выделяет
отношение  в  чистом  виде  и  приводит  к  исчезновению   безотносительного
определения, т. е. что определенное количество, будучи  стороной  отношения,
есть определенное количество еще и  тогда,  когда  оно  положено  вне  этого
соотношения. - Такое очищение количественного отношения есть в  этом  смысле
не что иное, как постижение  эмпирического  наличного  бытия  через  понятие
(begriffen wird). Этим эмпирическое наличное бытие настолько возвышается над
собой, что его  понятие  содержит  те  же  определения,  что  оно  само,  но
схваченные в их сущности и выраженные в  единстве  понятия,  в  котором  они
лишились своего безразличного, чуждого понятия существования (Bestehen).
   Столь же интересна и другая форма, в какой  Ньютон  трактует  разбираемые
нами величины, а именно трактовка их как  производящих  величин  или  начал.
Произведенная величина (genita)  -  это  произведение  или  частное,  корни,
прямоугольники, квадраты, а также стороны прямоугольников, квадратов, вообще
конечная величина. - "Рассматривая ее как переменную, как она возрастает или
убывает в постоянном движении и течении, я понимаю под названием моментов ее
мгновенные приращения или убывания. Но не следует принимать эти  моменты  за
частицы, имеющие определенную величину (particulae finitae).  Такие  частицы
суть не самые моменты, а величины, произведенные из моментов; под последними
следует понимать скорее находящиеся  в  становлении  принципы,  или  начала,
конечных величин". Ньютон отличает здесь определенное количество от него же,
рассматривает, каково оно как продукт или налично сущее и каково оно в своем
становлении, в своем начале и принципе, т. е. каково оно в своем понятии или
- здесь это то же самое - в своем качественном определении;  в  качественном
определении количественные различия,  бесконечные  приращения  или  убывания
суть лишь моменты;  только  ставшее  есть  то,  что  перешло  в  беэразличие
наличного бытия и  во  внешность,  -  определенное  количество.  -  Но  если
философия истинного понятия [бесконечного] должна признать  эти  определения
бесконечного, приведенные относительно приращений или убывании, то сразу  же
следует заметить, что самые  формы  приращения  и  т.  д.  находятся  внутри
категории  непосредственного  определенного  количества  и  указанного  выше
непрерывного движения вперед и что  представления  о  приращении,  приросте,
умножении х на dx или г и т. д. должны рассматриваться скорее  как  основное
зло этих методов как постоянное препятствие к возвышению от представления об
обычном определенном количестве к чистому определению качественного  момента
количества.
   Против указанных определений очень  отстало  представление  о  бесконечно
малых  величинах,  связанное  с  [представлением  о]  самом  приращении  или
убывании. Согласно этому представлению, бесконечно  малые  величины  таковы,
что можно пренебрегать не  только  ими  самими  при  сравнении  с  конечными
величинами, но также их высшими разрядами при сравнении с низшими, а равно и
произведениями нескольких таких величин при сравнении с одной. - У  Лейбница
особенно подчеркивается требование  такого  пренебрежения,  которому  отдали
дань и предшествующие изобретатели методов, касавшихся этих величин.  Прежде
всего именно это пренебрежение придает указанному  исчислению,  несмотря  на
то, что оно удобно, видимость неточности и явной неправильности способа  его
действий. - Вольф старался объяснить это пренебрежение [величинами],  следуя
своей манере делать общедоступными рассматриваемые им вопросы, т. е.  лишать
понятие чистоты и подменять его неправильными чувственными  представлениями.
А именно он сравнивает пренебрежение  бесконечно  малыми  разностями  высших
разрядов относительно  низших  с  образом  действия  геометра,  при  котором
измерение высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер  сдунет
песчинку с ее вершины или если не будет принята во внимание высота  домов  и
башен при вычислении лунных затмений (Element.  mathes.  univ.  Tom  I.  El.
analys. math. P. II. C. I. S. schol.).
   Если снисходительность здравого смысла дозволяет такую неточность, то все
геометры,  напротив,  отвергали  такого  рода  представление.   Сама   собой
напрашивается мысль, что в математической науке идет речь вовсе не  о  такой
эмпирической  точности  и  что  математическое  измерение   посредством   ли
вычислении  или  посредством  геометрических  построений   и   доказательств
совершенно отлично от измерения  земли,  от  измерения  эмпирических  линий,
фигур и т. п. Да и помимо  того,  как  уже  было  указано  выше,  аналитики,
сравнивая   результаты,   получаемые   строго   геометрическим   путем,    с
результатами, получаемыми методом бесконечно  малых  разностей,  доказывают,
что они одинаковы и что большая или меньшая точность [здесь] вовсе не  имеет
места. А ведь само собой разумеется, что абсолютно точный результат  не  мог
бы получиться при неточном способе действия. Однако, с другой  стороны,  сам
способ действия,  несмотря  на  протесты  против  приведенных  в  оправдание
доводов, не может обойтись без пренебрежения [величиной ] на том  основании,
что она незначительна. И в этом состоит  трудность,  побуждающая  аналитиков
объяснить заключающуюся здесь бессмыслицу и устранить ее.
   По этому вопросу следует прежде всего привести мнение Эйлера.  Исходя  из
общего  определения  Ньютона,  он  твердо  убежден,   что   дифференциальное
исчисление рассматривает отношения приращений величины,  но  что  бесконечно
малую разность, как таковую, следует рассматривать как нуль (Institut. calc.
different., р. I. с. III). - Как это надо  понимать,  видно  из  изложенного
выше; бесконечно малая разность есть нуль лишь как определенное  количество,
а не качественный нуль; а как нуль по количеству она  скорее  чистый  момент
лишь отношения. Она не различие на некоторую величину. Но именно поэтому,  с
одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми
величинами,  также  и  приращениями  или  убываниями   и   разностями.   Это
определение исходит из того,  что  к  имеющейся  сначала  конечной  величине
что-то прибавляется или что-то от нее отнимается, что производится некоторое
вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие.  Но  что
касается перехода от функции переменной величины к ее дифференциалу,  то  по
нему видно, что он совершенно другого характера,  а  именно,  как  уже  было
разъяснено, он  должен  рассматриваться  как  сведение  конечной  функции  к
качественному отношению ее количественных определений. - С  другой  стороны,
сразу бросается в глаза ошибочность утверждения, будто  приращения  сами  по
себе - это нули и будто  рассматриваются  только  их  отношения;  ведь  нуль
вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление,  стало  быть,
хотя и доходит до отрицательности  определенного  количества  и  определенно
выражает эту отрицательность, однако в то же время не  схватывает  ее  в  ее
положительном значении качественных определений  количества,  которые,  если
хотят вырвать их из  отношения  и  брать  их  как  определенные  количества,
окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie  des  fonct.  analyt.  Introd.)
замечает относительно представления о  пределах  или  последних  отношениях,
что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока
они  остаются  конечными,  это  отношение  не   дает   рассудку   ясного   и
определенного понятия, как только его члены становятся одновременно  нулями.
-  И  в  самом  деле,  рассудок  должен  выйти   за   пределы   той   чистой
отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть  нули,
и понять их положительно как качественные моменты. -  А  то,  что  Эйлер  (в
указанном месте  84  и  ел.)  прибавляет  еще  относительно  данного  [им  ]
определения,  чтобы  показать,  что  две  так  называемые  бесконечно  малые
величины, которые якобы не что иное, как нули,  тем  не  менее  находятся  в
отношении друг к другу, и потому для их  обозначения  пользуются  не  знаком
нуля, а другими знаками, - нельзя признать удовлетворительным. Он хочет  это
обосновать различием между арифметическим и  геометрическим  отношениями:  в
первом мы обращаем внимание на разность, во втором -  на  частное,  и,  хотя
арифметическое отношение между  двумя  нулями  [всегда]  одинаково,  это  не
значит, что точно так же обстоит  дело  с  геометрическим  отношением;  если
2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше  второго,
третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому  на  основании
этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и
по обычной арифметике п х 0 ё 0; следовательно,  п:  1=0:0.-  Однако  именно
потому, что 2 : 1 или п: 1 есть отношение  определенных  количеств,  ему  не
соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.
   Я  не  буду  приводить  мнения  еще  других  [математиков  ],   так   как
рассмотренные  уже  достаточно  показали,  что  в  них,  правда,  содержится
истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во
всей  своей  определенности.  Поэтому,  когда  [высказывающие  эти  взгляды]
переходят  к  самому  действию,  то  на  нем  не  может  сказаться  истинное
определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества,
и действие не может обойтись без представления о  лишь  относительно  малом.
Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины
обычным арифметическим действиям сложения и т.  д.,  основанным  на  природе
конечных  величин,  и  тем  самым  хотя  бы  на  мгновение  признавать   эти
бесконечные величины конечными  и  трактовать  их  как  таковые.  Исчисление
должно было бы обосновать правомерность того,  что  оно,  с  одной  стороны,
низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения
или разности, а с другой - пренебрегает ими как  определенными  количествами
после того, как оно только что применяло  к  ним  формы  и  законы  конечных
величин.
   Я коснусь еще самого существенного в  попытках  геометров  устранить  эти
затруднения.
   Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания
новейших аналитиков были направлены  главным  образом  на  то,  чтобы  вновь
привести   исчисление   бесконечно   малых    к    очевидности    собственно
геометрического метода и с помощью  этого  метода  достигнуть  в  математике
строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип
анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики  конечных
величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться  от
этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может  притязать
на ту  отчетливость,  которая  присуща  наукам  о  чувственном,  '  например
естественной истории, или подобно тому  как  еда  и  питье  считаются  более
понятным  занятием,  чем   мышление   и   постижение   посредством   понятия
(Begreifen). Поэтому нам придется говорить "  лишь  о  стараниях  достигнуть
строгости доказательств древних.
   Некоторые  [аналитики]   пытались   обойтись   совершенно   без   понятия
бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. -
Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом,  и  говорит
об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми
разностями, а сначала вводит  различные  значения  переменных  величин  и  в
дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при
этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества,  а
именно простота  метода  и  легкость  действий.  -  Это  способ,  в  котором
заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит  Декартов  метод
касательных (о нем нам придется ниже еще говорить  подробнее).  Здесь  можем
заметить, что в общем сразу  ясно,  что  этот  способ  придавать  переменным
величинам различные значения и затем приравнивать их  друг  к  другу  вообще
относится  к  иному  кругу  математического  рассмотрения,  чем  сам   метод
дифференциального исчисления, и им не  выделяется  подлежащая  в  дальнейшем
более  тщательному  рассмотрению  особенность  того  простого  отношения,  к
которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а
именно отношения производной функции к первоначальной.
   Более ранние из математиков  новейшего  времени,  как,  например,  Ферма,
Барроу и  другие,  которые  первые  пользовались  бесконечно  малыми  в  том
применении,   которое   позднее   преобразовалось   в   дифференциальное   и
интегральное исчисление, а затем также  Лейбниц  и  последующие  математики,
равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что  они  вправе  отбрасывать
произведения бесконечно малых разностей, так же как  и  их  высшие  степени,
только на том основании,  что  они  относительно,  по  сравнению  с  низшими
разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное
положение, а именно определение того, что  такое  дифференциал  произведения
или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение.  Остальное  есть
отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое,  однако,  как  мы
покажем далее, на самом  деле  представляет  больший,  или,  лучше  сказать,
единственный интерес. -
   Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует  здесь  привести
лишь самое простое  соображение:  исходя  из  того  же  довода  относительно
незначительности принимают как основное положение  о  кривых,  что  элементы
кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты  имеют  между  собой  то  же
отношение, что и  подкасательная  и  ордината.  С  целью  получить  подобные
треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями  третью  сторону
треугольника,  который  прежде  справедливо   назывался   характеристическим
треугольником, рассматривается как прямая линия, как  часть  касательной,  и
потому одно из приращений - как  доходящее  до  касательной.  Эти  допущения
возвышают,  с  одной  стороны,  указанные  ранее  определения  над  природой
конечных величин;  с  другой  же  стороны,  к  моментам,  называемым  теперь
бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который  приложим  лишь  к
конечным величинам и применяя который мы не  вправе  чем-либо  пренебрегать,
ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее  метод,  остается  при
таком способе действия во всей своей силе.
   Здесь мы должны указать на  удивительный  прием  Ньютона  (Princ.  inath.
phil. nat. Ub. II. Lemma  II,  после  propos.  VII)  -  на  изобретенную  им
остроумную уловку для устранения  арифметически  неправильного  отбрасывания
произведений  бесконечно  малых  разностей  или  их  высших   разрядов   при
нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого
легко затем вывести дифференциалы  частного,  степени  и  т.  п.,  следующим
образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину  его
бесконечной разности, а если увеличить х  и  у  ,  ровно  настолько  же,  то
произведение переходит в сумму. Если от этого  второго  произведения  отнять
первое,
   то получается разность ydx + xdy,  которая  есть  избыток  приращения  на
целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба  произведения;
следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам
собой  отпадает  член  [ряда  ],   составляющий   главное   затруднение,   -
произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при  всем  уважении  к
имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие
неправильно.
   Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление
   флюксий могла заставить такого  математика,  как  Ньютон,  обмануть  себя
подобным способом доказательства.

   Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении  f  дифференциала,
связаны с конкретными, относящимися к движению  значениями  элементов  и  их
степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода,  сразу
наводит на мысль, что всегда в  наших  силах  путем  прибавления  все  новых
членов взять величину с той степенью точности,  которая  нам  нужна,  и  что
отброшенные величины относительно незначительны, что вообще  результат  есть
лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно
тому  как  он  в  своем  методе  решения  уравнений  высших  степеней  путем
приближения отбрасывает  высшие  степени,  получающиеся  при  подстановке  в
данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на  том  простом
основании, что они малы;
   Ошибка,  которую  допустил  Ньютон,  решая  задачу   путем   отбрасывания
существенных  высших  степеней,  ошибка,  которая  дала  повод   противникам
торжествовать победу своего метода  над  его  методом  и  истинный  источник
которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает,  что
пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью.  Лагранж
показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он  пренебрег  членом
ряда, содержащим важную для  данной  задачи  степень.  Ньютон  придерживался
указанного выше формального,  поверхностного  принципа  отбрасывания  членов
[ряда] ввиду их относительной малости. - А именно известно, что  в  механике
членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается
определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится  с
моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья -  с  сопротивлением
сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не  только  как  части
некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как  целого.
Благодаря  этому  отбрасывание  остальных  членов,  принадлежащих  к   дурно
бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от  отбрасывания  их  на
основании  их  относительной  малости.  Решение  задачи,  данное   Ньютоном,
оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются  во  внимание  члены
ряда лишь как части некоторой
   суммы,  а  потому,  что  не  принимается  во  внимание  член,  содержащий
качественное определение, которое здесь важнее всего.
   В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость
способ  действия.  В  связи  с  этим  мы  можем  тотчас  же  привести  общее
утверждение, что все затруднение с принципом  было  бы  устранено,  если  бы
вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала  усматривают
лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще  функции  от  ее
изменения  после  того,  как  ее  переменная  величина  получила   некоторое
приращение, - если бы вместо  этого  формализма  было  указано  качественное
значение  принципа  и  действие  было  поставлено  в  зависимость  от  этого
качественного значения. В этом смысле дифференциал от х  полностью  исчерпан
первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом,
остальные члены  не  принимаются  во  внимание  не  из-за  их  относительной
малости; здесь не предполагается никакой такой неточности,  погрешности  или
ошибки, которая бы исправлялась и  устранялась  другой  ошибкой,  -  взгляд,
исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного
метода исчисления бесконечно малых. Так как дело  идет  не  о  сумме,  а  об
отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там
же, где есть нужда в новых членах,  в  дифференциалах  высших  разрядов,  их
нахождение (Bestimmung) состоит  не  в  продолжении  ряда  как  суммы,  а  в
повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют  в  виду  и
которое,
   стало быть, полностью имеется уже в первом  члене.  Потребность  в  форме
некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что свя