то идея исчисления, представленная здесь посредством идеи операции (точки не существует)"[203]. Что же вытекает из этих замечаний? Связь математики с логикой видится Витгенштейну не в том, что основное понятие первой можно выразить в понятиях второй, а в том, что система логики строится на основе некоторой вычислительной процедуры, которая позволяет представить всё содержание логики в систематическом виде. Понятие числа должно отталкиваться от экспликации этой процедуры, которая в рамках самой логики представлена понятием операции. Подобный ход мысли вряд ли можно назвать редукцией. Здесь понятие числа не сводится к логическим понятиям; скорее, оно представляет собой своеобразный способ выражения определённых свойств логических закономерностей. Отсюда вытекает самое главное. Логические закономерности, представленные идеей операции, показывают внутренние свойства знаковой системы, и число есть способ демонстрации этих свойств; т.е. число используется не для того, чтобы сказать о чём-то, но для того, чтобы показать внутренние черты языка, 'всеобщую и необходимую природу знаков'. 
    О какой же операции идёт речь? Пример построения формального ряда, не зависящего ни от каких случайностей, даёт нам операция истинности (а именно, рассмотренная ранее операция N), которая вводится уже вместе со знаком элементарного предложения. Именно её наличие предоставляет возможность рассмотрения логики в виде исчисления. 
    Начнём с того, что с точки зрения приведённых ранее объяснений нетрудно видеть, как строится ряд предложений, где в качестве базиса операции берётся одно элементарное предложение "p":
"p"
"N(p)"                          (= "?p" Def.)
"N(N(p),p)"                  (= "??p??p" Def.)
"N(N(N(p),p))"            (= "?(??p??p)" Def.)
Этот формальный ряд, так же как и приведённый выше, упорядочен внутренним отношением, но свободен от случайной структуры элементарного предложения "p". Он предоставляет нам все четыре различных возможных функции истинности, построенных из одного предложения, а именно: исходную функцию, функцию, противоречащую исходной, противоречие и тавтологию, т.е. те возможности, которые зафиксированы в таблице 2. Внешний вид знаков данного формального ряда показывает, какой его член является первым, а какой последующим. Ряд начинается с самого предложения "p"; каждое последующее предложение предполагает применение операции N, причём чем дальше член ряда отстоит от исходного, тем большее количество операций N присутствует. То, что "N(p)", как и остальные члены данного ряда, следуют за "p", видно из особенностей самого этого ряда. Кроме того, ранее было показано, что, используя операцию N, можно построить формальный ряд предложений с произвольным исходным членом (т.е. где исходным членом было бы множество, состоящее более чем из одного элементарного предложения), например ряд, соответствующий таблице 3. Все ряды предложений, которые предполагает логика как исчисление, построенное с использованием этой операции (а значит, ввиду сводимости любой операции истинности к операции N, с использованием любой операции истинности), являются формальными. Это важно в связи с тем, как вводится формальное понятие 'член данного формального ряда'. Четырьмя абзацами выше уже цитировался афоризм 4.1273, который говорит о том, как ввести это понятие. Нужно лишь указать первый член формально ряда и дать общую форму операции. Как применяется операция N в каждом конкретном случае, ясно из вышеизложенного. Первый член может быть различным, скажем, состоять из одного предложения или из класса предложений. Но для формального ряда построенного с помощью операции N, всегда можно определить, принадлежит ли ему произвольное предложение. Например, отталкиваясь от исходного члена (p) и способа применения операции, видно, что "N(p)" (= "?p" Def.) принадлежит тому же формальному ряду, что и "p", а отталкиваясь от исходного члена (p,q) и способа применения той же операции к двум предложениям, видно, что "N(p,q)" (= "?p??q" Def.) принадлежит тому же формальному ряду, что "p" и "q" и т.д.
    Самое интересное в этом то, что общее всех таких формальных рядов выразимо одной переменной, а именно общей формой предложения [ p,  ?,  N ( ? )], представленной в афоризме 6. Общая форма предложения позволяет предвидеть то, как может быть построен любой член любого формального ряда с произвольным первоначальным членом в виде совокупности элементарных предложений [6.001].  Отсюда следует, что в этой общей форме уже присутствует общая форма того, как одно предложение может быть построено из других, т.е. в нём уже присутствует общая форма операции. А значит, можно указать, как может быть построен любой формальный ряд с любым исходным членом. Указание на такой способ построения уже не содержит никакой случайности и может рассматриваться в качестве общей формы того, как строится любой формальный ряд, предполагаемый единственно существованием предложений. Такое указание естественно является переменной. Но в отличие от общей формы предложения, оно является переменной иного ранга в том смысле, что оно не указывает на конкретный исходный член формального ряда. Если общая форма предложения предполагает, что такой первый член должен быть совокупностью элементарных предложений [6.001], то общая форма операции указывает лишь на то, что первый член любой формальной последовательности такого типа должен быть предложением. Но поскольку 'предложение' - это формальное понятие, то задать его можно лишь переменной, каковой является общая форма предложения. Поэтому базисом общей формы операции истинности является общая форма предложения. 
    Именно в этом смысле следует понимать общую форму операции, которую Витгенштейн вводит в афоризме 6.01: "Общая форма операции ?'(?) есть: [?, N(?)]' (?) (= [?,?,N(?)]). Это есть самая общая форма перехода от одного предложения к другому". Здесь "?" является формальным понятием предложения, т.е. замещает переменную [ p,  ?,  N ( ?  )]. Другими словами, знак "?" показывает, что основанием операции ?' является предложение. Таким образом, общая форма операции даёт самую общую форму построения формального ряда. Иначе говоря, посредством общей формы операции выражается формальное понятие формального ряда.
    Построение формального ряда предполагает последовательное применение операции, и это даёт Витгенштейну основание для введения числа. Операция строит формальный ряд, применяясь к собственному результату. Построим теперь такой ряд следующим образом [6.02]: Пусть х является первым членом ряда; членом, следующим непосредственно за х, будет ?'x; членом, следующим непосредственно за ?'x, будет ?'?'x; членом, следующим непосредственно за ?'?'x, будет ?'?'?'x и т.д. Первый член данного ряда характеризуется отсутствием операции, а каждый последующий - применением операции к непосредственному результату своего предшествующего применения. Примером может служить рассмотренный выше ряд предложений, начинающийся с "p". Здесь само предложение "p" характеризуется отсутствием операции, а каждый последующий член - её применением. Теперь, если первый член ряда, т.е. отсутствие операции, определить как x=?0'x Def., а результат повторного применения операции к произвольному непосредственно предшествующему члену как ?'??'x=??+1'x Def., то ряд
х, ?'x, ?'?'x, ?'?'?'x ...
запишется так:
?0'x, ?0+1'x, ?0+1+1'x, ?0+1+1+1'x, ... 
Используя следующие определения: 0+1=1 Def., 0+1+1=2 Def., 0+1+1+1=3 Def. и т.д., этот ряд можно записать так:
?0'x, ?1'x, ?2'x, ?3'x, ... 
Таким образом, "число есть показатель операции" [6.021] и должно вводиться как то общее, что характеризует эти показатели. Но это общее нельзя выразить содержательным понятием, формальное понятие числа выражается общей формой числа, переменной числа [6.022], показывающей свои возможные значения. Если формальное понятие 'член формального ряда', учитывая показатель операции, выразить переменной [?0'x, ??'x, ??+1'x], то общая форма целого числа выражается переменной [0, ?, ?+1]. Эта общая форма показывает, что является членом натурального ряда чисел, и сохраняет все свойства натурального ряда, основывая их исключительно на общих чертах любого формального упорядочивания, не зависящего ни от каких случайностей.
    Способ введения числа, предложенный Витгенштейном, весьма отличается от того понимания, которое предлагали Фреге и Рассел. Как показатель операции число не является ни предметом, ни классом предметов. Следовательно, и знаки 0, 1, 2, 3 ... не являются обозначениями таких предметов или классов. Цифры есть лишь способ выражения черт знаковой системы, не предполагающие собственного значения. Можно сказать, что у Витгенштейна речь идёт даже не о числах, а исключительно о цифрах. Соответственно, математика понимается как грамматика цифр[204]. Эта грамматика является специфическим выражением закономерных черт знаковой системы, и в этом смысле "математика есть логический метод" [6.2]. Её предложения являются уравнениями, которые, как и предложения логики, ничего не говорят о действительности, а потому являются псевдопредложениями: "Предложение математики не выражает никакой мысли" [6.21]. Если задаться вопросом о том, зачем они нужны, окажется, что, подобно предложениям логики, они служат лишь для того, чтобы из одних предложений, не принадлежащих математике, получать другие предложения, равным образом не принадлежащие математике [6.21]. Тавтология 'p?q?p:?:q', обнаруживая внутренние отношения между предложениями, показывает демонстративность выводов типа следующего:
"Если сахар поместить в воду, то он растворится. 
 Сахар поместили в воду. 
 Следовательно, он растворился".
Уравнение '5+2=7' также обосновывает выводы, например:
"На столе лежало пять яблок.
 К ним добавили ещё два.
 Следовательно, на столе лежит семь яблок".
Как в первом, так и во втором случае, связываемые предложения суть действительные предложения; они являются образами фактов. Но ни тавтология, ни уравнение не являются образами. Существенная истинность вторых в противоположность случайной истинности первых обеспечивается чертами знаковой системы. Уравнение, как и тавтология, характеризует логическую форму связываемых предложений. Оно показывает внутренние отношения тех предложений, в которых встречаются цифры, и, соответственно, логическое пространство выраженных в этих предложениях фактов. Отсюда совершенно не случайно вытекает следующее утверждение Витгенштейна: "Логику мира, которую предложения логики показывают в тавтологиях, математика показывает в уравнениях" [6.22]. 
    Правда, здесь следует учесть, что уравнения - это вообще не предложения, даже в том усечённом смысле, в котором предложениями можно назвать тавтологии и противоречия. Предложения логики всё-таки являются результатом применения операций истинности к действительным предложениям и подпадают под общую форму предложения. Уравнения нельзя получить таким способом; они не подпадают под общую форму предложения. Следовательно, их нужно трактовать отличным от тавтологий способом. Если связанные в тавтологию посредством операции действительные предложения взаимно аннулируют своё изобразительное отношение к действительности, оставляя всё логическое пространство другим предложениям, и тем самым обнаруживается их логическая форма, то уравнения характеризуют логическую форму выражений, показывая их взаимозаменимость [6.23]. Знак равенства связывает выражения с одинаковым значением, и в уравнении тождество значений этих двух выражений должно усматриваться исключительно из особенностей их логической формы. Логическая форма - это то, о чём по определению сказать ничего нельзя. Именно поэтому уравнения математики ничего не говорят, они не являются истинными или ложными. Но они показывают, что выражение одной логической формы может быть заменено выражением другой логической формы. 
    Однако, если мы понимаем эти выражения, то их логическая форма уже известна и, следовательно, уже известно, что они могут быть заменены друг на друга. Это видно из самих этих выражений [6.23]. Взаимозаменимость выражений является характерной чертой их логической формы, которая известна, как только эти выражения поняты. Так, характерной чертой "1+1+1+1" является то, что оно может пониматься как "(1+1)+(1+1)" [6.231]. Без уравнений, стало быть, можно обойтись: "В уравнении существенно то, что оно не необходимо для того, чтобы показать, что оба выражения, связываемые знаком равенства, имеют одинаковое значение, так как это может быть понято из самих этих двух выражений" [6.232]. Потребность в уравнениях, как и потребность в тавтологиях, возникает тогда, когда необходимо систематизировать определённые черты знаковой системы, а именно, те черты, которые позволяют рассматривать выражения с точки зрения тождества их значений [6.2323]. Но тождественность значения двух выражений не может утверждаться (особенно, если утверждение понимается в смысле Фреге как переход от содержания к истинностному значению), поскольку для того, чтобы что-то утверждать об их значении, "я должен знать их значение; а зная эти значения, я знаю, обозначают ли они одно и то же или  различное" [6.2322]. Тождественность выражений показана логической формой этих выражений, и оно может усматриваться без обращения к тому, о чём говорят эти выражения [6.2321]. 
    Разумеется, логическая форма самих выражений может быть усложнена. Скажем, в отличие от тождественности значений выражений "1+1+1+1" и "(1+1)+(1+1)", тождественность значений выражений "5+2" и "7" усматривается не столь непосредственно. Здесь и возникает потребность в доказательстве. Но математическое доказательство, так же как и доказательство логических предложений, существенно отличается от доказательства действительных предложений. Математическое доказательство не доказывает истинность выражений типа "5+2=7". Так же, как логическое доказательство, позволяющее распознать тавтологию там, где она усложнена, математическое доказательство позволяет распознать уравнение там, где оно усложнено. Здесь не требуется особого созерцания, поскольку необходимое созерцание при решении математических проблем доставляет сам язык [6.233]. Работа с уравнениями, как существо математического метода [6.2341], не требует обращения ни к какой действительности, для этого достаточно понимания числа, которое не выходит за рамки знаковой системы. Работа с уравнениями заключается в том, что от одних уравнений, в которых наблюдение за тождеством значений выражений усложнено, мы переходим к другим уравнениям, где это тождество обнаруживается непосредственно. При математическом доказательстве сложные уравнения заменяются более простыми. "Метод, с помощью которого математика приходит к своим уравнениям, есть метод подстановки" [6.24]. Обоснование уравнений типа "5+2=7" или "2?2=4" можно свести к непосредственной очевидности тождества выражений вида "1+1+1+1" и "(1+1)+(1+1)". Подобные тождества основаны на представленной выше общей форме числа, вытекающих из неё чертах натурального ряда (например, законов ассоциативности и коммутативности операций сложения и умножения) и определений конкретных цифр, которые являются показателями применения операции [6.241][205]. 
    Специфическая трактовка математических псевдопредложений как уравнений позволяет теперь охарактеризовать связь математики и логики. Начнём с того, что характеристики уравнений вполне аналогичны характеристикам тавтологий[206]. В этом отношении их можно объединить в общий класс псевдопредложений. Далее, то понимание процесса счёта, которое вытекает из особенности применения операций истинности, является необходимым и достаточным основанием математической интуиции. "Счёт не есть эксперимент" [6.2331] в том отношении, что он не обосновывается эмпирическим подтверждением. Формальный ряд предложений, порождающий логику, как основание введения числа позволяет говорить, что "математика есть метод логики" [6.234]. Действительно, форма числа, выраженная переменной и обосновывающая все черты натурального ряда, выводится из особенностей применения операций истинности. И в этом отношении можно сказать, что математика как система есть специфическое расширение логики. Математика есть расширение способов демонстрации свойств знаковой системы, на которых, как и неслучайность тавтологий, базируется неслучайность её уравнений[207]. 
    Остаётся добавить, что хотя математика и вытекает из логических закономерностей, подход Витгенштейна - это, конечно, не логицизм во фреге-расселовском смысле. Это логицизм sui generis, сводящий к одной рубрике всё то, что вытекает из 'всеобщей и необходимой природы знаков'.
 
3.4.3. Предложения естествознания
     
    Рассмотрение естествознания Витгенштейн открывает следующим утверждением: "Исследование логики означает исследование всей закономерности. А вне логики всё случайно" [6.3]. Первая часть этого утверждения вполне объяснима с точки зрения общей цели ЛФТ, которая ограничена исследованием 'всеобщей и необходимой природы знаков'. Но вторая часть если и не вызывает недоумение, то всё же заставляет поставить ряд вопросов. Господствующий взгляд на необходимость всегда стремился противопоставить логическую закономерность закономерностям природы, на экспликацию которых претендует естествознание. В рамках самого естествознания находят место так называемые законы науки, истинность которых считается необходимой. Противопоставление двух типов необходимости закрепляется, например, у Канта в противопоставлении аналитических суждений и суждений априорно-синтетических. Необходимая истинность вторых имеет иное основание, чем истинность первых. В частности, она требует выхода за рамки логического и обращения к опыту. Вот здесь и возникает проблема. Если ограничить всякую закономерность логической необходимостью, т.е. отвергнуть априорно-синтетическую истинность естественнонаучных законов, то либо необходимо вернуться к скептицизму типа скептицизма Юма, считавшего все естественнонаучные законы случайными обобщениями опыта, либо свести то, что считается природной закономерностью, к необходимым чертам знаковой системы. Из этой альтернативы Витгенштейн выбирает второй вариант. 
    Но следует сразу оговориться, что ход мысли, представленный в ЛФТ, отличается от других попыток использовать логические закономерности для обоснования естествознания. Под другими попытками здесь понимается тот раздел традиционной логики, который усилиями английского эмпиризма (в частности, так называемые методы научной индукции Бэкона-Милля) получил название индуктивной логики. Всё дело в том, что принцип индукции является содержательным и не удовлетворяет предложенному Витгенштейном пониманию логического: "Так называемый закон индукции ни в коем случае не может быть логическим законом, так как очевидно, что он является осмысленным предложением. - И поэтому также он не может быть априорным законом" [6.31]. Принцип индукции допускает осмысленное отрицание, а потому выходит за рамки логической закономерности, так как является действительным предложением, столь же случайным, как и все другие осмысленные предложения. С точки зрения Витгенштейна, "процесс индукции состоит в том, что мы принимаем простейший закон, согласующийся с нашим опытом. Но этот процесс имеет не логическое, а только психологическое основание" [6.363, 6.3631]. Однако вера в то, что в действительности наступает простейший случай, не имеет никакого логического основания. Необходимость же, обнаруживаемая естествознанием, должна найти место во 'всеобщей и необходимой природе знаков'. Здесь, как и в случае с математикой, внутренняя телеология языка, устанавливая границу выражения мысли, должна показать, 'о чём может быть сказано ясно'.
    Указание на то, что может быть сказано ясно, здесь использовано не случайно. В отличие от предложений логики и математики, которые являются псевдопредложениями (т.е. хотя и показывающими, но ничего не говорящими выражениями), предложения естествознания нечто говорят [6.53], а потому их объяснение должно быть принципиально иным. Именно предложения, относящиеся к компетенции естествознания, являются действительными предложениями.