развилку и движущееся вокруг стержня, проходящего через его центр. Если к двум концам бечевки, перекинутой поверх блока (рис. 19), подвешены два равных груза, то будет иметь место равновесие. Ведь очевидно, что эти грузы действуют лишь на конец диаметра. Следовательно, Вы не должны считаться ни с верхней, ни с нижней частью блока; представьте себе эти грузы как подвешенные на плечи весов на равном расстоянии от центра тяжести, или от точки подвеса. Поэтому Вы должны применить к этому блоку все сказанное нами о весах.

 
Посредством ряда
блоков малая сила
поддерживает
большой груз
Один конец бечевки мы закрепим на крючке (рис. 20), а другой проведем по низу подвижного блока. Перекинем затем бечевку поверх неподвижного блока. Груз весом в один ливр будет подвешен на этот конец бечевки, а груз в два ливра - на подвижный блок; Вы увидите, что установилось равновесие. Этот подвижный блок по существу является рычагом, где груз находится между двумя силами; ведь Вам надо считаться лишь с диаметром, а две бечевки представляют две силы а и Ь, каждая из которых удерживает половину Р, потому что груз находится на равном расстоянии от одной и от другой силы.

Поскольку а удерживает половину Р, оно удерживает один ливр. Таким образом, на один конец диаметра неподвижного блока оказывает давление сила в один ливр и,


66
67
 

следовательно, уравновешивает груз в один ливр, помещенный на другом конце диаметра. С помощью пяти блоков, расположенных, как показано на рис. 21, вес одного ливра удержал бы груз в 16 ливров. Груз в 16 ливров, подвешенный к нижнему блоку А, находится на равном расстоянии от точек приложения двух сил, действующих на два диаметра этого блока. Каждая из этих сил удерживает половину веса а и равна 8, значит, груз весит 8, а груз, подвешенный к блоку В, становится весом в 8 ливров. Мы заметим также, что этот груз находится на равном расстоянии от двух сил, действующих на два конца диаметра блока В, и, следовательно, мы сочтем, что Ь, которое поддерживает половину груза, равно 4.
Аналогичным образом груз, подвешенный к блоку С, будет весить 4 ливра и сила С будет действовать как 2 ливра. И наконец, груз, подвешенный к блоку D, будет весом в 2 ливра, а сила d, которая будет действовать как один ливр, уравновесится грузом е, который, как мы предполагаем, весит один ливр.
При помощи добавочного блока груз в один ливр удержал бы вес в 32 ливра; и Вы понимаете, что та же сила удержит больший вес, если будет увеличено количество блоков.
ГЛАВА X О НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
Тяжесть на наклонной
плоскости
поддерживается
частично плоскостью

68
Само собой разумеется, что потребуется большая сила для подъема тела в направлении перпендикуляра СВ, нежели в направлении наклонной плоскости АВ. Сделаем так, что прямая ВА (рис. 22) будет двигаться относительно неподвижной точки А. Если мы будем приближать ее к перпендикуляру AD, плоскость будет становиться наклонной по мере того, как мы будем ее поднимать, и для того, чтобы удержать груз, понадобится большая сила. Если же, наоборот, понижать ее, приближая к горизонтальной линии СА, наклон плоскости будет уменьшаться по мере того,

как мы будем ее опускать, и такой же груз будет удерживаться меньшой силой. В первом случае наклонная плоскость удерживает меньшую часть груза, а во втором - большую. Все это подтверждается опытом.
Когда направление
силы тяги параллельно
плоскости, груз
на наклонной
плоскости
удерживается
наименьшей силой
Если сила Р находится в равновесии с грузом D (рис. 23), когда направление силы тяги TD параллельно плоскости, то, как только это направление перестанет быть параллельным плоскости, равновесие нарушится, и груз потянет сила Р. Следовательно, если угодно удержать тяжесть наименьшей силой, надо, чтобы направление тяги было параллельно плоскости. И это подтверждается опытом.

Сила должна
относиться к тяжести
так же, как высота
наклона плоскости
относится к ее длине
Но поскольку плоскость, по мере того как Вы придаете ей большую или меньшую высоту наклона, поддерживает большую или меньшую часть тяжести, Вам ясно, что это правило можно обобщить. И тогда Вы скажете:
сила всегда так относится к тяжести, как высота наклона плоскости относится к ее длине. В сущности, это правило является следствием фактов, нами рассмотренных. Оно не что иное, как эти самые факты, выраженные обобщенно. Теперь попытаемся доказать это согласно установленным нами принципам.
Сила Р (рис. 23) действует на центр тяжести D, т. е. на конец линии FD; тяжесть стремится упасть в направлении
69

линии DEC перпендикулярно горизонту, и она упала бы в этом направлении, если бы ее частично не поддерживала плоскость. Вы можете рассматривать DFE как изогнутый рычаг, имеющий свою точку опоры в F; Вы видите, что прилагаемая сила воздействует в конце более длинного плеча рычага, а тяжесть давит на конец короткого плеча, на конец линии FE, перпендикулярной DC; она давит на точку Е и упала бы перпендикулярно в С, если бы не была поддержана.
Следовательно, DF выражает расстояние, на которое точка приложения силы отдалена от точки опоры, a EF выражает расстояние от этой самой точки, на которой находится тяжесть. Следовательно, две эти линии выражают условия, необходимые для равновесия, т. е. определенное соотношение силы и тяжести. Итак, эти две линии соотносятся между собой, как высота и длина плоскости: EF относится к DF, как ВА к АС. Вот это и следует доказать.
Сказать, что EF относится к DF, как ВА к АС,- это значит сказать, что три стороны треугольника DEF так же соотносятся друг с другом, как и три стороны треугольника ABC, поскольку если даны две стороны треугольника, то тем самым определена и третья.
Ведь сказать, что три стороны треугольника EDF так относятся друг к другу, как три стороны треугольника ABC,- это значит сказать, что эти треугольники подобны; нам остается доказать, что они действительно подобны.
Они подобны один другому, если они подобны третьему. Итак, DEF подобен DCF. Во-первых, DEF имеет прямой угол F, a DCF также имеет прямой угол F - они подобны в том, что каждый имеет прямой угол. Во-вторых, они подобны и в том, что угол CDF является общим для обоих. Стало быть, они одинаково подобны и третьему, так как, если даны два угла, третий определен.
Так же легко будет понять, что треугольник ABC подобен CDF, поскольку Вы видите, что каждый из них имеет прямой угол. Вы видите также, что наклонная линия АС падает на две параллельные линии АВ и CD и что, следовательно, угол DCA равен углу CAB. Вспомните сказанное нами, когда мы рассматривали углы, образующиеся при пересечении двух параллельных прямых третьей.
Когда какая-нибудь тяжесть находится в равновесии на наклонной плоскости, то доказано, что расстояние до точки опоры относится к расстоянию от точки приложения силы до этой же точки, как высота относится к длине

плоскости, и что, следовательно, сила относится к тяжести, как высота плоскости - к ее длине.
Скорость, с которой
тело спускается
по наклонной
плоскости
Тело спускается с различной скоростью в зависимости от того, падает ли оно перпендикулярно к горизонту или же падает по наклонной плоскости. Оно не может спускаться иначе как с силой, равной той силе, которая удерживала бы его в равновесии. Стало быть, мы можем вывести общее правило: сила, с которой тело спускается по наклонной плоскости, относится к весу тела, как высота плоскости к ее длине. Теперь следует найти путь, который оно должно пройти по линии АВ за то же время, за какое оно проходит путь от А до С.
Начертим плоскость ABC (рис. 24), длина которой будет вдвое больше высоты, и разделим АС и АВ на четыре части.

Я предполагаю, что АЕ, EF, FG и GC - четыре отрезка, которые тело должно пройти за две секунды.
Его движение
ускоряется
в пропорции
1, 3, 5, 7
На тело действует наполовину меньшая сила, когда оно падает из А в В, чем когда оно падает из А в С. Стало быть, оно должно иметь наполовину меньшую скорость, и потому оно достигает В лишь за четыре секунды. Итак, сила тяготения воздействует на тела одинаково, в каких бы направлениях они ни двигались, иначе говоря, в равные промежутки времени ускорение движения составляет пропорцию 1, 3, 5, 7 и т. д. Стало быть, тела, падающие

71
70
 

из А в С, проходят в первую секунду отрезок пути АЕ, а в следующую - отрезки EF, FG, GC, и точно так же тело, падающее из А в В, в первые две секунды должно пройти отрезок АН, а в две следующие - отрезки HI, IK, КВ. Тело, двигающееся по этой наклонной плоскости, придет в Н за такое же время, как если бы оно падало перпендикулярно из А в С, т. е., падая но линии АВ в течение двух секунд, оно окажется не ниже, чем падая по линии АС в течение одной секунды. Ведь Е и Н находятся на равном расстоянии от горизонтальной линии СВ.
Как узнать
расстояние,
которое оно должно
пройти по наклонной
плоскости за такое же
время, как если бы
оно падало перпендикулярно
Если Вы опустите перпендикуляр на АВ, Вы увидите, что он падает точно в Н. Стало быть, чтобы узнать путь, который тело должно пройти по наклонной плоскости за такое же время, как если бы оно падало из А в С, нам нужно всего лишь опустить перпендикуляр из С на плоскость АВ.
Падает ли тело
перпендикулярно
или вдоль наклонной
плоскости, оно
приобретает ту же
силу всякий раз,
когда оно падает
с той же высоты
Раз сила тяготения действует всегда одинаково, то из этого следует, что, каким бы ни был наклон плоскости, тело, когда оно опустится вниз, будет иметь ту же скорость, какую бы оно имело, если бы падало вдоль перпендикуляра.
Если плоскость имеет больший наклон и потому короче, ускорение будет большим и эта скорость будет достигнута раньше; если плоскость менее наклонна, ускорение будет меньшим и та же скорость будет достигнута позднее. Стало быть, какой бы ни была линия, которую описывают несколько тел, достигнув низа, они имеют ту же силу всякий раз, когда падают с той же высоты.
ГЛАВА XI
 О МАЯТНИКЕ
Тело, падающее
вдоль хорд
окружности,
проходит их
за такое же время,
как если бы оно
проходило весь
диаметр
Начертим несколько наклонных плоскостей между точкой А и горизонтальной линией ВС и опустим перпендикуляры из С на эти плоскости. Наметим центр на равных расстояниях от А и от С и начертим окружность по угловым точкам D, Е, F. Линии AD, АЕ, AF (рис. 25) - хорды окружности; и мы
72

можем во второй полуокружности начертить прямые, которые, будучи параллельны первым, будут им равны и одинаково наклонны.
Ведь очевидно, что все эти прямые играют ту же роль, что и плоскости, о которых мы только что говорили. Тело спустится вдоль каждой из них за такое же время, как если бы оно падало с верха диаметра вниз из А в С.
Сколько бы мы ни проводили хорд в вертикально поставленной окружности, тело всегда затратит одинаковое время на прохождение каждой хорды, и время это будет равно тому, которое оно затратило бы на прохождение диаметра. Вы также заметите, что хорды пропорционально степени их наклона будут более длинными или более короткими.
Маятник производит
колебания за то же
время, за какое он
прошел бы четыре
диаметра окружности,
радиусом которой
он является
Сила тяготения всегда действует перпендикулярно, и независимо от угла наклона плоскости тело, достигнув горизонтальной линии ВС, имеет ту же силу, как если бы оно падало перпендикулярно из А в С. Пусть тело подвешено (рис. 25) к центру М на нити, длина которой равна полудиаметру

окружности. Это тело, опускаясь из h, не может упасть ниже С; но сила, приобретенная им при прохождении данного пути, может быть использована для прохождения еще одного, равного ему пути, и оно вновь поднимется в F. Дойдя до этой точки, оно утратит всю свою силу и, таким образом, вновь упадет под действием своего тяготения, вновь обретет достаточную силу, для того чтобы
73

подняться в точку h,  откуда  оно снова  упадет,  и  т. д.
Тело, подвешенное таким образом, называется маятником. Оно может быть подвешено на веревке либо на проволоке. Движение маятника из h в С и из С в h называется колебанием или качанием.
Оно падает ускоренным движением из h в С за то же время, за какое оно упало бы из А; и за такое же время оно поднимается в F затухающим движением.
Стало быть, если бы за эти два промежутка времени оно падало перпендикулярно из точки А, оно прошло бы четыре диаметра окружности.
Значит, тело, подвешенное в центре М, затратило бы на колебание такое же время, какое оно затратило бы, проходя перпендикулярно четыре диаметра, либо, что то же самое, проходя высоту маятника восемь раз.
Условия, необходимые
для изохронных
колебаний
Таково соотношение между движением колебательным и движением перпендикулярным, когда, по нашему предположению, маятник опускается и поднимается по хордам. Ведь поскольку дуги окружности тем менее отличаются от хорд, чем они меньше, предполагается, что соотношение остается тем же, когда маятник совершает колебание по малой дуге LCK. По правде говоря, это допущение не совсем точно, поскольку геометры доказывают, что время, необходимое для того, чтобы опустить тяжелое тело по бесконечно малой дуге, относится к времени, необходимому для того, чтобы опустить его по хорде той же дуги, как длина окружности - к четырем ее диаметрам, или приблизительно как 355 к 452. Между тем периоды колебания по сколь угодно малым дугам окружности равны, потому что они соотносятся как равные периоды падения по хордам этих дуг. Вам следует отметить, что во всем сказанном нами о движении мы упускаем из виду трение, а также сопротивление воздуха. Но трение тем менее ощутимо, чем длиннее маятник и чем меньшую дугу он описывает.
Если бы не существовало ни трения, ни сопротивления воздуха, маятник, раз качнувшись, вечно продолжал бы свои колебания в равные промежутки времени. Когда маятник короток, а дуги большие и трение и сопротивление воздуха более ощутимы, то колебания происходят в неравные промежутки времени. А когда, наоборот, маятник длиннее, а дуги меньше, колебания могут без ощутимой ошибки рассматриваться как происходящие в одинаковые периоды

времени, до тех пор пока маятник не остановится. Подобные колебания называются изохронными.
Соотношение между
длиной маятника
и продолжительностью
колебаний
Время колебаний тем меньше, чем короче сам маятник. Вот каково должно быть это соотношение (рис. 26). AGBE и D/Bi - две окружности, диаметры которых АВ и DB относятся друг к другу как 4 к 1.

Мы доказали, что если тело падает из А в В за определенное время, то за промежуток времени, вдвое меньший,

оно может упасть лишь из D в В. Мы доказали также, что тело падает вдоль хорды окружности за то время, за какое оно падает вдоль диаметра. Стало быть, тело в Е упадет вдоль хорды BE за время, вдвое большее по сравнению с тем временем, в течение которого тело в f упадет вдоль хорды fВ. Итак, доказано, что если допустить, что дуги BE и fВ подобны или очень малы, то периоды падений по этим дугам, или периоды полуколебаний, соотносятся как периоды падений по хордам. Следовательно, время колебания маятника СВ будет вдвое больше, нежели время колебания маятника Be.
Если Вы хотите, чтобы колебания были в два раза медленнее, надо, чтобы маятник был в четыре раза длиннее, и, напротив, надо, чтобы он стал в четыре раза короче, если Вы желаете, чтобы колебания стали вдвое быстрее.

74
75
 

Для определения длины маятника необходимо знать центр колебаний
Но для того чтобы вымерить маятник, надо уметь определить центр колебаний, ведь длина маятника равна расстоянию от центра колебаний до центра подвешивания. Это один из труднейших вопросов. Всего того, что мы изучили до сих пор, недостаточно, чтобы научиться отыскивать точку, которая и есть центр колебания. Ограничимся же тем, что составим понятие о данной проблеме.
Представим себе маятник СР (рис. 27) как рычаг, имеющий точку опоры в центре подвеса С, и, не учитывая силы тяготения рычагов, предположим, что вся тяжесть подвешенного тела сосредоточена в точке Р.
Предположим, что это тело упадет из Р в В со скоростью, пропорциональной массе, умноженной на расстояние от центра тяжести до центра подвеса С, и центр колебания будет тот же, что и центр тяжести. Если предположить то же относительно маятника ср, составляющего лишь одну четверть СР, центр колебания будет для него снова тот же, что и центр тяжести подвешенного тела. Итак, если эти два маятника совершают колебания по дугам, соотносящимся как окружности, частями которых они являются, то р достигнет /, когда Р будет еще только в В; и р возвратится в точку, откуда оно вышло, когда Р достигнет F; р делает два колебания, в то время как Р делает одно, и если р затрачивает полсекунды на каждое колебание, то Р затратит на каждое колебание целую секунду.
Вы также можете рассматривать (рис. 28) подвешенный рычаг АС, не учитывая силы тяготения, и, разделив его на четыре равные части, поместить на втором делении тело В весом в два ливра, а на конце - тело С весом тоже в два ливра.
Скорости В и С соотносятся как произведения их масс на их расстояние от А, и произведения будут 12. А ведь произведение массы на расстояние для тела весом в четыре ливра, помещенное в D, на третьем делении было бы тоже 12. Следовательно, колебания этого маятника будут происходить со скоростью, составляющей среднее арифметическое по отношению к скоростям В и С, как если бы вся тяжесть сосредоточивалась в D.
Из всех этих предположений Вам ясно, что, чем меньшую тяжесть будет иметь нить по отношению к весу маятника, тем меньше поправок внесет сила тяготения рычага. Так именно и получается, когда тело значительного веса

 

подвешивают на очень тонкую стальную проволоку; наблюдали, что маятник длиной 39,2 дюйма (в английской мере) от центра диска до точки подвеса совершает одно колебание в секунду и, следовательно, 3600 колебаний в час. Этот опыт был проведен с маятником весом 50 ливров, которому была придана чечсвицеобразная форма, чтобы уменьшить

сопротивление воздуха; колебания продолжались целый день. Опыт (рис. 29) приблизительно показывает центр колебания бруска, однородного и имеющего одну и ту же плотность во всех своих частях, так как его колебания изохронны с колебаниями маятника, длина которого была бы равна третям длины бруска.
Предмет следующей книги
Я не склонен входить в дальнейшие подробности устройства механизмов. Принципов, изложенных мною, достаточно для объяснения того, как очевидность факта и очевидность разума содействуют друг другу при достижении истины, и, поскольку эти принципы позволяют составить идею о системе планет, я дам Вам представление об этой системе в качестве нового примера рассуждений, касающихся одновременно и очевидности факта, и очевидности разума. Вы увидите, монсеньер, что вселенная - не что иное, как машина, подобная только что изученным нами; это - весы. Эта истина будет доказана Вам при помощи ряда теорем, тождественных теоремам второй книги.

77
76
 

КНИГА  ТРЕТЬЯ
КАК ОЧЕВИДНОСТЬ ФАКТА
И ОЧЕВИДНОСТЬ РАЗУМА
ДОКАЗЫВАЮТ СИСТЕМУ НЬЮТОНА

тивоположном берегу и АВ - двое детей, играющих в волан в этой лодке. Итак, если за то время, пока волан переходит из А в В, А вследствие движения лодки оказывается перемещенным в а и В в Ь, то В получит волан в Ь. Таким образом, под действием двух сил, направления которых образуют угол ВАа, волан прошел линию Аb -

ГЛАВА 1
О МЕТАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
(MOUVEMENT DE PROJECTION)
Действие
сопротивления
воздуха и силы
тяготения на снаряд,
выпущенный
горизонтально
Пушечное ядро, посланное горизонтально, продолжало бы двигаться с одинаковой скоростью в одном и том же направлении, если бы ему не противодействовала никакая причина. Но в то время как сопротивление воздуха уменьшает его скорость, сила, заставляющая его стремиться вниз, называемая силой тяготения, изменяет его направление. Если, предполагая, что ядро невесомо, мы будем учитывать лишь сопротивление воздуха, то мы предположим, что оно будет следовать своему первоначальному направлению, с каждым мгновением теряя скорость, так как оно не проложит себе путь, если не устранит частиц флюида, оказывающих ему сопротивлен