дложение биполярно, т.е. может быть как согласовано, так и не согласовано с соответствующими состояниями дел. Во-вторых, он показывает, какое место предложение оставляет факту. Поскольку истинность элементарного предложения указывает на существование состояния дел, а ложность на несуществование, то согласованность сложного предложения показывает, какая комбинация существования и несуществования возможна, а какая - нет. Как говорит Витгенштейн, "предложение, образ, модель подобны в отрицательном смысле твёрдому телу, которое ограничивает свободу движения другого тела; в положительном смысле подобны пространству, ограниченному твёрдой субстанцией, в котором помещается тело" [4.463]. Наконец, табличный способ записи демонстрирует, что знак может вообще не определять действительность и лишь по видимости являться предложением. При упорядочивании в ряд, как в таблицах 2 и 3, этот случай соответствует двум крайним вариантам условий истинности, а именно: когда предложение истинно при всех условиях, и когда оно при всех условиях ложно.
     
     
     
p
 
q
 
 
p
q
 
И
И
И
 
И
И
Л
Л
И
И
 
Л
И
Л
И
Л
И
 
И
Л
Л
Л
Л
И
 
Л
Л
Л
       (таб.5)
     
Знаки типа представленных в таблице 5 или записанных в виде '(ИИИИ)(p, q)' и '(ЛЛЛЛ)(p, q)' Витгенштейн называет тавтологией и противоречием соответственно. "Тавтология оставляет действительности всё бесконечное логическое пространство, противоречие заполняет всё логическое пространство и не оставляет действительности ни одной точки" [4.463]. Таким образом, таблицы истинности дают более удобный, чем ab-запись, использованная в Заметках, продиктованных Муру, способ выражения того, что каждая тавтология должна сама показывать, что она является тавтологией.
    В сравнении с записью, используемой Фреге и Расселом, таблицы истинности обладают одним несомненным достоинством. Язык Principia Mathematica ориентирован на естественный язык и строится по его образцу и подобию. Логические константы типа '?' и '?', применяемые Расселом при его построении, получены формализацией фрагментов естественного языка и являются своего рода экстрактами. Такой подход оставляет открытым вопрос о полноте выявленных логических связей и установлении всех возможных форм предложений. И хотя эта проблема разрешима, её решение требует дополнительных средств, в частности апелляции к условиям истинности, которые рассматриваются как объяснение смысла логических союзов. Таблицы истинности, напротив, без каких либо дополнительных объяснений позволяют предвидеть форму любого возможного предложения. Все знаки конструируются a priori единым способом и легко упорядочиваются в ряд. Количество возможных выражений согласования и несогласования равно количеству возможных согласований и несогласований; (22)n возможностей согласования и несогласования n элементарных предложений соответствует (22)n возможностей выражения этих возможностей. Иными словами, возможно (22)n знаков предложений, построенных из n элементарных предложений. Процедура, используемая Витгенштейном, не требует никакого языкового опыта, а ориентируется на априорную сущность предложения. Использование логических союзов становится совершенно необязательным, чем достигается большая общность рассмотрения, т.е. логика сохраняла бы своё значение и в том случае, если бы не было никаких логических констант в смысле Фреге и Рассела.
    С точки зрения эвристической ценности результаты табличной записи не сводятся к вышеперечисленным, но имеют радикальное следствие для всей философии логики. Главное в том, что новый способ записи предложений отвечает методологическим устремлениям Витгенштейна, позволяя свести всё содержание логики к уровню показанного. Этим достигается решение целого ряда проблем, поставленных ещё в Заметках. С точки зрения внутренних отношений между знаками, во-первых, разводятся понятия функции истинности и операции истинности, смешение которых лежит в основании неправильного объяснения у Фреге и Рассела логических констант как знаков особых логических объектов. Во-вторых, достоверность логического вывода объясняется таким образом, что излишними становятся законы дедукции, используемые Фреге и Расселом для его оправдания. В-третьих, уточняется понятие вероятности, которая рассматривается не как статистическое обобщение случайных событий, но как характеристика внутренних отношений между предложениями. В-четвёртых, проясняется специфика так называемых предложений логики, совокупность которых исчерпывается тавтологиями и противоречиями. В-пятых, устанавливается общая форма предложения как априорная конструкция, лежащая в основании всех возможных предложений. Наконец, все эти достижения позволяют охарактеризовать логику как науку, отличную от всех других наук. Приступим теперь к рассмотрению и интерпретации этих достижений.
     
3.3.2. Функции истинности и операции истинности
 
    Соотношение возможностей истинности элементарных предложений и возможностей согласования и несогласования позволяют рассматривать предложение как выражение некоторой функции, областью определения которой могут, например, выступать столбцы таблицы 1, а областью значения столбцы таблиц 2 или 3. В этом отношении, скажем, таблица 4 представляет собой знак целостной функции, аргументами и значениями которой являются условия истинности элементарных предложений и сложного предложения соответственно. Это наблюдение Витгенштейн рассматривает как объяснение всех возможных предложений: 
"5. Предложение есть функция истинности элементарных предложений. (Элементарное предложение - функция истинности самого себя.)
5.01. Элементарные предложения - аргументы истинности предложения".
Здесь сразу же просматривается аналогия со знаковым языком Фреге-Рассела, где функциональный принцип положен в основание объяснения логических констант. Витгенштейн вполне осознаёт эту аналогию. Выше уже говорилось, что таблица 4 может рассматриваться как объяснение предложения 'p?q'. Подобное соответствие устанавливается в ЛФТ и в отношении других предложений [5.101]. Так, например, '(ИИИЛ)(p, q)' соответствует 'p?q', '(ИЛЛЛ)(p, q)' соответствует 'p ? q', '(ЛИЛИ)(p, q)' соответствует '?p' и т.п.
    Априорный принцип, заложенный Витгенштейном в конструкцию всех возможных знаков предложений, показывает, что логические константы не являются необходимыми для языка логики, особенно если отталкиваться от априорного способа конструирования предложений. Но даже если они и используются, сама возможность обойтись без них указывает на то, что они очевидно не должны пониматься в смысле Фреге-Рассела как знаки особых логических объектов. Однако поскольку метод анализа логических взаимосвязей, предложенный в Шрифте понятий и Principia Mathematica, удовлетворяет потребности конструирования знаковых систем, он должен найти своё оправдание. Для любого языка - это относится и к естественному языку, поскольку он использует соответствующие выражения, - необходимо найти основание для введения логических союзов, отталкиваясь от априорной конструкции. Раз знаковая система может использовать нечто подобное логическим константам, функционирование которых априорно, значит, сама эта возможность должна быть обнаружена уже в знаке предложения.
    Для демонстрации этого начнём с того, что возможность упорядочивания в ряд, как в таблице 3, показывает, что структуры предложений находятся в отношениях, которые проявлены в самих знаках. Напомним, что отношения такого рода Витгенштейн называет внутренними. Наличие таких отношений указывает на то, что существует простой способ получения одной функции из другой. Возьмём, например, предложения '(ЛИЛИ)(p, q)' и '(ИЛИЛ)(p, q)' соответствующие 6-му и 11-му столбцам таблицы 3. Нетрудно заметить, что второй знак можно получить из первого простой заменой 'Л' на 'И' и 'И' на 'Л', а первый получить из второго обратной заменой. То же самое применимо и ко всем другим предложениям. Преобразования подобного рода Витгенштейн называет операциями: "Операция - это то, что должно произойти с предложением, чтобы образовать из него другое" [5.23]. Любой ряд, аналогичный представленному в таблице 3, можно рассматривать как результат последовательного применения таких операций, а потому, "внутреннее отношение, упорядочивающее ряд, эквивалентно операции, благодаря которой один член возникает из другого" [5.232]. Поскольку каждое предложение строится из элементарных предложений, постольку в конечном счёте предложение является результатом применения операций к элементарным предложениям. Соответственно, всякая функция истинности есть результат операций, применяемых к элементарным предложениям. Эти операции Витгенштейн называет операциями истинности. Операции истинности суть не что иное, как способ построения функций истинности, они показывают, какие преобразования должны быть проведены, чтобы из условий истинности элементарных предложений получить условия истинности сложного предложения. Именно последовательное применение операций к функциям образует формальный ряд, где каждая операция представляет собой переход от одного члена ряда к следующему.
    Операции истинности характеризуются следующими свойствами:
1.      При построении одной функции могут последовательно использоваться несколько операций истинности. В этом случае результат одной операции рассматривается как базис другой. Это связано с тем, что переход от одного члена ряда к другому возможен через посредство других членов. Таким образом, при построении функций операции можно применять и к таким предложениям, которые не являются элементарными, а представляют собой результат применения других операций[167]. Нетрудно, например, заметить, что знак, представленный таблицей 4 сохранял бы своё значение и в том случае, если бы p и q не были элементарными предложениями [5.31]. При построении функции могут использоваться как разные, так и одна и та же операция, повторно применяясь к своему собственному результату [5.251, 5.2521]. 
2.      Одна и та же функция истинности может быть построена с помощью различных операций. Это связано с тем, что от одного члена ряда мы можем перейти к другому через посредство различных членов этого ряда. Функция при этом останется неизменной, изменится лишь способ её построения. Последнее указывает на возможность перекрёстного определения операций, где последовательность одних может заменяться последовательностью других [5.41]. Поэтому операции характеризуют не форму функции, а лишь различия в построении этой формы [5.24, 5.241].
3.      На то, что операции истинности затрагивают лишь различия в построении форм, указывает и то, что одна и та же операция может использоваться при построении различных функций [5.242]. На это указывает то, что от одних членов ряда можно переходить к другим через посредство одного и того же члена этого ряда[168].
4.      "Одна операция может аннулировать результат другой" [5.253]. Это связано с тем, что к произвольному члену формального ряда можно вернуться через посредство других членов этого ряда. В частности, можно указать операцию, повторное применение которой аннулирует результат своего предыдущего применения; в этом случае операция просто исчезает [5.254].
Свойства операций истинности показывают, что их необходимо строго отличать от функций истинности, свойства которых совершенно иные. Так, функция не может выступать своим собственным аргументом, тогда как операция может быть своим собственным основанием [5.251]; в отличие от операции функция не может исчезать и её значение не может быть аннулировано другой функцией[169]. Можно сказать, что функция и операция различаются как конструкция и метод построения конструкции. 
    Заметим, что метод построения конструкции был выведен исключительно из особенностей самой конструкции и не требовал применения дополнительных средств. Всё, что можно сказать об операциях, непосредственно видно из знаков предложений и заданного способа их образования. Это замечание особенно важно в связи с тем, что Витгенштейн рассматривает логические константы в смысле Фреге-Рассела как выражение операций истинности: "Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т.д. - суть операции" [5.2341]. Операции истинности как раз и есть то указанное выше априорное основание, которое требуется для введения логических союзов. Например, описанная выше операция, с помощью которой из знака '(ЛИЛИ)(p, q)' получается знак '(ИЛИЛ)(p, q)', соответствует знаку отрицания '?', как он понимается в нотации Principia Mathematica. И действительно, легко показать, что любое выражение, использующее логические союзы, можно записать в таблицах истинности с точки зрения представленного выше понимания функций истинности и операций истинности. Возьмём, например, выражение '?(p ? ?q)'. Таблица 6 показывает как последовательное применение операций, выраженных с помощью '?' и '? ', строит соответствующий знак предложения в записи Витгенштейна.
     
p
Q
?q
p ? ?q
?(p ? ?q)
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
       (таб.6)
 
В этой таблице операции, последовательно применяясь к двум первым столбцам, приводят к пятому столбцу через посредство третьего и четвёртого. Причём третий столбец есть результат преобразования второго, а четвёртый - первого и третьего. Применение каждой операции создаёт особую функцию, которая служит промежуточным этапом построения всей функции. Используя другой способ представления, ориентированный на результат всех операций, представленный в пятой колонке, выражение '?(p ? ?q)' можно записать как '(ИИЛИ)(p, q)'. Интересно, что знак, представленный таблицей 6, совпадает со знаком таблицы 4, хотя и строятся они различным способом. По сути дела, это знаки одной и той же функции, но построенной в первом и втором случае с помощью разных операций, "ибо все результаты операций истинности над функциями истинности, которые являются одной и той же функцией истинности элементарных предложений, являются тождественными" [5.41]. Таким образом, операции истинности не вносят ничего нового в способ символизации предложения, в способ его связи с действительностью; они не имеют собственного содержания. Всё, что затрагивают операции истинности, - это различия в способе построения знаков, причём эти различия уже предопределены априорной конструкцией предложения, они не требуют для своего объяснения дополнительных средств, но показаны самим знаком.
    Таким образом, Витгенштейн даёт совершенно иное, чем Фреге и Рассел, объяснение логическим союзам. Это объяснение позволяет разрешить все те затруднения, которые были высказаны ещё в Заметках по логике, связанные с пониманием союзов как логических констант, обозначающих особые 'логические объекты'. Такое понимание основано на смешении функций истинности и операций истинности. Только в этом случае можно говорить, что логические союзы нечто обозначают. Только в этом случае можно говорить, что они являются логическими константами, обозначающими истинностные функции, которые выступают логическими объектами. Но тогда необъяснимыми становятся взаимоопределимость союзов [5.42] и возможность их исчезновения [5.254]. Проблема решается тем, что "нет 'логических констант', 'логических объектов' (в смысле Фреге и Рассела)" [5.4]. 
    Предложения, в которых встречаются логические союзы, не трактуют ни о каких объектах. Например, предложение '?p' не говорит об объекте, соответствующем '?', оно показывает, с помощью каких преобразований согласованы и не согласованы истинностные возможности 'p'. Это отличает их от элементарных предложений типа 'fa'. В отличие от функций, выраженных в последних, функции истинности не являются материальными. Последнее требует дополнительного объяснения. Возьмём, например, '??p' и 'p ? p'. Эти предложения тождественны 'p'. Но если бы логические союзы обладали каким-то собственным содержанием, то приведённые предложения явно должны были бы различаться, однако они выражают одну и ту же функцию. Таким образом, получается, что все операции истинности, которые могут быть проведены с истинностными функциями, даны уже вместе с элементарным предложением, которое является их основанием [5.442; 5.47]. Очевидно, не то происходит с операциями, которые можно провести с материальными функциями[170]. Стало быть, операции с первыми априорны, а со вторыми - нет. Действительно, операции с материальными функциями требуют знакомства с содержанием последних. По виду 'fx' невозможно установить, какие операции можно провести с этой функцией. Необходимо задать предметную область, на которой она определена. A priori, с точки зрения Витгенштейна, могут быть даны только форма и её различия[171]. 
    Поскольку все возможные истинностные функции предвидимы, а различия их форм заданы априорно, то это говорит о том, что существует единый способ их возникновения. На это косвенно указывает уже то, что, во-первых, все операции даны со знаком элементарного предложения и, во-вторых, все операции взаимоопределимы. Действительно, раз все логические операции даны 'сразу же' (aufeinmal) [5.47], любая функция может быть сконструирована с помощью различного набора операций[5.42], а одна и та же операция может использоваться при конструировании различных функций [5.451], это показывает, что все операции имеют нечто общее. И это общее можно результировать в единственной операции: "Каждая функция истинности есть результат последовательного применения операции (- - - - - И)(?,......) к элементарным предложениям. Эта операция отрицает все предложения в правых скобках, и я называю её отрицанием этих предложений" [5.5]. Другими словами, все операции, с помощью которых строятся предложения, можно заменить последовательным применением указанной операции[172]. 
    Объясним эту операцию на примере двух элементарных предложений p и q. В нотации Рассела эта операция будет соответствовать логическому умножению отрицаний данных предложений, а именно '?p ? ?q'. В табличной записи Витгенштейна знак будет выглядеть следующим образом:
     
p
q
?p
?q
?p ? ?q
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
И
И
       (таб.7)
 
Или иначе, '(- - -И)(p, q)'[173]. Данную операцию можно применять повторно, взяв из таблицы 7 в качестве её базиса любой набор из двух столбцов или дважды один и тот же столбец. Допустим, в качестве базиса операции будет дважды выступать столбец 5. Отрицая соответствующие функции в нотации Рассела получим выражение '?(?p ? ?q) ? ?(?p ? ?q)', что в табличной записи примет вид:
 
?p ? ?q
?p ? ?q
?(?p ? ?q)
?(?p ? ?q)
?(?p ? ?q) ? ?(?p ? ?q)
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
И
И
И
Л
Л
Л
       (таб.8)
        
Или иначе '(ИИИ-)(p, q)'. Далее, в качестве базиса операции можно рассматривать любую комбинацию из столбцов таблицы 7 и таблицы 8 и т.д. Или возьмём такую последовательность: Применим данную операцию к столбцам 3 и 2 из таблицы 7. В нотации Рассела получится '??p ? ?q'. Затем результат возьмём дважды в качестве базиса этой операции. В той же нотации получим знак '?(??p ? ?q) ? ?(??p ? ?q)'. Используя алгоритм, построения таблиц, нетрудно установить, что этому знаку будет соответствовать '(ИИ-И)(p, q)'. 
    Подведём итог. Последний пример, а также таблицы 7 и 8 являются ни чем иным, как членами формального ряда, представленного в таблице 3 (столбцы 3, 2 и 15 соответственно). При последовательном применении указанной операции можно построить весь формальный ряд таблицы 3[174], а в общем случае любой формальный ряд, состоящий из n элементарных предложений. 
    Представим весь такой ряд для двух элементарных предложений (т.е. для всей таблицы 3) следующим образом. Пусть '  ? ' является переменной, а её значениями являются различные комбинации предложений, если их последовательность безразлична, стоящие в правой скобке выражения (- - - - - И)(?,......). Например, если ? имеет три значения: ?, ?, R, то '  ?' равно (?, ?, R), где ?, ? и R, в свою очередь, могут быть результатом применения этой же операции. Обозначим теперь применение этой операции к значениям переменной '  ?  ' как "N(  ?  )" [5.501; 5.502]. Тогда, "если ? имеет только одно значение, то N(   ?  ) = ?p (не p) и если ?  имеет два значения, то N(   ?  ) = ?p ? ?q (ни p, ни q)" [5.51]. Любое п