атематики. В математических теориях, конструируемых на основаниях материальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории даны с самого начала (т.е. определенную интерпретацию данной теории полагают фиксированной). В рамках такой теории стали возможны рассуждения о выводимости ее утверждений из аксиом и рассуждения об истинности таких утверждений. Полнота системы аксиом в данном случае соответствовала совпадению этих понятий. (Пример аксиоматики такого вида - аксиоматика геометрии Евклида.) В математических теориях, конструируемых на основаниях формальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории остаются неопределенными во время вывода теорем из аксиом. В данном случае система аксиом называлась полной относительно данной интерпретации, если из нее были выводимы все утверждения, истинные в этой интерпретации. Наряду с таким понятием полноты определялось и другое ее понятие, являвшееся внутренним свойством аксиоматической системы (не зависимым ни от одной из ее интерпретаций): систему аксиом называли дедуктивно полной, если всякое утверждение, формулируемое в данной теории, может быть либо доказанной (являясь в таком случае теоремой), либо опровергнутой (в смысле возможности доказательства его отрицания). При этом, если аксиоматическая теория полна относительно некоторой интерпретации, то она является дедуктивно полной; и наоборот, если теория дедуктивно полна и непротиворечива (т.е. все теоремы истинны) относительно данной интерпретации, то она является полной относительно этой интерпретации. Понятие дедуктивной (внутренней) полноты - "удобная характеристика" аксиоматической теории при конструировании ее в виде формальной системы. На таком основании Гильбертом была выстроена искусственная система, включающая часть арифметики, с доказательствами ее полноты и непротиворечивости. Подход Г. в целом относится к конструктивному направлению математики: в интуиционистской трактовке истинности высказывания истинной он считал только рекурсивно реализуемую формулу (сводимую к функции от чисел натурального ряда). Тем самым интуиционистская арифметика становилась расширением классической. Одновременно конструируя и логику, и арифметику, Г. вынужденно отказался от логицистского тезиса Фреге о полной редуцируемости математики к логике. Г. обосновывал математику разработанным им же методом арифметизации метаматематики, заключающимся в замене рассуждений о выражениях любого логико-математического языка рассуждениями о натуральных числах. Этот метод Г. поместил в основу дока-
зательства "теоремы Г. о полноте" исчисления предикатов классической логики предикатов (первого порядка), а позднее - в две важнейшие теоремы о неполноте расширенного исчисления предикатов, известных под общим названием "теорема Г. о неполноте". Г. в своей докторской диссертации (1930) доказал теорему о полноте исчисления классической логики предикатов: если предикатная формула истинна в любой интерпретации, то она выводима в исчислении предикатов (другими словами, любая формула, отрицание которой невыводимо, является выполнимой). Являясь одной из базисных теорем математической логики, теорема Г. о полноте показывает, что уже классическое исчисление предикатов содержит все логические законы, выражаемые предикатными формулами. Усиление теоремы о полноте классического исчисления логики предикатов утверждает, что всякая счетная последовательность формул, из которой нельзя вывести противоречия, выполнима. При этом, если из множества предикатных формул P невозможно вывести противоречие в рамках предикатного исчисления, то для множества P существует модель, т.е. интерпретация, в которой истинны все формулы множества Р. Доказательство полноты исчисления классической логики предикатов породило в школе Гильберта некоторые надежды на возможность доказательства полноты и непротиворечивости всей математики. Однако уже в следующем, 1931, году была доказана теорема Г. о неполноте. Первая теорема о неполноте утверждает, что если формальная система арифметики непротиворечива, то в ней существует как минимум одно формально неразрешимое предложение, т.е. такая формула F, что ни она сама, ни ее отрицание не являются теоремами этой системы. Иными словами, непротиворечивость рекурсивной арифметики делает возможным построение дедуктивно неразрешимого предложения, формализуемого в исчислении, т.е. к существованию и недоказуемой, и неопровержимой формулы. Такая формула, являясь предложением рекурсивной арифметики, истинна, но невыводима, несмотря на то, что по определению она должна быть такой. Следовательно, непротиворечивость формализованной системы ведет к ее неполноте. Усилением первой теоремы о неполноте является вторая теорема о неполноте, утверждающая, что в качестве формулы F возможен выбор формулы, естественным образом выражающей непротиворечивость формальной арифметики, т.е. для непротиворечивого формального исчисления, имеющего рекурсивную арифметику в качестве модели, формула F выражения этой непротиворечивости невыводима в рамках данного исчисления. Согласно теореме Г. о неполноте, например, любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел (аддитивные и
   221
мультипликативные операции над целыми числами) заведомо неполна. Для любых систем доказательств существуют истинные утверждения, которые даже в таком достаточно ограниченном направлении математики останутся недоказуемыми. Б.В.Бирюков пишет о методологическом значении теоремы Г. о неполноте: "...если формальная арифметика непротиворечива, то непротиворечивость нельзя доказать средствами, формализуемыми в ней самой, т.е. теми финитными средствами, которыми Гильберт хотел ограничить метаматематические исследования...". Следовательно, (внутреннюю) непротиворечивость любой логико-математической теории невозможно доказать без обращения к другой теории (с более сильными допущениями, а следовательно менее устойчивой). Фон Нейман читал в момент публикации работы Г. лекции по метаматематической программе Гильберта, однако сразу после прочтения этой работы он перестроил курс, посвятив Г. все оставшееся время. Теорема Г. о неполноте - важнейшая метатеорема математической логики - показала неосуществимость программы Гильберта в части полной формализации определяющей части математики и обоснования полученной формальной системы путем доказательства ее непротиворечивости (финитными методами). Однако теорема Г. о неполноте, демонстрируя границы применимости финитного подхода в математике, не может свидетельствовать об ограниченности логического знания. Э.Нагель и Дж.Ньюмен о значении открытий Г. для сравнительной оценки возможностей человека и компьютера пишут, что "...для каждой нашей конкретной задачи, в принципе, можно построить машину, которой бы эта задача была под силу; но нельзя создать машину, пригодную для решения любой задачи. Правда, и возможности человеческого мозга могут оказаться ограниченными, так что и человек тогда сможет решить не любую задачу. Но даже если так, структурные и функциональные свойства человеческого мозга пока еще намного больше по сравнению с возможностями самых изощренных из мыслимых пока машин... Единственный непреложный вывод, который мы можем сделать из теоремы Г. о неполноте, состоит в том, что природа и возможности человеческого разума неизмеримо тоньше и богаче любой из известных пока машин...". Г. также внес значительный вклад в аксиоматическую теорию множеств, два базисных принципа которой - аксиома выбора Э.Цермело и континуум-гипотеза - долгое время не поддавались доказательству, однако вследствие значимости их логических следствий исследования в этих направлениях продолжались. В аксиоме выбора Э.Цермело постулируется существование множества, состоящего из элементов, выбранных "по одному" от каждого из непересекающихся непустых множеств,
объединение которых составляет некое множество. (Из аксиомы выбора Э.Цермело выводимы следствия, противоречащие "интуиции здравого смысла". Например, возникает возможность разбиения трехмерного шара на конечное количество подмножеств, из которых возможно движениями в трехмерном пространстве реконструировать два точно таких же шара.) Континуум-гипотеза - это утверждение о том, что мощность континуума (мощность, которую имеет, например, множество всех действительных чисел) есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел. Обобщенная континуум-гипотеза гласит, что для любого множества М первая мощность, превосходящая мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества Р. Эта проблема (высказанная Кантором в 1880-х) была включена в знаменитый список 23 проблем Гильберта. В 1936 Г. доказал, что обобщенная континуум-гипотеза совместима с одной естественной системой аксиоматической теории множеств и, следовательно, не может быть опровергнута стандартными методами. В 1938 Г. доказал непротиворечивость аксиомы выбора и континуум-гипотезы (интеграция их в заданную систему аксиом теории множеств не вела к противоречию). Для решения этих проблем была редуцирована аксиоматическая система П.Бернайса, на основе которой, а также предположения о конструктивности каждого множества Г. выстроил модель, адекватную системе аксиом без аксиомы выбора, и такую, что в ней все множества обладали свойством полной упорядочиваемости. В этой модели аксиома выбора оказалась истинной (выполнимой) и, следовательно, совместимой с исходной системой аксиом, следовательно непротиворечивой. В этой модели оказалась истинной и континуум-гипотеза. Дальнейшие работы в этом направлении позволили Г. разработать конструкции для исследования "внутренних механизмов" аксиоматической теории множеств. Кроме работ в указанных направлениях, Г. предложил в 1949 новый тип решения одного важного класса уравнений общей теории относительности, который был расценен Эйнштейном как "...важный вклад в общую теорию относительности..." и был удостоен Эйнштейновской премии (1951).
C.B. Силков
ГЕЛЕН (Gehlen) Арнольд (1904-1976) - немецкий философ и социолог, один из классиков философской антропологии. 
ГЕЛЕН (Gehlen) Арнольд (1904-1976) - немецкий философ и социолог, один из классиков философской антропологии. В 1925-1926 слушал лекции Шелера и Н.Гартмана в Кёльне. В 1927 защитил под руководством Х.Дриша докторскую диссертацию. С 1930 - ассистент Х.Фрайера в Социологическом институте Лейпцигского университета. В мае 1933 вступил в НСДАП, занял кафедру во Франкфурте-на-Майне (ра-
   222
нее ее возглавлял Тиллих). С 1938 - в Кенигсберге. С 1940 возглавил Институт психологии в Вене. С 1944 - на Восточном фронте, в 1945 был ранен. После войны был снят с поста директора, но вскоре избран член-корреспондентом Австрийской Академии наук. В 1962- 1969 - профессор социологии в Высшей технической школе в Аахене. Основная программная работа - "Человек. Его природа и положение в мире" (1940). При жизни автора она издавалась 12 раз (два раза существенно перерабатывалась). Другие труды: "Действительный и недействительный дух" (1931), "Теория свободы воли" (1932), "Государство и философия" (1935), "Первобытный человек и поздняя культура" (1954), "Душа в техническую эпоху" (1957), "Картины времени. К социологии и эстетике современной живописи" (1960), "Мораль и гипермораль" (1969) и др. В творчестве Г. прослеживается два этапа: 1) до середины 1930-х (философия жизни, неофихтеанство, влияние Фрайера и Н.Гартмана); 2) с середины 1930-х - философско-антропологический период, в котором можно выделить два подпериода - рубеж которых пролегает в середине 1950-х. Изначально Г. предложил (наряду с Плеснером - эксцентрическая версия) вариант (деятельностная версия) антропобиологического "разворота" философской антропологии. В этот подпериод на Г. велико влияние А.Портмана (особенно его работ по биологии). Позднее заметна переориентация Г. на социологическое, в том числе - культур-социологическое "прочтение" философской антропологии, классиком которого стал его ученик - Х.Шельски. Г. - автор концепции "плюралистической этики", которую он специально разрабатывал в последние годы жизни. В эти же годы Г. - один из ведущих идеологов неоконсерватизма в ФРГ. Г. конструировал философскую антропологию как целостное знание о человеке, сводящее воедино данные отдельных наук на "неспекулятивном" уровне. ("...Надо заключить в скобки всякую теорию, сознательно или по недосмотру ориентированную метафизически, ибо ее существование или несуществование наряду с фактами не только ничего в них не меняет, но и не порождает никогда новых конкретных вопросов применительно к ним. В таком случае метафизична всякая теория, которая тенденциозно или, как это большей частью бывает, наивно группирует такие абстракции, как "душа", "воля", "дух" и т.д.") Вторая исходная теоретико-методологическая установка Г. - подчеркнутый антиредукционизм. Человек должен быть объяснен из него самого, из имманентной ему сферы. Такое исследование вполне возможно, "если не связывать себя с существующими объяснениями человека, а твердо держаться вопроса: что собственно означает эта потребность в истолковании человека?" Отказавшись от идеи "лестницы су-
ществ" Аристотеля, широко применявшейся в философской антропологии (Шелер, особенно Плеснер), Г. акцентировал другой широко распространенный в ее дискурсах комплекс идей, восходящих к Гердеру и Ницше, а специально биологически обосновывавшийся Портманом - комплекс идей о человеке как "недостаточном" существе. Он задает, согласно П., принципиальное отличие человека от любых иных живых существ (природа не определила человека животным, а предопределила его к "человеческому"). Человек "неспециализирован" в отличие от других животных, он обделен полноценными "инстинктами", не имеет своей особой экологической ниши, а тем самым изначально не может находиться в гармонии с природой. У него нет предопределенности к определенному типу жизни в некой особой среде. При этом он всегда целостен, и может быть понят лишь в своей этой целостности, системности (в этом отношении духовность человека суть реализованная возможность самой витальной природы человека, а не внеположенный ей "дух" Шелера). Человек в силу этого, по Г., всегда проблематичен, открыт миру, деятельностен (по необходимости), всегда характеризуется избытком внутренних "побуждений". Он вынужден нести на себе непосильный груз ответственности за собственное выживание и самоопределение в мире (справляться с собой). Человек всегда "перегружен", не может одновременно реализовывать свои интенции, "мешающие" друг другу. В результате возникает феномен неизбежного дистанцирования человека по отношению к самому себе. Он вынужден, согласно Г., быть постоянно нацеленным на изменения как себя самого, так и окружающей его среды, т.е. он не может просто "жить", а вынужден "вести жизнь", изобретая механизмы, позволяющие "разгружать" ее от чрезмерного перенапряжения. "Разгрузка" (методологически Г. формулирует это в "принципе разгрузки") осуществляется в деятельностном самоосуществлении человека, в действовании, как снимающем дуализм души и тела, субъекта и объекта (точнее, действие предшествует любым различениям такого рода), высвобождающем его из "плена" наличных ситуаций, заменяя все больше непосредственные взаимодействия символическими. Параллельно человек подталкивается к постоянному "переистолковыванию себя" посредством языка. Символическое самоистолковывание действий задает векторность движению из ситуации "избытка побуждений", накладывает ограничения на потребности (желания) и конституирует "поля" ("зоны") интересов. ("...Под действием нужно понимать предусмотрительное, планирующее изменение действительности, а совокупность измененных таким образом или вновь созданных фактов вместе с необходимыми для этого средствами - как
   223
"средствами представления", так и "вещественными средствами", - должны называться культурой".) Действуя, люди: 1) продуцируют культуру (мир символических значений), которая не может быть "отмыслена" от природы человека ("...там, где у животного мыслится окружающий мир, у человека располагается сфера культуры..."); 2) соотносят свои действия с действиями других, кооперируются с ними, порождая многообразие человеческих сообществ; 3) создают социальные институты, регулирующие взаимодействия и стабилизирующие их результаты. Институты - своего рода "заменители" "инстинктов", автоматизирующие человеческую жизнь. Они обеспечивают устойчивые интересы людей, формируя "привычки" и обогащая "мотивы", внося закономерность и предсказуемость в человеческое поведение (через "разумную целесообразность" и "интерсубъективную согласованность"). Прогрессирующая рационализация институтов находит свое адекватное воплощение в феноменах техники и в возрастании опоры на свой внутренний порядок, универсализирующий частные социальные порядки до глобально-властных притязаний. Каждый "частный порядок" презентирует и стилизирует различные диспозиционные системы, конституированные через деятельность людей (уже природой человек спроектирован и приспособлен для культурных форм существования). Отсюда невозможность, по Г., "моноэтики" и тезис об "этическом плюрализме". Так, Г. выделяет четыре самостоятельных этоса, представленных в современных типах общества: 1) стремление к взаимности (базирующееся не на принуждении, а на речевых коммуникациях, поддерживающих эквивалентность обмена и систему взаимных вознаграждений и накладывающих ограничения на нежелательное поведение; это отношения взаимного признания); 2) психологические добродетели (стремление к благополучию, потребность в защите и заботе, чувство долга, сострадание, "утверждающее чувство жизни"); 3) родовая мораль, поддерживающая "групповое чувство", "гуманитарность" ("гуманитаризм"; нормативная ориентация на жизнь человека как вида); 4) институциональный этос (поддерживающий иерархии и сокращающий возможности индивидуального выбора действий). За счет институционального этоса происходит нейтрализация агрессивных импульсов индивидов и групп, достигается приемлемый для общества компромисс (в том числе и за счет поддержки первого и второго этосов). Агрессия, по Г., - это всегда "прорыв" в критических ситуациях в культурно упорядоченную социальную жизнь "инстинктивности" (здесь Г. во многом следует за Лоренцем). С неоконсервативных позиций Г. сопоставляет третий и четвертый этосы, конкурирующие между собой. Основная его
критика касается "нивелирующего равенства", имплицитно присутствующего в "родовой морали" и ведущего к "массовому эвдемонизму" (хотя Г. видит и опасность поглощения индивида институтами). С его точки зрения, современная ситуация все же больше характеризуется "распадом" и "кризисом" институтов, ведущим к гипертрофированию индивидуального, дополняемым властью "гуманитаризма". Тем самым происходит "размывание" ценности "ответственности" в обществе, место которой занимают бесконечные "дискурсы оправдания". (Ответственность же, по Г., - это необходимость следовать нормам института, что неизбежно и необходимо в социокультурной жизни, так как обязательства, налагаемые институтом, антропологически фундированы.) Сужение поля действия ответственности пропорционально расширяет поле действия страха и неуверенности. Все это - следствие роста "произвольной свободы субъективности" (за счет "свободы в институциональных пределах"), фиксирующей глобальный кризис индустриального общества.
В.Л. Абушенко
ГЕЛЬВЕЦИИ (Helvetius) Клод Адриан (1715- 1771) - французский философ, крупнейший представитель французского Просвещения и школы французского материализма, идеолог революционной французской буржуазии 18 в. 
ГЕЛЬВЕЦИИ (Helvetius) Клод Адриан (1715- 1771) - французский философ, крупнейший представитель французского Просвещения и школы французского материализма, идеолог революционной французской буржуазии 18 в. Основные сочинения: "Об уме" (1758, в 1759 сожжено по распоряжению парламента как представляющее опасность для государства и религии), "О человеке, его умственных способностях и его воспитании" (1769, издано в 1773) и др. Г. разработал весьма динамичную философскую картину мира: природа, частью которой является человек, существует