мне чувственные предметы. Что же означает фраза Дефиниции суть принципы? Она означает, что прежде всего нужно видеть вещи, для того чтобы их изучить, и что нужно их видеть такими, каковы они на самом деле. Она означает только это, а тем не менее думают, что здесь говорится еще что-то.
Принцип есть синоним начала; именно в таком значении это слово сперва употреблялось, но затем, привыкнув к нему, стали пользоваться им по привычке, машинально,

не связывая с ним идеи, и получили принципы, которые не являются началом чего бы то ни было.
Я скажу, что наши чувства - это принцип наших знаний, потому что знания начинаются именно с чувств, и тем самым я скажу нечто понятное. Не так будет обстоять дело, если я скажу, что поверхность, ограниченная тремя линиями, есть принцип всех свойств треугольника, потому что все свойства треугольника начинаются с поверхности, ограниченной тремя линиями. Ибо я предпочел бы также сказать, что все свойства поверхности, ограниченной тремя линиями, начинаются с поверхности, ограниченной тремя линиями. Одним словом, эта дефиниция меня ничему не учит; она лишь показывает мне вещь, которую я знаю и свойства которой может открыть мне только анализ.
Лишь в редких
случаях можно дать
дефиниции
Итак, дефиниции ограничиваются тем, что показывают вещи, но не всегда в равной мере освещают их. Душа есть субстанция, которая чувствует,- это дефиниция, показывающая душу весьма неполно всем тем, кого анализ не научил, что все ее способности в принципе, или в начале, представляют собой лишь способность чувствовать. Значит, не с такой дефиниции надо начинать рассуждение о душе. Ибо хотя все способности души по существу представляют собой способность чувствовать, эта истина не является для нас принципом, или началом, если, вместо того чтобы быть первым знанием, она оказывается последним. Ведь она - последняя, так как она есть результат анализа. Настроенные на то, чтобы все определять, геометры часто делают напрасные усилия и ищут дефиниции, которых не находят. Такова, например, дефиниция прямой линии, ибо сказать вместе с ними, что она есть наикратчайшее расстояние между двумя точками,- значит не показать, что она собой представляет, а только предположить, что это известно. Однако, поскольку в языке геометров дефиниция составляет принцип, она не должна предполагать, что вещь известна. Вот подводный камень, из-за которого садятся на мель все создающие основы, к великому возмущению некоторых геометров, сетующих на то, что еще не дана хорошая дефиниция прямой линии, и, по-видимому, не знающих, что не следует определять то, что неопределимо. Но если дефиниции ограничиваются тем, что.показывают нам вещи, то не все ли равно, происходит это до того,

249
248
 

как мы их познаем, или только после? Я думаю, важно лишь их познать.
Ведь люди были бы убеждены в том, что единственное средство познать вещи - анализировать их, если бы заметили, что лучшая дефиниция - это анализ. Например, дефиниция треугольника есть его анализ, так как несомненно, что для того, чтобы сказать, что треугольник представляет собой поверхность, ограниченную тремя линиями, нужно было рассмотреть одну за другой стороны этой фигуры и сосчитать их. Правда, этот анализ делается, так сказать, разом, потому что мы быстро считаем до трех. Но ребенок не сосчитал бы так же быстро, и тем не менее он проанализировал бы треугольник так же хорошо, как и мы. Он анализировал бы его медленно, подобно тому как мы сами дали бы дефиницию, или произвели анализ, фигуры с большим количеством сторон, считая медленно.
Не будем говорить, что в наших исследованиях нужно иметь в качестве принципов дефиниции; скажем проще: нужно хорошо начать, т. е. видеть вещи такими, какие они есть; и прибавим, что для того, чтобы видеть их так, нужно всегда начинать с анализа.
Выражаясь подобным образом, мы будем говорить с большей точностью, и нам не доставят огорчений поиски дефиниций, которых не удается найти. Мы будем знать, например, что для того, чтобы приобрести знание о прямой линии, вовсе не обязательно определять ее по способу геометров, а достаточно обратить внимание на то, как мы приобрели идею прямой линии.
Тщетны усилия тех,
кто одержим манией
все определять
Так как геометрия - наука, которую называют точной, люди думают, что для того, чтобы хорошо разрабатывать все другие науки, нужно лишь копировать геометров, и мания определять подобно им стала манией всех философов, или тех, кто выдает себя за таковых. Откройте языковой словарь, и вы увидите, что для каждой статьи хотят дать дефиниции и что это плохо удается. Лучшие дефиниции, как, например, дефиниция прямой линии, предполагают, что значение слов известно; если же они ничего не предполагают, они непонятны.
250

 
Дефиниции
бесполезны,
потому  что   наши  идеи
должен определять
анализ
Наши идеи являются либо простыми, либо сложными. Если они простые, их не станут определять; геометр безуспешно попробовал бы это сделать и потерпел бы здесь неудачу, как в случае с прямой линией. Но хотя их невозможно определить, анализ всегда покажет нам, как мы их получили, поскольку он покажет, откуда они происходят и как поступают к нам.
Если же идея сложная, то и в этом случае только анализ позволит ее познать, потому что только анализ может, расчленяя ее, показать нам все частные идеи, из которых она состоит. Поэтому, каковы бы ни были наши идеи, только анализ может ясно и четко определить их. Однако всегда останутся такие идеи, которые не будут определены, или по крайней мере такие, которые нельзя будет определить так, чтобы всем угодить. Так как люди не смогли договориться о том, чтобы составить каждую идею одинаковым образом, идеи необходимо являются неопределенными. Такова, например, идея, которую мы обозначаем словом ум. Но хотя анализ не может определить, что мы понимаем под словом, которое не всеми понимается одинаково, он тем не менее определит все, что можно понимать под этим словом, не препятствуя тому, чтобы каждый понимал то, что ему угодно, как это и бывает; легче анализу исправить язык, чем нам исправить самих себя.
Наконец, только анализ исправит все то, что может быть исправлено, потому что он один может показать возникновение всех наших идей. Поэтому философы чрезвычайно заблуждались, когда отказались от анализа и думали возместить его дефинициями. Они заблуждались тем более, что не умели еще дать хорошую дефиницию самого анализа. Видя усилия, которые они прилагают к тому, чтобы объяснить этот метод, можно было бы сказать, что есть много таинственного в расчленении целого на части и в соединении его вновь; тем не менее достаточно наблюдать в определенном порядке. Посмотрите в "Энциклопедии" слово Анализ.
Синтез, неясный метод
Именно синтез стал причиной мании дефиниций, этот неясный метод, который всегда начинает с того, чем нужно кончать; тем не менее его называют методом теории (methode de doctrine).
251

рый, начиная с начала, показывает в аналогии формирование   языка,   а   в   формировании   языка - развитие   наук.
ГЛАВА VII
НАСКОЛЬКО ПРОСТО РАССУЖДЕНИЕ, КОГДА ПРОСТ САМ ЯЗЫК
Я не буду давать более точное понятие о нем, как потому, что я его не понимаю, так и потому, что понять его невозможно. Он тем более ускользает от нас, что принимает все характерные черты умов, которые хотят его применять, и в особенности заблуждающихся умов. Вот как один известный писатель высказывается по этому вопросу. "Наконец,- говорит он,- эти два метода (анализ и синтез) различаются между собой, как путь, который проделывают, поднимаясь из долины на гору, и путь, который проделывают, спускаясь с горы в долину" *. Из этого высказывания я вижу только, что анализ и синтез - два противоположных метода и что если один хорош, то другой плох.
В самом деле, идти можно только от известного к неизвестному. Ведь если неизвестное находится на горе, то, не спускаясь, можно его достигнуть, а если оно в долине, то его нельзя будет достигнуть, поднимаясь. Значит, не может быть двух путей для его достижения. Подобные взгляды не заслуживают более серьезной критики ("Курс занятий", "Об искусстве мыслить", ч. I, гл. 9).
Полагают, что сущность синтеза заключается в соединении наших идей, а сущность анализа - в их расчленении. Вот почему автор "Логики" думает, что объясняет их, когда говорит, что один путь ведет из долины на гору, а другой - с горы в долину. Но чтобы хорошо или плохо рассуждать, обязательно нужно, чтобы ум то восходил, то опускался; или, проще говоря, для него так же важно соединять, как и расчленять, ибо ряд рассуждений является и не может не являться лишь рядом соединений и расчленений. Следовательно, цель синтеза - как расчленение, так и соединение, а цель анализа - как соединение, так и расчленение. Было бы нелепо воображать, что эти две вещи взаимно исключают друг друга и что можно было бы рассуждать, запрещая себе всякое соединение или всякое расчленение. В чем же различаются эти два метода? В том, что анализ всегда начинает хорошо, а синтез всегда начинает плохо. Первый, не нарушая порядка, обладает им естественно, так как является методом природы; второй, не знающий естественного порядка потому, что он метод философов, во многом его нарушает и утомляет ум, не просвещая его. Одним словом, истинный анализ, анализ, который следует предпочесть,- тот, кото-
*  "Логика, или Искусство мыслить", ч. IV, гл. 2 20.
252

 
Заблуждение тех,
кто предпочитает
синтез анализу
Хотя анализ есть единственный метод, кажется, что сами математики, всегда готовые от него отказаться,
применяют его лишь постольку, поскольку вынуждены это делать. Они отдают предпочтение синтезу, который считают более простым и более быстрым; а их сочинения о нем являются более путаными и длинными *.
Мы только что видели, что синтез как раз противоположен анализу. Он уводит нас в сторону от пути, ведущего к открытиям, тем не менее огромное количество математиков воображают, будто этот метод наиболее пригоден для обучения. Они считают его настолько хорошим, что не хотят допустить в своих учебниках другой метод.
Клеро думал иначе 21. Я не знаю, говорили ли господа Эйлер и Лагранж, что они думают по этому вопросу. Но они делали так, как если бы они об этом говорили, поскольку в своих основах алгебры они следуют только аналитическому методу **.
* Это обвинение, обоснованное в общем, не остается без исключений. Например, господа Эйлер и Лагранж, склонные благодаря своей гениальности к наибольшей ясности и изяществу, предпочли анализ, который они усовершенствовали. В их сочинениях, полных изобретательности, этот метод получил новый размах; они великие математики, потому что являются великими аналитиками. Они превосходно писали на алгебраическом языке, а из всех языков это такой, в котором хорошие писатели наиболее редки, так как он создан наилучшим образом.
** "Основы" г-на Эйлера22 не похожи ни на что из того, что было сделано его предшественниками. В первой части автор рассматривает определенный анализ при помощи простого, ясного метода, которым он полностью владеет, Только теория уравнений излагается иногда слишком кратко. Несомненно, г-н Эйлер пренебрег подробностями, которые столь часто повторялись другими; но это вызывает сетования у читателя, который хочет обучаться.
Столь мало известный во Франции неопределенный анализ, успеху которого так много способствовали господа Эйлер и Лагранж, является предметом второй части, представляющей собой шедевр и включающей добавления г-на Лагранжа. Превосходные качества этого произведения - результат аналитического метода, который оба этих великих ученых знают превосходно. Тем, кто его не знает, бесполезно писать об основах наук.
253

Одобрение, высказанное этими математиками, кое-что значит. Следовательно, другие математики были особенно настроены в пользу синтеза, раз они убедили себя в том, что анализ, "этот . метод изобретения, не есть еще метод теории, и что для того, чтобы узнать открытия других. якобы имеется способ более предпочтительный, нежели способ, позволивший нам сделать эти открытия.
Если анализ обычно изгоняется из математики каждый раз, когда в ней можно применить синтез, то, по-видимому, ему закрыт всякий доступ в другие науки и он вводится в них лишь без ведома тех, кто ими занимается. Вот почему среди множества произведений древних и современных философов столь мало таких, которые были бы созданы для обучения. Истину редко узнают, когда анализ не показывает ее, а синтез, напротив, окутывает ее грудой неясных понятий, мнений, заблуждений и создает себе жаргон, который принимают за язык искусств и наук.
Все науки были бы
точными, если бы
говорили очень
простым языком
Если только поразмыслить над анализом, следует признать, что он должен проливать тем больше света, чем он проще и точнее; и если вспомнить, что искусство рассуждать сводится к хорошо построенному языку, то следует заключить, что наибольшая простота и точность анализа могут быть следствием наибольшей простоты и точности языка. Стало быть, нам нужно образовать идею этой простоты и точности, чтобы приблизиться к ним во всех наших исследованиях, насколько это будет возможно.
Точными науками называют науки, в которых имеется строгое доказательство. Почему же не все науки точные? И если есть среди них такие, где положения доказаны не строго, то как они там доказываются? Хорошо ли знают, что хотят сказать, когда предполагают доказательства, которые, строго говоря, не являются доказательствами?
Доказательство либо не является доказательством, либо оно точное доказательство. Но нужно согласиться, что если оно не выражено в том языке, в каком оно должно быть выражено, то оно будет казаться тем, чем оно вовсе не является. Поэтому не вина наук, если они не доказывают строго; это вина ученых, которые плохо говорят.
		Язык  математики,  алгебра,- самый простой  из всех
языков. Не означает ли это, что доказательства имеются
только в математике? И поскольку другие науки не могут
достичь такой же простоты, смогут ли они быть достаточно

простыми, чтобы убеждать, что они действительно доказывают то, что доказывают?
Во всех науках доказывает анализ; и он доказывает там каждый раз, когда говорит на языке, на котором он должен говорить. Я хорошо знаю; что различают разные виды анализа: логический анализ, метафизический, математический, но есть только один анализ, который одинаков во всех науках, потому что всюду ведет от известного к неизвестному путем рассуждения, т. е. путем ряда суждений, которые заключены одни в других. Мы составим себе идею языка, которого он должен придерживаться, если попытается разрешить одну из задач, обычно разрешаемую только с помощью алгебры. Выберем одну из более легких задач, потому что она будет для нас более доступна; к тому же такой задачи будет достаточно для того, чтобы раскрыть все искусство рассуждения.
Задача, которая это доказывает
Если, имея в обеих руках жетоны, я переложу один жетон из правой руки в левую, то я буду иметь их
столько же в одной руке, сколько и в другой; а если я переложу один жетон из левой руки в правую, я буду иметь их в правой вдвое больше, чем в левой. Я спрашиваю вас: какое число жетонов у меня в каждой руке?
Дело не в том, чтобы угадать это число, делая предположения,- его нужно найти, рассуждая, идя от известного к неизвестному путем ряда суждений.
Здесь даны два условия, или, как говорят математики, имеются два данных: первое - если я переложу один жетон из правой руки в левую, то я буду иметь одинаковое число жетонов в каждой руке; второе - если я переложу один жетон из левой в правую, я буду иметь двойное число жетонов в правой. Ведь вы видите, что если возможно найти число, которое я вам предлагаю найти, то это можно сделать, лишь рассматривая отношения, в которых эти два данных находятся друг к другу. Вы поймете, что эти отношения будут более или менее явными в зависимости от того, насколько просто будут выражены данные.
Если бы вы сказали: "Число, которое вы имеете в правой руке, когда из него вычли один жетон, равно числу, которое вы имеете в левой руке, когда к нему прибавили один жетон", вы выразили бы первое данное при помощи большего количества слов. Скажите же короче: "Число в вашей правой руке, уменьшенное на единицу,

254
255
 

равно числу в вашей левой руке, увеличенному на единицу", или: "Число в вашей правой минус единица равно числу в левой плюс единица". Или, наконец, еще короче: "Правая минус один равна левой плюс один".
Таким образом, от перевода к переводу мы достигнем самого простого выражения первого данного. Ведь чем больше вы будете сокращать свою речь, тем больше будут сближаться ваши идеи; и чем больше они сблизятся, тем легче вам будет понять их во всех отношениях. Значит, нам остается рассмотреть второе данное так же, как и первое; его нужно перевести в наипростейшее выражение.
По второму условию задачи, если я переложу один жетон из левой руки в правую, в правой у меня будет двойное число жетонов. Значит, число в моей левой руке, уменьшенное на единицу, есть половина числа в моей правой, увеличенного на единицу. Следовательно, вы выразите второе данное, говоря: "Число в вашей правой руке, увеличенное на единицу, равно взятому дважды числу в левой, уменьшенному на единицу".
Вы переведете это выражение в другое, более простое, если скажете: "Правая, увеличенная на единицу, равна двум левым, уменьшенным каждая на единицу", и вы придете к самому простому выражению: "Правая плюс один равна двум левым минус два". Итак, мы перевели данные в следующие выражения:

Этот способ представляется сам собой: ибо если правая минус один равна левой плюс один, значит, правая будет равна левой плюс два; и если правая плюс один равна двум левым минус два, значит, правая будет равна двум левым минус три . Таким образом, вы замените два первых уравнения двумя следующими:
Правая   равна левой плюс два. Правая   равна двум левым минус три.
Первый член этих двух уравнении - то же самое количество, правая; и вы видите, что узнаете значение второго члена одного или другого уравнения. Но второй член первого уравнения равен второму члену второго, поскольку они оба равны одному и тому же количеству, выраженному правой. Следовательно, вы сможете составить это третье уравнение:
Левая плюс два равна двум левым минус три.
Тогда останется только одно неизвестное, левая; и вы узнаете его значение, когда выделите его, т. е. когда вы перенесете все известные в одну сторону. Таким обра-
Два плюс три равно двум левым минус одна левая. Два плюс три равно одной левой. Пять равно одной левой.

Правая    минус    один    равна    левой    плюс    один. Правая плюс один  равна двум левым  минус два.
Выражения этого вида называются в математике уравнениями. Они составлены из двух равных членов: "Правая минус один" - первый член первого уравнения; "Левая плюс один" - второй член.
Неизвестные количества смешаны в каждом из этих членов с известными количествами. Известные - это "минус один", "плюс один", "минус два"; неизвестные - "правая" и "левая", при помощи которых вы выражаете два числа, которые вы ищете.
Пока известные и неизвестные смешаны так в каждом члене уравнений, невозможно решить задачу. Но не нужно большого усилия мысли, чтобы заметить, что если есть способ перенести количество из одного члена в другой, не изменяя равенства между ними, то мы можем, оставляя в одном члене лишь одно из двух неизвестных, выделить там известные, с которыми оно смешано.
256

Задача решена. Вы открыли, что число жетонов у меня в левой руке - пять. В уравнениях "правая равна левой плюс два", "правая равна двум левым минус три" вы найдете, что семь есть число, которое было у меня в правой руке. Ведь эти два числа, пять и семь, удовлетворяют условиям задачи.
Решение этой задачи
с помощью алгебраических знаков
На этом примере вы ясно видите, как простота выражений облегчает рассуждение; и вы понимаете, что если анализ нуждается в подобном языке, когда задача так же легка, как и та задача, которую мы только что решили, то он нуждается в нем еще больше, когда задачи усложняются. Поэтому преимущество анализа в математике вытекает исключите