орых две стороны взаимно перпендикулярны и которые, следовательно, являются треугольниками того же рода, что и треугольник, который мы измерили. Значит, площадь каждого из них равна половине произведения высоты на основание.
Однако узнать суммарную площадь двух треугольников - то же самое, что узнать площадь треугольника, который мы разделили, опустив перпендикуляр. Эта площадь остается одной и той же, заключена ли она в одном треугольнике или разделена пополам. Значит, сказать ли, что площадь большого треугольника равна половине произведения его высоты на его основание, или сказать о

14
15
 


двух малых треугольниках [из которых он состоит], что она равна половине произведения их высоты на их основание,- это одно и то же.

Если перпендикуляр (рис. 4) опускается вне треугольника, нужно продолжить основание до точки, где встретятся эти две прямые, и мы образуем треугольник того же вида, что и треугольник, который мы измерили сначала.
Благодаря этой операции Вы получаете два треугольника, заключенные в одном, и Вы видите, что площадь большого треугольника равна сумме площадей двух малых треугольников, на которые он разделен.
Следовательно, одно и то же, измерить ли эту площадь, взяв половину произведения высоты большого треугольника на его основание, или взяв раздельно половины произведений высоты каждого из двух малых треугольников на их основания. Эти две операции сводятся к одному и тому же, и здесь нет иного различия, кроме того, что в одной операции делается в два приема то, что в другой делается сразу.
Таким образом, явно выступает тождество двух следующих предложений: Площадь большого треугольника, который мы образовали, продолжая основание до перпендикуляра, равна половине произведения его высоты на его основание; Площадь каждого из треугольников, заключенных в большом, равна половине произведения его высоты на его основание.
Но какую бы форму ни имел треугольник, Им всегда можете опустить из вершины перпендикуляр, который либо опустится внутри треугольника на его основание, либо, опустившись вне треугольника, разделит основание, которое Вы продолжили. Значит, Вы всегда можете убедиться при помощи ряда тождественных предложений, что его площадь равна половине произведения его высоты

на его основание. Значит, доказательство применимо ко всем треугольникам, и эта истина не допускает никакого исключения: Площадь всякого треугольника есть половина произведения его высоты на его основание.
Другой пример,
доказывающий,
что тождество есть
признак очевидности
разума
Я выбираю это предложение не только для того, чтобы привести пример; эта истина, Ваше высочество, послужит мне правилом, для того чтобы вести Вас к другим знаниям. При
помощи этого же правила я докажу Вам, что сумма трех углов треугольника равна двум прямым, ибо это еще одна истина, в познании которой мы нуждаемся.
Прямая есть линия, которая идет прямо от одной точки к другой. Это линия, направление которой не изменяется, или же линия, сохраняющая на всем своем протяжении направление, в каком она начинается; это наикратчайшая линия между двумя точками; это такая линия, что, когда поворачиваются ее крайние точки, вся она поворачивается так, что ни одна из ее частей не изменяет своего положения относительно других частей. Вы видите, что все эти выражения представляют собой лишь различные способы излагать одну и ту же идею и что они предполагают идею, которую они будто бы определяют.
Когда речь идет об идее, составленной из нескольких других идей, она определяется легко, так как для этого достаточно выразить идеи, из которых она образована. Говоря, например, что треугольник есть площадь, ограниченная тремя прямыми, дают его определение; и это определение носит характер, весьма отличный от мнимых дефиниций, даваемых прямой линии. В самом деле, дефиниция треугольника дала бы его идею тому, кто никогда не замечал ни одного треугольника; напротив, дефиниции прямой не дали бы ее идеи тому, кто никогда не замечал никакой прямой линии.
Дело в том, что идеи, когда они просты, не приобретаются при помощи дефиниций, а происходят исключительно из чувств. Проведите линию при помощи компаса - это будет кривая линия; проведите ее с помощью линейки, и это будет прямая линия. Правда, ничто не убедит Вас в том, что эта линия действительно прямая, так как ничто не убедит Вас, что сама линейка прямая; но, в конце концов, прямая линия - это то, чем Вам кажется линия, проведенная с помощью линейки; и хотя эта видимость может быть ложной, она тем не менее является идеей пря-

16
17
 

мой линии. Рассматривая прямую и кривую линии, Вы можете заметить, что вторая образована из нескольких линий, которые пересеклись бы, если бы они были продолжены. Но когда Вы скажете: "прямая линия - одна, кривая линия состоит из многих", Вы не дадите определение ни той, ни другой. Вы видите, что есть вещи, которым не следует даже и помышлять дать определение *.
Прямая перпендикулярна другой прямой, когда она не отклоняется ни в какую сторону, или когда она не наклонна, когда она с обеих сторон образует два равных угла, два прямых угла, два угла, каждый из которых имеет 90 °, или измеряется четвертью окружности. Все это лишь синонимические и тождественные выражения для того, кто знает значение слов.
Прямая является наклонной, когда ее направление отклоняется от направления другой прямой, когда, будучи продолжена до точки, где она встречается с этой другой прямой, она составила бы с ней два неравных угла, два угла, один из которых имел бы более, а другой - менее 90 °.
Две прямые параллельны, когда по всей их длине точки одной прямой одинаково удалены от соответствующих точек другой, или когда все прямые, проведенные из точек одной прямой в соответствующие точки другой, имеют совершенно одинаковую длину.
Вы заметите прежде всего, что положение прямой линии есть лишь отношение ее направления к направлению другой линии и что, следовательно, если дано ее направление, то ее положение определено.
Во-вторых, Вы заметите, что одна прямая может занимать по отношению к другой прямой лишь три положения: она или перпендикулярна ей, или наклонна к ней, или ей параллельна. Наконец, Вы заметите, что положение одной прямой по отношению к другой является взаимным: если одна параллельна другой, то и другая ей параллельна; если одна перпендикулярна другой, то и другая ей перпендикулярна; если одна наклонна к другой, то и другая к ней наклонна и каждая из них образует с другой одни и те же углы. Достаточно взглянуть на термины, в них употребляе-
* Со времени первого издания моего "Курса обучения" я показал в моей "Логике", что вещи познаются только благодаря анализу и что дефиниции ограничиваются тем, что указывают на вещи. Всякая дефиниция, предполагающая, что вещь известна, является скорее дефиницией слова, чем дефиницией вещи 5.

мые, и мы увидим, что все эти предложения тождественны и, следовательно, не относятся к числу тех, которые следует пытаться доказать. Нам остается дойти путем ряда тождественных предложений до заключения, что сумма трех углов треугольника равна двум прямым.
Предположить, что прямая EG (рис. 5) является перпендикуляром, опущенным на прямую АВ,- значит предположить, что она образует с прямой АВ два равных угла, или два прямых угла.

Предположить, что эта прямая продолжена вниз от прямой АВ,- значит предположить, что она продолжена в направлении прямой EF. Следовательно, если мы предположим, что прямая EF является этим продолжением, мы тем самым признаем, что прямая GF, так же как и прямая EF, образует с прямой АВ два прямых угла, ибо, если бы два угла были неравными, один был бы больше прямого угла, а другой - меньше. А это означало бы, что прямая GF была бы наклонной; значит, она не была бы продолжением прямой EG, что противоречит предположению, из которого мы исходим.
Стало быть, как в своей нижней части, так и в своей верхней части прямая EF перпендикулярна прямой АВ, а сказать так - то же, что сказать, что прямая АВ перпенди-кулярна прямой EF, поскольку предположить, что прямая АВ наклонна к прямой EF, означало бы предположить, что прямая EF наклонна к прямой АВ, поскольку прямые занимают по отношению друг к другу одинаковое положение.
Но прямая EF, будучи продолжена до точки Н, следует направлению, заданному двумя точками Е, G, и является прямой по всей своей длине.
Если это так, то сказать, что прямая CD параллельна прямой АВ,- значит сказать, что она образует с пря-

19
18
 

мой ЕН углы, подобные углам, которые образует прямая АВ с той же самой прямой; а сказать, что она образует два подобных угла,- значит сказать, что она образует прямые углы. В самом деле, если бы мы допустили противоположное, мы допустили бы, что она наклонна по отношению к прямой ЕН; а предположив в ней наклон, которого лишена прямая АВ, мы допустили бы, что она не параллельна прямой АВ.
Ведь сказать, что прямая CD образует с прямой ЕН прямые углы,- значит сказать, что прямая ЕН образует прямые углы с прямой CD, а сказать, что прямая ЕН образует прямые углы с прямой CD,- значит сказать, что она образует прямые углы с прямой АВ. Таким образом, доказано, что прямая, перпендикулярная другой прямой, перпендикулярна всем прямым, параллельным этой второй прямой, или что она образует со всеми прямыми, параллельными последней, прямые углы.
Следовательно, если эта прямая наклонна к одной из параллельных, она будет одинаково наклонна ко всем другим параллельным, ибо предположить, что она не одинаково к ним наклонна,- значит предположить, что она не прямая или что прямые, которые она пересекает, не параллельны.
Следовательно, прямая FG одинаково наклонна к прямой АВ (рис. 6 ) и к прямой CD. Ведь сказать, что она одинаково наклонна к обеим,- значит сказать, что она образует с той стороны, в которую она отклоняется, равные углы на каждой параллели; что угол q, внешний двум параллелям, равен внутреннему углу и и что внутренний угол s равен внешнему углу у.
Очевидно также, что с другой стороны прямой FG внешний угол р равен внутреннему углу t, а внешний угол х - внутреннему углу r. Чтобы сделать это явным, нужно лишь перевернуть рисунок.
Впрочем, если на первом рисунке прямая, которая перпендикулярно пересекает две параллели, образует на каждой два прямых угла, то на втором рисунке прямая, пересекающая их наклонно, образует на каждой два угла, сумма которых равна двум прямым. Ибо наклонность линии FG, образующая, например, угол q, не равный углу р, не может изменить суммарную величину этих двух углов. В самом деле, чтобы заметить тождество суммы двух углов на втором рисунке и суммы двух углов на первом, достаточно принять во внимание, что на обоих рисунках
20

Величина рассматриваемых нами двух углов равна полу-Окружности.
Значит, угол р равен двум прямым минус угол q; аналогичным образом угол t равен двум прямым минус угол и, ведь угол и равен углу q. Таким образом, каждый из углов p и t равен одной и той же величине; следовательно, они равны друг другу.
Та часть прямой FG, которая находится выше линии АВ, наклонена в сторону В, а нижняя часть ее наклонена в сторону А. Ведь предположить, что эти две линии прямые,- значит предположить, что, как в той своей части, которая выше АВ, так и в той, которая ниже АВ, прямая FG имеет одинаковый наклон; если бы он не был одинаковым, одна из двух линий не была бы прямой.
Но сказать, что наклон одинаков,- значит сказать, что прямая FG со стороной А образует угол, равный углу, который она образует со стороной В, и угол r равен углу q. Таким же путем можно будет доказать, что угол р равен углу s, угол t равен углу y, угол и - углу х. Это накрест-лежащие углы; следовательно, накрестлежащие углы равны.
В самом деле, очевидно, что угол г равен двум прямым минус угол р, а угол q равен двум прямым минус угол р. Значит, каждый из них равен двум прямым за вычетом одной и той же величины. Следовательно, они равны друг ДРУгу.

Ведь сказать, что угол r равен накрестлежащему углу q,- значит сказать, что он равен всякому углу, которому равен сам угол q. Но мы видели, что угол q равен углу и. Значит, угол r равен углу и. На том же основании угол s равен углу t, угол р - углу у, угол q - углу х. Именно это и выражают, говоря, что противолежащие углы равны. Предположим теперь, что прямая FG (рис. 7) параллельна прямой de. Вы видите два противолежащих угла а и d и два других - с и е. Значит, угол а равен углу d, а угол с - углу е. Ведь сумма углов а, Ъ, с равна двум прямым. Значит, три угла треугольника равны двум прямым углам.
21
Двух примеров, которые я привел в этой главе, более чем достаточно, для того чтобы сделать понятным, что

очевидность разума состоит исключительно в тождестве. К тому же я, как и предупреждал, выбрал их потому, что это две истины, которые поведут нас к другим истинам.
ГЛАВА II
РАССУЖДЕНИЯ О МЕТОДЕ, ИЗЛОЖЕННОМ В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ
Каким образом тождество замечают в ряде предложений
Вы ясно видите, что вся сила доказательства теоремы о площади треугольника заключается исключительно в тождестве. Обратите внимание, что мы начали с дефиниции слова измерять, что эта дефиниция содержится во всех следующих предложениях и что при переходе от одного предложения к другому изменяется лишь форма рассуждения. А эта дефиниция высказывается лишь в других выражениях.
Невозможность непосредственно сравнить дефиницию слова измерять и дефиницию слова треугольник - вот что поставило Вас перед необходимостью предпринять в речи различные преобразования одной и той же идеи.
Но чтобы пройти таким образом через ряд следующих друг за другом предложений и открыть тождество первой дефиниции с заключением рассуждения, необходимо в совершенстве знать все вещи, которые Вам нужно сравнивать. Вы не докажете теорему о площади треугольника, если не имеете точных и полных идей того, что такое измерять прямоугольник, площадь, сторона, диагональ. Составьте же полные идеи каждой фигуры, и среди них не окажется такой, какую Вы не смогли бы точно измерить. Метод, которому мы следовали, применим ко всем случаям, когда мы не испытываем недостатка в идеях; и Вы можете предвидеть, что все математические истины суть лишь различные выражения этой первоначальной дефиниции.
Измерять - значит последовательно прилагать ко всем частям измеряемой величины определенную величину. Таким образом, математика представляет собой необозримую по своему объему науку, которая заключается в идее, выражаемой одним словом .
Нельзя всегда, как в примере, который я Вам только что привел, проделать с первой дефиницией все необходимые преобразования; но есть методы, позволяющие преодолеть эту трудность; чего невозможно сделать с целой идеей, можно последовательно проделать со всеми ее частями.

 
Тождество
явственно выступает в арифметике
Например, большое число может быть выражено только одним способом, и арифметика не предоставляет средства варьировать его выражение. Но если, рассматривая непосредственно два больших числа, я не могу установить, в чем они тождественны, я могу открыть тождество, существующее между их частями, и благодаря этому способу я узнаю все их отношения. Именно на этом и основаны четыре действия арифметики, которые можно даже свести к двум - сложению и вычитанию. Стало быть, когда я говорю шесть плюс два равно восьми, это то же, как если бы я сказал шесть плюс два равно шести плюс два; а когда я говорю шесть минус двй равно четырем, это опять-таки то же самое, как если бы я сказал шесть минус два равно шести минус два, и т. д.
Значит, арифметическая очевидность состоит в тождестве, и, если шести и двум я даю наименование восьми, а шести минус два - наименование четырех, я изменяю выражение лишь для того, чтобы облегчить сравнения и сделать тождество заметным.
Таким образом, доказательства всегда производятся лишь при помощи ряда тождественных предложений, производим ли мы действия с целыми идеями или последовательно с каждой их частью 7.
Этого довольно, чтобы показать Вам, что очевидность разума относится исключительно к тождеству идей.
ГЛАВА III
ПРИЛОЖЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕГО МЕТОДА К НОВЫМ ПРИМЕРАМ
Я уже имел случай, Ваше высочество, обратить Ваше внимание на то, что можно различать два вида сущностей. Но для того чтобы раскрыть Вам искусство рассуждать, нужно рассмотреть три различных случая.
Либо мы знаем
истинную сущность
вещи
1. Либо мы знаем первое свойство вещи, свойство, являющееся причиной (principe) всех других свойств, и тогда данное свойство есть сущность [данной вещи] в собственном смысле этого слова; я буду называть эту сущность истинной или первой сущностью.

23
22
 

Либо мы знаем лишь
ее второстепенную
сущность
2. Либо мы знаем лишь второстепенные свойства; мы замечаем среди них одно, о котором можно сказать, что оно есть причина всех других свойств. Это свойство можно рассматривать как сущность по отношению к тем качествам, которые оно объясняет; но это сущность не в собственном смысле слова; я называю ее вторичной сущностью 8.
Либо мы не знаем никакой ее сущности
Нужно удостовериться, какими знаниями
мы обладаем в этом отношении
3. Наконец, есть случаи, в которых среди второстепенных свойств мы вовсе не видим такого свойства, которое могло бы объяснить все другие свойства. Тогда мы не знаем ни истинной сущности, ни вторичной сущности и не можем составлять дефиниции. Чтобы дать знание о какой-либо вещи, нам остается лишь перечислить ее качества; такова, например, идея, которую мы составляем себе о золоте. Вы видели, что, когда мы знаем истинную сущность, мы можем указать все отношения с точностью; но Вы считаете, что когда мы знаем лишь вторичную сущность, то некоторых отношений мы не сможем указать и среди них будут даже такие, которых мы не сможем открыть.
Итак, Вы хотите судить о силе и точности доказательства? Удостоверьтесь, какого рода сущность заключена в дефинициях, о которых Вы рассуждаете.
Ведь если только Вы отдаете себе отчет в Ваших идеях, Вам будет нетрудно убедиться, знаете ли Вы истинную сущность или вторичную или же не знаете никакой.
Когда не знают никакой сущности,
остается лишь перечислить качества
Золото желтое, ковкое, гибкое. Но почему один металл имеет свойства, которых другой не имеет? Вы не сможете добраться до первого качества, которое объяснит Вам остальные. Значит, Вы не смогли бы с точностью указать отношение, существующее между металлами. Стало быть, Вам остается лишь перечислить их качества и сравнить качества одного с качествами другого.
Мы не знаем
ни истинной сущности
тела, ни истинной
сущности души
Если я спрошу Вас снова, почему тело протяженно и почему душа чувствует, то, чем больше Вы будете над этим размышлять, тем яснее увидите, что Вам нечего ответить. Следовательно, Вы не знаете истинной сущности этих двух субстанций.

 
Мы знаем их вторичную сущность
Однако Вы считаете, что все качества, которые Вы видите в телах, предполагают протяженность, а качества, которые Вы замечаете в душе, предполагают способность ощущать. Значит, Вы можете рассматривать протяженность как вторичную сущность тела, а способность ощущать - как вторичную сущность души.
Вторичная сущность тела не может быть тождественна
вторичной сущности души
Теперь, рассуждая об этих двух субстанциях, Вы можете сравнивать лишь вторичную сущность души со вторичной сущностью тела; ведь Вы не сможете сравнить одну истинную сущность, которой Вы не знаете, с другой истинной сущностью, которую Вы знаете не больше, чем первую. Сравним же вторичную сущность тела со вторичной сущностью души; начнем со следующей дефиниции: Тело есть протяженная субстанция.
Я могу изменять выражение этой дефиниции. Я могу представить себе тело разделенным на частицы, на атомы. Это будет тонкая материя, очень легкий воздух, очень деятельный огонь. Но какую бы форму я ни придал этой дефиниции, я не смогу достичь предложения, тождественного с предложением субстанция, которая ощущает 9. Значит, мы можем убедиться в том, что, когда мы исходим из идеи протяженной субстанции, у нас нет средства, позволяющего показать, что это та же самая субстанция, которая мыслит. Нам остается начать с идеи субстанции, которая ощущает, и в таком