жность реализации соответствующего достаточно хорошего контроля над материалом, у которого имеется кинетическая энергия. Относительно действительной реальности, поскольку мы ее полностью не можем знать, доказать некоторую абсолютную ограниченность контроля, очевидно, нельзя. Строгий ответ в принципе может быть получен для конкретной модели мира. Однако действительно реалистическая и в достаточной мере исчерпывающая модель ситуации может быть чрезвычайно сложной. Так, мы тут говорили о классическом мире с ньютоновой механикой. В нем вечный двигатель второго рода не запрещен. Но организовать-то всю работу должен "наблюдатель", вопрос о способностях которого выходит за рамки классической модели и, не исключено, вообще за рамки физики.
     Обычно устройство с демоном Максвелла оценивают как не работающее и бесполезное на том основании, что демон "покраснеет", т.е. придет в тепловое равновесие со средой, почему и перестанет эффективно сортировать частицы по энергиям. Однако при таком подходе совершается необоснованная подмена механики термодинамикой, как будто действительно существует она, а не модельная механическая первооснова. А ясно, что если разговор пошел на языке параметров термодинамики ("покраснение" есть нагревание), то ответ однозначен: КПД будет термодинамическим. Но сам по себе механический демон в механическом мире никогда не становится термодинамическим: ни при каких энергиях его элементов (ни при каких, как говорится, температурах) фазовая точка не расплывается. Похоже, как это ни странно, что созданию устройств, способных с пользой переварить даровое тепло среды, больше всего препятствует обратимость механики. Эти устройства должны обеспечивать односторонние потоки энергии, но, согласно механике, потокам в одну сторону сопутствует и возможность обратных потоков. Так что, возможно, реальная проблема заключается в обеспечении достаточно быстрого усвоения временного полезного эффекта, чтобы не приходилось заново начинать все сначала. Не следует считать временный успех обязательно плохим: и сам человек с обычной физической точки зрения есть объект с увеличенным, но конечным временем релаксации.
     Разумеется, никакой конкретный контроль не может дать желаемого всегда: для любых систем и при всех обстоятельствах. Некоторые условия успешного контроля можно увидеть на реальных примерах. Первый, очень красивый, хотя, вероятно, практически и бесполезный опыт /35/ может служить иллюстрацией механического движения некоторого начального фазового объема. Между стенками двух вложенных один в другой прозрачных цилиндров наливалась прозрачная вязкая жидкость. В нее впрыскивалась порция красителя. Цилиндры начинают поворачивать один в другом. После нескольких оборотов краска размешивается по всему объему жидкости настолько, что невозможно увидеть какую-либо границу раздела, и вся среда выглядит равномерно и однородно окрашенной. Но последующее вращение цилиндров в обратном направлении на то же число оборотов приводит к неожиданному с точки зрения обычной практики, эффектному восстановлению картины почти в исходном состоянии. Очевидно, существенное условие этой обратимости размешивания - отсутствие заметной диффузии одной части жидкости в другую через границу раздела между ними за время опыта, определенная ограниченность эффективной (на время опыта) сложности системы.
     Другой, более известный пример - спиновое эхо /35,36/, показывающий, образно говоря, что в течение некоторого времени система спинов в твердом теле помнит свое прошлое. Практически осуществимое обращение фазовых соотношений в прецессии спинов в магнитном поле позволяет в таком случае восстановить исходное состояние спиновой подсистемы. Это также оказывается возможным при слабой связи спиновой подсистемы с остальной частью системы, что существенно ограничивает изощренность необходимого контроля по сравнению с тем, который потребовался бы для точного управления всеми степенями свободы полной системы. И здесь обращение возможно только не через слишком большое время, иначе даже слабая связь подсистем приведет к их "перемешиванию" и, следовательно, к недостаточности для обращения относительно простых манипуляций с магнитным полем.
     Авторы обзора /35/ пишут: "Рассмотренные эффекты атомной "памяти" вызвали бы восхищение Лошмидта, так как они показывают, что некоторые виды разупорядочения, даже вызываемые случайными столкновениями частиц, можно обратить."
     Третий пример - так называемое обращение волнового фронта /37,38/. Он не имеет прямого отношения к термодинамическому контролю, но задачи управления и адаптации, встречающиеся в разных областях, имеют общие основные черты. Построено газовое зеркало, работающее на известных и понятных физических принципах, которое отражает падающий на него световой фронт не как плоское зеркало, а точно обращая нормали фронта во всех его точках. В таком случае фронт, первоначально, скажем, "несущий" некоторое изображение, но пропущенный через мутную среду и, следовательно, чрезвычайно деформированный, так, что обычными методами изображения уже не получить, удается довольно точно обратить и, пропустив через ту же мутную среду в обратном направлении, восстановить в исходном неискаженном состоянии. Ясно, что при отражении от обычного плоского зеркала второе прохождение через мутную среду только добавило бы разрушений в исходную упорядоченность фронта. Очевидно, возможности восстановить фронт в первоначальном виде решающим образом способствует огромная скорость света в среде, из-за чего частицы среды за время прохождения света через нее остаются практически на месте. Если бы они за это время меняли свои положения, то для восстановления фронта пришлось бы специально учитывать эти изменения, что резко подняло бы цену восстановления.
     Итак, контроль над некоторой интересующей частью системы должен быть достаточно точным для соответствующего управления этой частью. Требования к нему ослабляются, если она сама достаточно проста. Операции управления должны быть достаточно быстрыми, чтобы в игру не успели вступить другие части системы, на способность управления которыми контроль не претендует. В этом отношении требования к контролю ослабляются при ослаблении взаимодействия подлежащей контролю подсистемы с другими частями полной системы, так как возрастает время, в течение которого подсистема может считаться изолированной. Конечно, желательно, чтобы подсистема, подлежащая управлению, была как-то выделена, чтобы инструменты контроля могли пробиться к ней через ее окружение.
     
11. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ.
     
     Механическая система в фазовом пространстве характеризуется одной фазовой точкой. Область конечного объема в этом пространстве, имеющая отношение к данной системе, может характеризовать только информацию о системе. Доказательства теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема используют, конечно, существование и единственность решения обратимой механической задачи для любого направления времени. В свете вышеизложенного естественно очерчивается место теоремы в применении к необратимости огрублений термодинамического контроля.
     Пусть контроль над системой таков, что в качестве местонахождения системы указывает ненулевую область в фазовом пространстве. Точка реальной системы (конечно, если контроль не вовсе ошибочен) включается в эту область. Очевидно, смысл теоремы Лиувилля в применении к этому фазовому объему заключается в следующем. Если со всей возможной точностью, допускаемой механикой, следить за движением каждой точки фазового объема (или за его границами, если он сплошной, что в реальности всегда будет), то ни одна точка не "потеряется" и не "расплывется" (не размножится). Такое слежение и подобного рода контроль сохраняли бы информацию о системе. Но математическая теорема не означает, что фазовый объем (информация) сам по себе сохраняется. Весьма существенный факт заключается в том, что никакого ненулевого фазового объема самого по себе в реальности нет, и бессмысленно говорить о его самостоятельном сохранении. Ненулевой фазовый объем имеет смысл постольку, поскольку существует контроль. Математическая теорема не означает также, что в действительности будет реализоваться абсолютно точное слежение за имеющейся первоначально информацией. При использовании же отличных от точного механического видов контроля вопрос об изменениях информации о системе и, следовательно, характеристического фазового объема остается открытым, априори теорема Лиувилля здесь ничего не дает. Поэтому изменения точности контроля и переход к состояниям с другим значением энтропии не противоречат теореме Лиувилля и не нуждаются в специальном согласовании с ней, подобном гипотезе Гиббса о перемешивании фазового ансамбля.
     Строить какие-то заключения о будущем системы на основании теоремы Лиувилля или уравнений движения фазового ансамбля следует с большой осмотрительностью.
     К теореме Лиувилля тесно примыкает следующая из нее теорема Пуанкаре о возвращении. Примененная Цермело к статистической механике, она доказывает отсутствие монотонной тенденции в движении замкнутой изолированной механической системы. Более непосредственным было бы ее применение к движению газа в одном замкнутом объеме. Но все же интересно сопоставить с ней процесс выравнивания плотностей при убирании перегородок.
     Пусть объем с газом и пустой соединяются. Теорема о возвращении утверждает, что существуют моменты, когда можно снова разделить объемы перегородкой, восстановив исходное макросостояние. Однако обратный процесс в рамках контроля с помощью макропараметров не определен. Само же по себе возвращение реальной механической системы в окрестность исходной фазовой точки еще не вызывает введения перегородки в подходящий момент, тем самым не обеспечивает гарантированного восстановления начального макросостояния.
     Ясно, что по самому ее смыслу теорему о возвращении следует применять к исследованию поведения фазовой точки, изображающей микросистему, или некоторой функции только от этой точки. При возвращении точки в первоначальную область такая функция также будет "возвращаться". Однако макросостояние и макропараметры не являются безусловными функциями микросостояния и не обязаны безусловно восстанавливаться при возвращении микросостояния. Так, пусть убрана перегородка между объемом с частицами и пустым. Не запрещаемое и даже обязательное возвращение частиц на время в исходную часть объединенного объема не вызывает само по себе восстановления прежней перегородки, без чего не будет (хотя этого и недостаточно) и восстановления исходного макросостояния.
     Вне контроля макросостояние не существует. Контроль же над системой отнюдь не порождается самой системой. Даже заключение частиц в объем не означает появления какого-то определенного макросостояния. Контроль и соответствующее макросостояние возникают только тогда, когда с системой работают. Помещенные же в объем частицы могут, например, вообще не использоваться, а могут и управляться (в принципе) точными движениями стенок. Так что то или иное поведение микросистемы не обязано напрямую отражаться на макроуровне. Поэтому строгая в рамках термодинамического контроля необратимость огрублений контроля не встречает возражений, основанных на теореме о возвращении.
     Вообще представления о макропараметрах как о функциях микропеременных, проводимые явно или неявно, всегда рождали неразрешимые парадоксы в проблеме обоснования классической статистической механики.
     
§ 2. Выделяют ли неравновесные процессы знак времени ?
     
     Уравнения механики дают точно обратное движение при замене скоростей всех элементов системы на противоположные или при изменении направления хода времени. Соответственно, движение не меняется при одновременном обращении скоростей и времени. Находясь в рамках такой механики, мы не можем узнать или решить, в каком направлении времени движется механическая система. Само направление не имеет значения, так как результаты увязаны с направлениями скоростей. Отличить систему, движущуюся в будущее с такими-то скоростями, от системы, движущейся в прошлое с обращенными скоростями, нельзя. Можно лишь условно зафиксировать какой-то знак времени, и тогда знаки скоростей частиц определятся из сопоставления с наблюдаемым. Нет никаких оснований, кроме конвенциональных, говорить, куда это - вперед, а куда - назад. То есть по существу никакой знак времени в механике не выделен.
     Как представляется на первый взгляд, иное положение в термодинамике. Так, нагретый чай, тепловым поведением которого ведает термодинамика, "после", в будущем, всегда холоднее, чем "до". Неоднородности температуры только сглаживаются, что и отражается законами термодинамики. Поэтому говорят, что термодинамика в противоположность механике выделяет знак времени, ее закономерности жестко увязаны с направлением хода времени.
     Разумеется, (или предположим, что) с хорошей точностью чай и окружающая его среда могут быть представлены состоящими из частиц, подчиняющихся механике. В таком случае никакая тенденция в самостоятельном развитии систем не должна быть выделена, т.е. самопроизвольное нагревание должно бы обнаруживаться так же часто, как и самопроизвольное охлаждение. Однако реальный чай предпочитает всегда только охлаждаться. Но не может же система одновременно что-то и предпочитать (согласно термодинамике) и не предпочитать (по механике)!
     Почти все авторы - т.е. практически кроме полагающих "стрелу" времени выделенной так называемым приготовлением - представляют себе, что в положительном направлении времени энтропия будет возрастать, система приближаться к равновесию, а в отрицательном направлении (при смене направления хода времени) энтропия будет уменьшаться - тоже монотонно в соответствии с монотонностью прямого процесса. Но если говорить по существу дела, то термодинамические тенденции сохранились бы и при смене знака времени.
     Посмотрим на проблему на упрощенном примере. Постараемся ответить на вопрос: почему нагретый чай всегда только остывает и почему он никогда хотя бы на какой-то заметный интервал времени не нагревается дополнительно сверх начальной температуры за счет тепла окружающей среды?
     Если спросить об этом не специалиста по этой проблеме, то часто можно услышать: потому, что чай нагрет больше, чем окружающий воздух, а более нагретые частицы (обладающие большей кинетической энергией) передают часть своей энергии менее нагретым частицам среды по аналогии с выравниванием уровней жидкости в сообщающихся сосудах. Но такая аналогия ничего не объясняет. Если в сообщающихся сосудах находится идеальная жидкость без вязкости (а только тогда можно проводить более или менее прямую аналогию с механической системой частиц), то будет наблюдаться картина периодических незатухающих колебаний уровней, никакого предельного состояния равновесия и никакой монотонности процесса не будет. Ссылка же на диссипацию (растрату энергии колебаний на преодоление вязкого трения) в объяснении успокоения качки уровней здесь не корректна, так как эта ссылка лишь отодвигает объяснение, ибо диссипация - термодинамическое явление, а объяснять термодинамику термодинамикой не следует.
     Для механики, управляющей движением частиц системы, абсолютно безразлично, в какую сторону будет передаваться кинетическая энергия: от более энергетичных частиц менее энергетичным или наоборот. Механика в этом смысле полностью симметрична. Любой процесс перераспределения кинетической энергии, идущий в одну сторону, заменой направления хода времени (или, что то же самое, сменой знаков скоростей частиц) - при сохранении кинетических энергий у частиц! - обращается. То есть для того, чтобы предсказать, будут ли кинетические энергии частиц чая и среды выравниваться или они будут еще более расходиться, необходимо кроме кинетических энергий знать еще и знаки скоростей частиц, на что кинетические энергии, квадратичные по скоростям, не указывают. Распределение температур, строго говоря, еще не указывает на направление последующего процесса в системе, но мы, тем не менее, с поразительным успехом это делаем!
     Практическую нереализуемость движения системы в сторону возрастания неоднородностей в распределении плотностей и температуры по частям системы Пригожин, как и некоторые другие авторы, связывает с тем, что такое "антитермодинамическое" движение требует сильной и, соответственно, маловероятной скоррелированности (согласованности) в положениях и скоростях частиц, не видя, что движения в двух противоположных направлениях скоррелированы совершенно одинаково, различаются только знаками скоростей частиц, т.е. с точки зрения предпочтений механики абсолютно несущественным фактором (а с точки зрения термодинамики, которая ничего не знает о частицах - вообще ненаблюдаемым и неопределимым). Всякое механическое движение столь же скоррелировано, как и любое другое, в механике понятие скоррелированности попросту отсутствует. Поэтому ссылки на различную скоррелированность различных участков или противоположных по направлению прохождений одной и той же траектории движения системы создают лишь видимость объяснения.
     Перейдем от вопросов к их решению.
     Легче всего снимается трудность согласования необратимости перехода к предельному состоянию равновесия в термодинамике с квазипериодичностью движения, требуемой, о чем говорит теорема Пуанкаре, механикой.

Рис. 6.
     Посмотрим, какова типичная теоретическая кривая зависимости степени равновесности от времени на очень большом временном интервале. Она может быть рассчитана, если каждому расположению частиц по координатам и скоростям, меняющемуся со временем, по определенному достаточно естественному правилу сопоставить степень равновесности. Вид подобной кривой показан на рис. 6. Во-первых, надо отметить, что кривая несимметрична по высоте относительно ее среднего значения: большие отклонения от среднего бывают только вниз. Это связано с характером функции, обычно принимаемой в качестве оценки степени равновесности (так, для распределения частиц по координатам это полиномиальные оценки вероятности). Разница между средним и наиболее равновесным мала и у систем с большим числом частиц практически не наблюдаема. Для таких систем выражение "заметное отклонение от равновесия" подразумевает одновременно отклонение от среднего вниз. Во-вторых, заметные отклонения от равновесия у "нормальных" систем с большим числом частиц встречаются чрезвычайно редко и в среднем разделены огромными промежутками времени (периоды возвратов Пуанкаре очень велики).
     Ясно, что получится, если попасть в область заметного отклонения от равновесия. Последует движение вверх к среднему (или к наиболее равновесному, что практически одно и то же), и система будет оставаться в равновесии неопределенно долго, так как следующее заметное отклонение от равновесия невероятно удалено от начального. И, очевидно, такая картина должна наблюдаться в среднем симметрично в обе стороны по времени, т.е. необратимое остывание чая не связано с каким-либо знаком времени.
     Возвращаясь к сообщающимся сосудам, видим, что хорошей иллюстрацией "необратимой" системы может служить связка очень большого числа сосудов, наполненная невязкой жидкостью (обратимая механика без трения). Если не создана специальная геометрия, способствующая особой кумуляции потоков при данных начальных условиях, то значительное исходное превышение над средним уровня в небольшой группе сосудов будет монотонно и практически необратимо рассасываться по небольшим незатухающим колебаниям во многих сосудах при малой вероятности концентрации энергии у подходящей выделенной части жидкости.
     Дождаться обратного самопроизвольного нагревания чая за счет тепла окружающей среды нам "по техническим причинам" нет никакой надежды. Именно этот "человеческий фактор" учитывают законы термодинамики, утверждающие необратимое стремление к равновесию. Хотя большинство специалистов и придерживается аналогичной трактовки необратимости в пункте ее согласования с квазипериодичностью истинного механического движения, но в математических проработка