмотренных в классе  задач некоторые ребята
еще  не решали;  для  них это работа впрок, на перспективу, когда справиться
самостоятельно с этими задачами будет, несомненно, легче.

 Держись, учитель!

     Можно представить состояние учителя на которого во время урока открытых
задач  обрушивается шквал вопросов и  на каждый  должен  быть дан  абсолютно
точный   и  ясный  для  всех  ответ.  Лучший  экзамен  на   профессиональную
подготовку,  методическое  мастерство!  Но  как много  эти  уроки  дают  для
утверждения отношений сотрудничества, взаимоуважения  в  системе "учитель  -
ученик  - родители". Уроки открытых задач  освобождают ребят от страха перед
возможными  ошибками, уверенно ведут на противоборство со сложностями. Этого
и не  нужно объяснять, но чаще  всего мы  останавливаемся  в  своем развитии
совсем не потому,  что сталкиваемся  с многочисленными трудностями, а потому
лишь, что, предполагая  их, вовсе и  не желаем с  ними встречаться, пытаемся
обойти препятствия по линии наименьшего  сопротивления. Уроки открытых задач
побуждают ребят к активности, безбоязненному единоборству с любой проблемой.
И как часто одна только эта настойчивость приводит к успеху. Но то - дети. А
каково учителю? Анализ задачи  из учебника V  класса, возможно,  в  какой-то
степени притупил бдительность читателя, и к нему еще не пришел вопрос о том,
как  вести урок открытых  задач  в IX-X  классах,  где сложность  упражнений
такова, что далеко не каждому учителю окажется посильным решить без раздумий
любую  из них.  Тем  более  если  работа  идет  одновременно  по  нескольким
сборникам  конкурсных и олимпиадных  задач. Кто из учителей рискнет  в таких
условиях начать урок, как в V классе:
     - Ну-с, так какая задача у кого не получается?
     Где  же  выход  из  положения?  Как  поднять  уровень профессионального
мастерства   каждого  учителя  на  такую  невероятную  высоту?  Ответ  здесь
однозначным  быть не может: сначала несколько задач по геометрии из учебника
А. В. Погорелова29, предложенных автором учащимся VI класса.
     No  41.  "Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий  к ней
угол и сумма двух других сторон".
     No 42.  "Постройте треугольник, если  заданы  сторона, прилежащий к ней
угол и разность двух других сторон".
     No  44. "Постройте  треугольник по стороне, противолежащему  ей углу  и
высоте, проведенной из вершины этого угла".
     No 542. "Как построить касательную к двум окружностям?" (Имеется в виду
два  случая:  построение   общей  внешней  касательной  и  построение  общей
внутренней касательной.)
     Итак, 5 задач из курса VI класса. В  1988 г. они были предложены тысяче
учителей математики из разных городов, и республик страны. 5 тысяч возможных
решений могло  быть получено. Итог: 5 человек решили по одной  задаче и один
(!)  учитель   решил  все  5   задач;  10  решений  из  5000.  Два  промилле
результативности!  Все пять  задач решил  учитель математики из  Тбилиси  Л.
Штейнгарц. Но как же  такое  могло произойти? А  вот как. После  безуспешных
попыток  навязать  советской  школе учебники  А.  Н.  Колмогорова  сложилась
критическая  ситуация:  новой  концепции математического  образования  никто
предложить не мог, а возврат к верой и правдой служившему многие десятилетия
учебнику  А. П. Киселева был равносилен профессиональному краху для Академии
педагогических   наук,   всех   республиканских   и   союзного   министерств
просвещения, а сверх  того - аппарата  партийных  работников отделов науки и
учебных  заведений.  В  этой, скажем прямо, непростой обстановке  был создан
учебник  А. В. Погорелова, автор которого усердно старался свести к минимуму
теоретический  материал, перебросив ряд разделов теории в задачный реквизит,
облегчая вроде  бы изучение курса геометрии для тех, кто особого  интереса к
ней не проявляет. На деле же получилось совершенно иное.