городок, окажется не вполне эквивалентной.
     "Аналогичным образом доказывается аддитивность энтропии по отношению к компонентам смеси (имеется в виду - разных. - В.Г.) идеальных газов. Это свойство Гиббс рассматривает как следствие закона Дальтона о парциальных давлениях. Действительно, пусть идеальный газ состоит из двух компонентов  А  и  В, каждый из которых занимает (общий для них. - В.Г.) объем  V  и имеет соответственно внутренние энергии  UA  и  UB  и парциальные давления  PA  и  PB. Тогда энтропия каждого компонента будет

     Энтропия смеси равна

(*)
так как в соответствии с законом Дальтона  P = PA + PB. Мы приходим к теореме Гиббса: энтропия идеального газа, состоящего из двух или нескольких компонентов, находящихся при одинаковой температуре, равна сумме энтропий компонентов в предположении, что каждый компонент занимает объем, равный объему смеси." (/28/, стр. 14-15)
     Как говорил один персонаж знаменитой театральной постановки, правильно, но неверно. Приведенное доказательство теоремы - чистая тавтология, прячущаяся за математику. Количественно разрешенное математикой разбиение величины  (dU + PdV)/T  на слагаемые (dUA + PAdV)/T  и  (dUB + PBdV)/T  физически в разбираемом контексте означает взятие этих величин (дифференциалов энтропии) для  разделенных систем и последующее сложение, законность чего для определения энтропии смеси в одной системе надо было бы сначала доказать.
     В анализируемой термодинамике состояние в объеме характеризуется одним-единственным давлением, никакие парциальные давления по отдельности в ней не наблюдаемы. Соответственно, и наоборот, если указано какое-то особое давление, то оно должно относится к некоторому отдельному объему. Таким образом, если указаны давления  PA  и  PB, то они относятся к разным объемам (сосудам), скажем,  VA  и  VB. Следовательно, разложив дифференциал энтропии на слагаемые, фактически исходно отождествили энтропию смеси в одном объеме с суммой энтропий в разделенных системах. Дальше можно было бы не доказывать.
     В тандеме физики с математикой ведущей является все же физика. Пресловутый физический смысл и нужен, в частности, для того, чтобы знать, что можно делать с теми или иными физическими параметрами, а чего - нельзя. Именно физика дает основания и оправдания для отождествления тех или иных комбинаций физических величин. Равно одно другому или не равно, определяется не арифметикой, а физикой. В математических описаниях физических явлений знак равенства ставится тогда, когда физика говорит, что одно заменяется, порождается или моделируется чем-то другим. А как левая часть в равенстве (*) моделируется правой? В виде двух отдельных систем, а не двух составляющих одной системы в одном объеме. Это равенство не сводится к простому подсчету того, отчего получилась полная работа, так как для одного объема никаких парциальных работ термодинамика не знает. Здесь неосознанно проведен незаконный переход к неизвестному в термодинамике более микроскопическому анализу с последующим приписыванием этого анализа термодинамике. Это мы знаем, что полное давление в системе образуется вкладами отдельных частиц или групп частиц, но в рамках собственно термодинамики в ее простейшем варианте все это отсутствует и не может быть смоделировано. То есть равенства (*) в этой термодинамике не существует.
     И почему разделение проведено по признаку качества частиц? Что от этих качеств зависит? Какое дело до них термодинамике?
     Обратим внимание, во-первых, на то, что закон Дальтона, очевидно, строго справедлив для точечных частиц. Во-вторых, он есть частный случай также очевидного для нас общего правила простого суммирования давлений любых отдельных частей газа точечных частиц, а не только частей из различных сортов газа. В приведенном доказательстве теоремы Гиббса эффективно используется пропорциональность суммируемых парциальных давлений и внутренних энергий количествам частиц отдельных сортов газа, что, разумеется, верно при обычном равенстве средних на частицу энергий для различных компонент. Но это же справедливо и для наборов частиц любых сортов, в любых пропорциях, лишь бы средние энергии групп совпадали. Но тогда аналогичное разбиение полного дифференциала давало бы аналогичную теорему уже без различения качеств частиц: группы частиц и, соответственно, выражение для энтропии определялись бы только нашим выбором. Можно было бы для одной системы получить множество не совпадающих значений энтропии. В действительности в той простой термодинамике, о которой у нас везде идет речь, сорта идеальных частиц не имеют никакого значения. Этой термодинамике не характерно подразделение частей системы внутри объема по какому-либо качеству. У нее нет параметра, позволяющего выделить какие-то группы частиц из всего рабочего тела. Представление, что это можно сделать, идет от смешивания более микроскопического взгляда, который нам известен, с "термодинамическим", в котором никакой микроскопики нет. Тепловая машина не разбирает свое рабочее тело на части. Поршень чувствует только полное давление, и ему все равно, как мы раскрасим частицы. Дело не в том, можем ли мы в принципе различить газы, а в том, меняется что-либо для машины от этого нашего (или чьего бы то ни было) умения или нет. Вспомним, что несмотря на принципиальную возможность в модельном механическом мире перевести в работу всю кинетическую энергию конкретная организация функционирования тепловой машины не позволяет этого сделать. Парциальные давления по отдельности в тепловой машине не наблюдаемы. Системы со смесями разных газов так же аддитивны, как с однородным газом, к ним вполне приложимы все требования, обусловившие приведенное выше в этом пункте доказательство аддитивности для однородного газа. А вот утверждение теоремы Гиббса с точки зрения процессов в машине весьма странно. Оказывается, ввиду утверждаемого теоремой равенства, что машине все равно, работать ли с газом в одном объеме или с тем же газом, но раскрашенным по-другому, в увеличенном объеме. Это неверно, и обсуждаемое доказательство теоремы Гиббса несостоятельно.
     "Теорема Гиббса получила в дальнейшем дополнительное обоснование с помощью так называемых полупроницаемых перегородок." (/28/, стр. 20). "Для этой цели необходимо провести разделение смеси на ее компоненты  А  и  В  обратимо и изотермически, причем так, чтобы объем каждого компонента все время оставался бы равным исходному объему всей смеси." (/28/, стр. 21). С помощью полупроницаемых перегородок, избранно пропускающих тот или иной газ, разделить смесь на компоненты, каждая из которых в конечном состоянии занимает по объему, равному исходному, можно обратимо, изотермически и без затраты работы. На этом основании делается заключение о неизменности энтропии в таком процессе разделения, следовательно, "энтропия смеси равна сумме энтропий отдельных газов, когда каждый из них при той же температуре занимает объем всей смеси. Иными словами, имеет место теорема Гиббса." (/28/, стр. 23).
     Все бы ничего, да только в обычной термодинамике Карно-Клаузиуса нет никаких полупроницаемых перегородок. Использование полупроницаемых перегородок - это выход за рамки обычной термодинамики, для которой, тем не менее, без всяких переходов и оговорок стараются с помощью учета специфики таких перегородок нечто доказать. Но ясно, что именно специфика не может относиться к обычной схеме. С помощью полупроницаемых перегородок можно что-то показать относительно газа или работы с ним с их помощью, но все это показанное безразлично и ненаблюдаемо в случае обычных непроницаемых перегородок. Подобно этому можно многое показать относительно конкретной динамики частиц и в принципе возможных результатов работы с ними при использовании механического контроля, но опять же это не будет иметь никакого значения для термодинамики, так как такая информация в ней не используется. В общем случае для результатов контроля важно лишь, что именно делается, что конкретно происходит, а не то, что вообще можно было бы сделать из того, что разрешается природой.
     В рассматриваемой термодинамике Карно-Клаузиуса нет параметра, переключающего качество стенок, и позволяющего, как и в случае с парциальными давлениями, различать рабочие тела по более подробным признакам, чем самые общие типа температуры и полного давления. Разумеется, возможна теория, адекватно описывающая системы результатов, достижимых при манипулировании как с обычными перегородками, так и с полупроницаемыми. Там были бы параметры (переключатели), отражающие при необходимости особые характеристики газов и стенок, в зависимости от значений которых, а также от конкретных процедур энтропия в обратимых равновесных процессах без передач тепла могла бы как оставаться неизменной, так и меняться. Теория должна была бы переходить в обычную, в которой газы не различаются, при определенных значениях этих параметров, определенных положениях переключателей. Поведение энтропии при различных разбиениях было бы более сложным, чем обычно, но переходило бы в нормальное для положений переключателей в состояниях, соответствующих работе обычного типа. В обычной термодинамике, к которой искусственно и непоследовательно добавляют полупроницаемость стенок, ничего этого более сложного нет. Термодинамика, возникающая при оперировании полупроницаемыми перегородками, отнюдь не совпадала бы полностью с обычной термодинамикой, поэтому прямолинейное использование операций с полупроницаемыми перегородками для доказательства теорем обычной термодинамики может приводить и приводит к парадоксам. Итак, проведенное с помощью полупроницаемых перегородок исследование поведения энтропии к изучаемой здесь термодинамике прямого отношения не имеет.
     Обычно считают /23,24/, что соответствующее теореме Гиббса возрастание энтропии при убирании перегородок между сосудами с различными газами, находившимися при одинаковых давлениях и температурах, объясняется и оправдывается взаимной диффузией разных газов. Однако эта взаимная диффузия разных газов, как и самодиффузия разных частей одного газа, для классической тепловой машины - фиктивный процесс, при идеальных газах никак не отражающийся на величинах, с которыми работает машина. Не следует путать возможности, которые могли бы быть использованы при некотором наилучшем варианте работы с частицами, с действительной конкретной реализацией процессов. Так, для последующего использования в качестве резервуара тепла, или в качестве холодильника, или в качестве рабочего тела и вообще для любых целей и процедур в нашей машине совершенно безразлична замена части однородного газа тем же количеством частиц другого газа. Это не меняет систему в динамическом отношении и в отношении передач тепла и выравнивания плотностей при контактах систем, а только это и является в термодинамике Карно-Клаузиуса единственно наблюдаемым и полностью определяет макропроцессы и макроописание.
     Итак, утверждение теоремы Гиббса об энтропии смеси газов в традиционной термодинамике несправедливо и поэтому не может служить опровержением полученного здесь выражения для энтропии.
     
10. НЕОБРАТИМОСТЬ ОГРУБЛЕНИЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ
     
     В настоящем подходе энтропия, являющаяся характеристикой точности контроля над микросистемой с помощью макропараметров в тепловой машине, при неизменном контроле не меняется со временем (скажем, из-за движения микросистемы). При изменении точности контроля можно перейти к состоянию с другим значением энтропии. На этапе перехода на другую адиабату, например, при установлении теплового контакта с холодильником, точность контроля меняется. Контроль над рабочим газом и над газом холодильника по отдельности временно сменяется контролем над их объединенной системой, после чего системы снова разделяются. Однако при этом не происходит восстановления прежней точности контроля, которая при объединении оказывается как бы забытой: информация об исходном состоянии, превышающая ту, которая осталась после объединения, никак не используется при разъединении. Процессы объединения и разъединения систем, производимые с помощью контроля только над макропараметрами, без обращения к микропеременным (что выводило бы контроль за рамки термодинамического), не во всех отношениях обратны друг другу.
     Точность контроля на адиабате неизменна. Движение по адиабате однозначно определено для всех микросистем с фиксированной энергией. Всегда можно вернуться в любую точку адиабаты, управляя только макропараметрами. Но для получения полезной работы за цикл надо возвращаться по другой, более низкой адиабате, для чего часть тепла надо отдать холодильнику. Будем считать, что контакт между системами (цилиндр и холодильник) с одинаковыми плотностями частиц и с разными температурами устанавливается и прекращается путем убирания и восстановления перегородки между ними.
     При убирании перегородки результирующее макросостояние объединенной системы достигается однозначно независимо от положения микросистемы в момент снятия перегородки. Контроль однозначно ухудшается (не улучшается). Старые и новые значения макропараметров связаны простыми уравнениями, не включающими микропеременных.
     Так, теперь вместо двух систем с разными температурами  T1  и T2  есть одна система с промежуточной температурой  T:

где  N1  и  N2 - числа частиц в первоначальных системах. Всегда, без всяких флуктуаций
max{T1,T2} ? T ? min{T1,T2} ,
S ? S1 + S2 .
     Никакое реальное установление равновесия, тем более окончательное, не является необходимым для перехода к состоянию с этой промежуточной температурой.
     Существенно однако, что обратный процесс, процесс улучшения контроля, в рамках контроля с помощью макропараметров не определен. Чтобы однозначно получить желаемые допустимые макросостояния (например, первоначальные) вновь разделенных систем, что в принципе разрешено модельной механической основой системы, надо вводить перегородку в нужный момент, т.е. надо знать положение микросистемы (хотя бы с первоначальной точностью) и в достаточной мере использовать возможности механики. Но такая точная процедура при термодинамическом контроле вообще не определена. Разделение же системы на части без предварительного уточнения положения микросистемы и последующего использования этой информации, т.е. введение перегородки в случайный момент (опять наобум, что соответствует нескоррелированным движениям поршня при изменениях объема), приводит к случайному макроскопическому результату в отличие от однозначного результата объединения систем. Таким образом, огрубление контроля над системой, осуществляемого с помощью макропараметров, в рамках этого контроля строго необратимо. Ломать - не строить! Эта строгая несимметричность решающим образом связана с эффектами, которые обычно представляются наиболее сильными доказательствами необратимости в развитии систем, но она лишь заставляет сопоставлять заданное (начальное) неравновесное по некоторому критерию состояние с получающимся в среднем после разделения, что, конечно, не равноценно и эффективно приводит к неравенству результатов оценок.
     Результат распределения частиц по объемам, разделенным случайным введением перегородки, может рассматриваться как вероятностный и может быть (при слабо взаимодействующих частицах) описан обычными полиномиальными формулами, полученными в предположении о постоянной внутри полного объема плотности вероятности обнаружения частиц. На практике объем делится на конечные части. Следовательно, нет необходимости требовать, чтобы частицы могли оказываться сколь угодно близко к любой точке внутри объема, т.е. требования к системе типа эргодичности резко ослабляются. Поэтому обычные вероятностные формулы оказываются практически применимыми для оценки результата разделения даже не слишком много времени спустя после объединения.
     Отметим, что оценивается результат конкретно заданного разбиения, которое, таким образом, единственно. Задача оценки вероятности неразделенного состояния самого по себе ни в каком пункте не возникает, т.е. проблема неединственности оценки термодинамической вероятности состояния, связанная с неединственностью абстрактно возможных мысленных разбиений, о чем говорилось в первом параграфе первой главы, не существует.
     При вероятностной оценке (теоретической и "практической") будущего результата разделения систем более вероятным оказывается более равновесное состояние. Но это не означает собственного движения системы к равновесию, так как эта оценка учитывает лишь подсчет чисел состояний, проходимых за большой интервал времени (без учета положений соответствующих моментов на временной оси), не запрещает обнаруживать при испытании неравновесное состояние, не меняется при смене знаков скоростей частиц (т.е. смене направления хода времени) и вообще не зависит от начального состояния. При такой оценке за временем фактически не следят, поэтому никакие состояния нельзя упорядочивать во времени, т.е. на основании указанного характера оценок еще нельзя утверждать, что с течением времени система куда-то стремится.
     (Для серии близких по времени испытаний нельзя пользоваться постоянной по объему плотностью вероятности обнаружения частиц, что связано с детерминизмом движения микросистемы. Результаты испытаний окажутся в соответствующей степени скоррелированы с начальным состоянием и между собой. С увеличением интервала времени, в котором осуществляются нескоррелированные испытания, плотности вероятности, пригодные для оценки результатов испытаний, будут выравниваться по всему объему. Однако такое монотонное выравнивание плотностей также нельзя интерпретировать как стремление системы к равновесию, это есть лишь результат ослабления корреляций между моментами испытаний и состоянием микросистемы, находящейся в движении.)
     Итак, с начальной температурой газа в цилиндре приходится сопоставлять температуру, оказывающуюся в результате разделения. Передача энергии холодильнику в среднем оказывается возможной, если эта температура в среднем ниже первоначальной. При более холодном холодильнике это гарантировано. При больших числах частиц конечная температура в среднем близка к наивероятнейшей, которая равна температуре объединенной системы. На практике исходная температура газа в цилиндре весьма маловероятна с точки зрения получения ее путем введения перегородки в объединенную систему. После разделения практически всегда получаются более близкие по температурам системы, чем имелись вначале.
     Таким образом, тепловая машина совершает за цикл полезную работу только при ухудшении контроля, причем неравноценность флуктуации (неравновесного состояния) и среднего лишь обеспечивает возможность, дает средство при грубом управлении передать энергию от нагревателя рабочему телу, а затем - холодильнику.
     Причины, по которым в конкретных случаях применяется тот или иной способ контроля над системой, здесь не рассматриваются. Независимо от них применение замкнутого контроля с помощью макропараметров делает необходимым для циклической машины холодильник, которому в конечном счете передается часть энергии нагревателя и тепло которого в рамках этого контроля уже не может быть использовано для совершения работы. Необходимость холодильника и, соответственно, работа машины "с ростом энтропии" оказываются не следствием свойств самих систем, а следствием несовершенства применяемого контроля над системами. Термодинамика отличается о механики тем, что является системой результатов работы с механическими по природе системами, но работы, не использующей всех возможностей механики. В модели, где механика описывает "природу" саму по себе, такой же "самостоятельной" термодинамики нет.
     Ясно, что вопрос о возможности вечного двигателя второго рода, работающего только с одним нагревателем без нагревания холодильника, сводится к проблеме контроля. Конечно, ввиду того, что ничего совершенного нет, речь должна идти не о полном использовании кинетической энергии газа, а лишь о большей доле, чем позволяет термодинамика.
     Итак, чтобы обосновать запрет вечного двигателя второго рода, требуется доказать невозмо