". "Сколько бы я ни расчленял  свое  понятие
такой возможной суммы, я не найду в нем числа 12". При переходе от  указаний
задачи  к  результату  сумма   действительно   не   мыслится,   понятие   не
расчленяется. "Необходимо выйти за пределы этих понятий, прибегая  к  помощи
созерцания, пяти пальцев и т. д. и таким образом присоединять единицы  числа
пять, данного в созерцании, к  понятию  семи"  а0,  -  прибавляет  он.  Пять
действительно дано в созерцании, т. е. оно совершенно  внешняя  сочетанность
произвольно повторявшейся мысли, "одного"; но 7 точно  так  же  не  понятие;
здесь нет понятий, за пределы которых нужно было бы выходить. Сумма  7  и  5
означает чужцое понятия соединение  этих  двух  чисел;  такое  столь  чуждое
понятия нумерование, продолжающееся от 7 до тех пор, пока не будут исчерпаны
пять единиц, можно назвать сочетанием, синтезированием с  таким  же  правом,
как и  нумерование,  начинающее  с  "одного",  -  синтезированием,  которое,
однако, носит совершенно аналитический характер, так как связь здесь всецело
искусственная, в ней нет и в нее не входит ничего такого,  что  не  было  бы
совершенно внешним. Требование сложить 7 и 5 относится к  требованию  вообще
нумеровать, как требование продолжить прямую  линию  к  требованию  провести
прямую линию.
   Столь же бессодержательно, как выражение "синтезирование", и определение,
что  это  синтезирование  совершается  a  priori.  Правда,  счет   не   есть
определение ощущений, единственно которое, согласно кантовскому  определению
созерцания, и остается на долю  a  posteriori,  и  счет  действительно  есть
занятие на почве абстрактного созерцания, т. е. такого,  которое  определено
категорией "одного" и при  котором  абстрагируются  как  от  всех  остальных
определений ощущений, так и от понятий. "A priori" - это вообще  нечто  лишь
смутное. Определение эмоций - влечение, склонность и т. д. - в такой же мере
имеет  в  себе  момент  априорности,  в  какой  пространство  и  время   как
существующие,  [т.  е.  ]  временное  и   пространственное,   определены   a
posteriori.
   В связи с этим можно прибавить, что в утверждении Канта  о  синтетическом
характере основоположений чистой геометрии также нет ничего  основательного.
Указывая, что многие из них действительно аналогичны,  он  в  доказательство
представления о синтетичности других приводит  только  одну  аксиому  -  что
прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. "В самом  деле,
мое понятие  прямой  содержит  только  качество,  но  ничего  не  говорит  о
количестве.  Следовательно,   понятие   кратчайшего   [расстояния]   целиком
присоединяется извне, и никаким расчленением  не  может  быть  извлечено  из
понятия  прямой  линии.  Поэтому  здесь  необходимо   прибегать   к   помощи
созерцания, посредством которого только и возможен синтез".  -  Но  и  здесь
дело идет вовсе не о понятии прямого вообще, а о прямой  линии,  а  она  уже
есть нечто пространственное, созерцаемое.  Определение  (или,  если  угодно,
понятие) прямой линии ведь и  состоит  только  в  том,  что  она  безусловно
простая линия, т. е. что в своем выхождении вовне  себя  (в  так  называемом
движении точки) она безусловно соотносится с собой, что в ее  протяжении  не
положено никакой разницы  определения,  никакого  соотношения  с  какой-либо
другой точкой или линией вне ее; она безусловно простое  направление  внутри
себя. Это простота есть, разумеется, ее качество, и если кажется, что трудно
дать аналитическую  дефиницию  прямой  линии,  то  это  только  из-за  таких
определении, как простота или соотношение с самой собой, и лишь потому,  что
при определении рефлексия  сначала  имеет  дело  главным  образом  с  некоей
множественностью, с определением через иное. Но само по  себе  нисколько  не
трудно понять это определение простоты протяжения внутри  себя  как  чего-то
такого, что не определяется через иное. Дефиниция Эвклида не содержит ничего
другого, кроме этой простоты.-Но переход  этого  качества  в  количественное
определение (кратчайшего расстояния), который будто  бы  составляет  синтез,
исключительно и всецело аналитичен.
   Линия как пространственная есть количество  вообще;  самое  простое,  что
можно  сказать  об  определенном   количестве,   это   -   "наименьшее",   а
применительно  к  линии  -  "кратчайшее".  Геометрия  может  принимать   эти
определения как следствия из дефиниции; но Архимед в своих книгах о  шаре  и
цилиндре  (см.  перев.  Гаубера,  стр.  4)  поступил  всего  целесообразнее,
установив  указанное  определение  прямой  линии  как  аксиому,   столь   же
правильно, как это сделал Эвклид, признав аксиомой  определение,  касающееся
параллельных линий, так как развитие этого определения, для того  чтобы  оно
стало дефиницией, также потребовало бы [определений  ],  не  непосредственно
принадлежащих   пространственности,   а   более   абстрактных   качественных
определении (подобно тому как до этого потребовались такие определения,  как
простота) - одинаковости направления и т. п. Эти древние [мыслители] и своим
наукам  сообщили  пластический  характер,  их  изложение  строго   держалось
специфики их предмета и поэтому исключало из  себя  все,  что  было  бы  ему
чуждо.
   Понятие, которое Кант выставил в своем учении об априорных  синтетических
суждениях,  -  понятие  о  различенном,   которое   также   нераздельно,   о
тождественном,  которое  в  самом  себе  есть   нераздельное   различие,   -
принадлежит великому и  бессмертному  в  его  философии.  В  созерцании  это
понятие, разумеется, также имеется, ибо оно само понятие, и все в себе  есть
понятие; но те определения, которые  выделены  в  приведенных  примерах,  не
выражают его; число и  счет-это  скорее  такое  тождество  и  продуцирование
такого тождества, которое  безусловно  есть  лишь  внешнее  тождество,  лишь
поверхностный  синтез,  единство  "одних",  таких  "одних",  которые  скорее
положены как в сам"" себе не тождественные друг другу, а  внешние,  сами  по
себе раздельные. В основе определения прямой линии,  согласно  которому  она
кратчайшее расстояние между двумя точками, должен лежать скорее лишь  момент
абстрактного тождества, лишенного различия в самом себе.

   Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующее ему
отрицательное арифметическое  действие,  вычитание,  есть  также  совершенно
аналитическое отделение чисел, которые, как и в  сложении,  определены  лишь
как вообще неравные в отношении друг друга.
   2. Ближайшее определение - равенство считываемых чисел.  Благодаря  этому
равенству числа эти суть  единицы,  и  в  числе  появляется  различие  между
единицей и численностью. Умножение имеет задачей сложить численность единиц,
которые сами суть некая численность. При этом  безразлично,  какое  из  двух
чисел принимается за единицу и какое за численность, безразлично, говорим ли
мы четырежды три, где  четыре  есть  численность,  а  три  -  единица,  или,
наоборот, трижды  четыре.  -  Мы  уже  указали  выше,  что  сначала  находят
произведение простым нумерованием, т. е. счетом на пальцах и т. д.;  позднее
становится возможным непосредственно указать  произведение  благодаря  своду
результатов подсчета - таблице умножения и знанию ее наизусть.
   Деление есть отрицательное  арифметическое  действие,  согласно  тому  же
определению различия. Здесь  также  безразлично,  делитель  ли  или  частное
принимается за единицу или за численность. Делитель принимается за  единицу,
а частное - за численность, коща задачей деления объявляется желание узнать,
сколько раз (численность) одно число (единица) содержится  в  данном  числе;
наоборот, делитель принимается за численность, а частное - за единицу,  коща
говорят, что требуется  разделить  некоторое  число  на  данную  численность
одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).
   3. Оба числа, которые определены одно относительно другого как единица  и
численность, как числа еще непосредственны относительно друг друга и  потому
вообще не равны. Дальнейшее  равенство  -  это  равенство  самой  единицы  и
численности;   таким   образом,   продвижение   к   равенству   определений,
заключающихся в определении числа, завершено. Счет  согласно  этому  полному
равенству есть возведение в степень (отрицательное  арифметическое  действие
[здесь ] - извлечение корня) и прежде всего возведение числа в квадрат;  это
полная определенность нумерования внутри самого себя, где 1)  прибавляющиеся
многие числа суть одни и те же, и  2)  само  их  множество  или  численность
тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей.  Нет
никаких иных определений в понятии числа, которые могли  бы  быть  некоторым
различием, и не может также иметь место какое-либо  дальнейшее  выравнивание
различия, заключающегося  в  числе.  Возведение  в  степени  высшие,  чем  в
квадрат,  есть  формальное  продолжение;  с  одной   стороны,   при   четных
показателях, оно есть лишь повторение возведения в квадрат, а с другой - при
нечетных показателях - вновь возникает неравенство, а именно при  формальном
равенстве (например, прежде всего в кубе) нового множителя и численности,  и
единице, он как единица есть нечто неравное по отношению к  численности  (по
отношению ко второй степени, 3-по отношению к 3х3); еще большее  неравенство
имеется при кубической степени четырех,  где  численность  3,  показывающая,
сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено  само  на  себя,
отлична от этого числа. - Эти определения  имеются  в  себе  как  сущностное
различие  понятия,   -   численность   и   единица,   и   для   того   чтобы
выхождение-вовне-себя  целиком  оказалось   возвра-щением-внутрь-себя,   они
должны  быть  выравнены.  В  только  что  изложенном   заключается,   далее,
основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно
состоять в приведении  их  к  квадратным  уравнениям,  и  почему,  с  другой
стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и
как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не  иначе  как  при
помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтб они  выражают.
-  Согласно  сказанному,  только  арифметический  квадрат  содержит  в  себе
безусловную  определенность  (Schlechthin-Bestimintsein),  вследствие   чего
уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно
так же  как  в  геометрии  прямоугольный  треугольник  содержит  безусловную
внутри-себя-опре-деленность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для
полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены
к нему.
   В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному  суждению,
изложение учения о степенях  предшествует  изложению  учения  о  пропорциях;
последние, правда, примыкают  к  различию  между  единицей  и  численностью,
составляющему  определение  второго  арифметического  действия,  однако  они
выходят за пределы "одного" как непосредственного определенного  количества,
в котором единица и численность суть лишь моменты;
   дальнейшее определение по этим моментам остается для  него  самого  также
еще внешним. В отношении число уже  не  есть  непосредственное  определенное
количество;  последнее  имеет  в  этом  случае   свою   определенность   как
опосредствование; количественное " отношение мы рассмотрим далее.
   Об указанном выше дальнейшем определении  арифметических  действий  можно
сказать,  что  оно  не  есть  философствование  о  них,  не  есть,   скажем,
разъяснение  их  внутреннего  значения,  потому  что  оно  действительно  не
имманентное развитие понятия. Философия же должна уметь различать то, чтб по
своей природе есть внешний самому себе материал, [должна знать], что в таком
материале развитие понятия может происходить  лишь  внешним  образом  и  что
моменты  этого  развития  могут  существовать  лишь  в  присущей  им   форме
внешности, каковы здесь равенство и неравенство. Различение сфер, к  которым
принадлежит та или другая определенная форма понятия, т.  е.  имеющаяся  как
существование, есть важное условие философствования  о  реальных  предметах,
необходимое для того, чтобы мы, оперируя  идеями,  не  нарушали  особенности
внешнего и случайного и чтобы мы не  искажали  этих  идей  и  не  делали  их
формальными из-за неадекватности материала. Но внешний характер, при котором
выявляются моменты понятия в указанном выше внешнем  материале  -  в  числе,
есть здесь  адекватная  форма;  так  как  они  представляют  нам  предмет  в
рассудочном понимании его, а также ввиду того, что они не  требуют  никакого
спекулятивного подхода и  потому  кажутся  легкими,  их  стоит  применять  в
элементарных учебниках.
   Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских
понятий]
   Как  известно,  Пифагор  изображал  в  числах  разумные   отношения   или
философемы, да и в новейшее время  философия  применяла  числа  и  формы  их
соотношений, как, например, степени и  т.  п.,  для  упорядочения  мыслей  в
соответствии с ними или выражения  ими  мыслей.  -  С  педагогической  точки
зрения  число  признавалось  наиболее   подходящим   предметом   внутреннего
созерцания, а занятие вычислением его  отношений  -  деятельностью  духа,  в
которой он делает наглядными свои  подлинные  отношения  и  вообще  основные
отношения сущности. - В какой мере эта высокая ценность  принадлежит  числу,
видно из его понятия, каким оно получилось выше.
   Число предстало перед нами как абсолютная  определенность  количества,  а
его  стихия  -  как   различие,   ставшее   безразличным;.   оно   оказалось
определенностью в себе, которая в  то  же  время  положена  лишь  совершенно
внешне. Арифметика - аналитическая наука,  так  как  все  относящиеся  к  ее
предмету связи  и  различия  не  находятся  в  нем  самом,  а  навязаны  ему
совершенно извне. Она не имеет конкретного  предмета,  который  содержал  бы
внутренние отношения, которые первоначально скрыты для  знания,  не  даны  в
непосредственном представлении о нем, ;i должны быть выявлены лишь  усилиями
познавания. Она нс только не содержит понятия и, следовательно, задачи,  для
постигающего  в  понятиях  (fur  das  begreifende)  мышления,  но  есть  его
противоположность. Из-за безразличия  приведенного  в  связь  к  самой  этой
связи,   которой   недостает   необходимости,   мышление   занимает    здесь
деятельность,  которая  есть  в  то  же  время  самое   крайнее   отчуждение
(Entausserung) от самого себя, занимается  насильственной  деятельностью,  -
оно движется в сфере без-мыслия и приводит в связь то, чтб не способно  быть
необходимым. Предметом [здесь ] служит абстрактна" мысль о  самой  внешности
(Ausserlichkeit).
   Будучи такой мыслью о внешности, число есть в то же время  абстракция  от
чувственного многообразия; от чувственного оно сохранило только  абстрактное
определение внешности; благодаря  этому  в  числе  чувственное  ближе  всего
подведено к мысли. Число есть чистая мысль о самоотчуждении мысли.
   Возвышающийся над чувственным миром и познающий свою  сущность  дух,  ища
стихию для своего чистого представления для выражения своей сущности,  может
поэтому до того, как постигнет, что эта стихия есть сама  мысль,  и  обретет
для ее изображения чисто духовное  выражение,  вздумать  избрать  для  этого
число, эту внутреннюю, абстрактную внешность. Поэтому  мы  видим  в  истории
науки, что уже рано применяли число для выражения философем. Оно  составляет
последнюю ступень несовершенства, когда всеобщее  берется  как  обремененное
чувственным.  Древние  [мыслители]  явно  сознавали,  что  число   находится
посередине между чувственным и мыслью. Согласно Аристотелю ("Метафизика", I,
5), Платон говорил, что помимо чувственного и  идей  посередине  между  ними
находятся математические определения вещей; от чувственного  они  отличаются
тем, что они невидимы (вечны) и неподвижны, а от идей - тем,  что  они  суть
нечто .множественное и сходное, между тем как идея лишь всецело тождественна
с собой и внутренне  едина.  -  Более  подробное,  основательно  продуманное
рассуждение об этом Модерата из Кадиса " приводится в Malchi vita Pythagorae
ed. Ritterhus, p. 30 и ел.: то,  что  пифагорейцам  пришла  в  голову  мысль
обратиться к числам, он объясняет тем, что они еще не были в состоянии  ясно
постигнуть разумом основные  идеи  и  первые  принципы,  потому  что  трудно
мыслить и выразить эти принципы; при преподавании числа  хорошо  служат  для
обозначения; пифагорейцы, между прочим, подражали в этом геометрам, которые,
не умея выражать телесное в мысли, применяют фигуры и  говорят,  что  это  -
треугольник, требуя, чтобы не принимали за треугольник предлежащий чертеж, а
лишь представляли себе с его помощью мысль о  треугольнике.  Так,  например,
пифагорейцы выразили как единицу (Eins) мысль о единстве, тождественности  и
равенстве, а также основание согласия, связи и сохранения  всего,  основание
тождественного с самим собой и т. д. -  Излишне  заметить,  что  пифагорейцы
перешли от выражения  в  числах  и  к  выражению  в  мыслях,  к  определенно
названным категориям равного  и  неравного,  границы  и  бесконечности;  уже
относительно указанного выше  выражения  в  числах  сообщается  (там  же,  в
примечаниях  к  стр.  31  цитированного  издания,  взятых  из   "Leben   des
Pythagoras" bei Photius, p. 722), что пифагорейцы проводили  различие  между
монадой и единицей; монаду они принимали за мысль, а единицу - за  число;  и
точно так же число два они принимали за арифметическое  выражение,  а  диаду
(ибо таково, видимо, то название, которое оно у них  носит)  -  за  мысль  о
неопределенном.   -   Эти   древние,   во-первых,    очень    ясно    видели
неудовлетворительность числовой формы для  выражения  определении  мысли,  и
столь же правильно они, далее, требовали найти подлинное выражение для мысли
вместо  первого  выражения,  принятого  за  неимением   лучшего;   насколько
опередили они в своих размышлениях тех,  кто  в  наше  время  снова  считает
чем-то похвальным и даже основательным и глубоким замену  определений  мысли
самими числами и числовыми определениями, как, например, степенями, а  затем
- бесконечно большим, бесконечно малым, единицей, деленной на бесконечность,
и прочими подобного рода определениями 87, которые сами  часто  представляют
собой  превратный  математический  формализм,  -  считает  основательным   и
глубоким возвращение к упомянутому беспомощному детству.
   Что  касается   приведенного   выше   выражения,   что   число   занимает
промежуточное положение между чувственным и мыслью, имея в то  же  время  то
общее с первым, что оно по своей природе (an ihr) "многое", внеположное,  то
следует заметить, что само это "многое", принимаемое  в  мысль  чувственное,
есть принадлежащая  мысли  категория  внешнего  в  самом  себе.  Дальнейшие,
конкретные, истинные мысли - наиболее  живое,  наиболее  подвижное,  понятое
только  как  находящееся  в  соотнесении  -   превращаются   в   мертвенные,
неподвижные определения, когда их перемещают в эту стихию  вовне-себя-бытия.
Чем богаче определенностью и, стало  быть,  соотношением  становятся  мысли,
тем, с одной стороны, более запутанным, а с другой -  более  произвольным  и
лишенным смысла становится их изложение в таких формах, как числа.  Единица,
два, три, четыре, генада или монада, диада, триада, тетрактис еще  близки  к
совершенно простым абстрактным понятиям; но когда числа должны переходить  к
[изображению ] конкретных отношений, тогда тщетно  стремление  сохранить  их
еще близкими к понятию.
   Когда же для [характеристики] движения понятия  (только  благодаря  этому
движению оно и есть понятие) обозначают определения мысли через  одно,  два,
три, четыре,  этим  предъявляется  к  мышлению  самое  жестокое  требование.
Мышл