ак времени. Это можно смоделировать аналитически и на ЭВМ (см., например, рис. 7.2 в книге самого Пригожина). Но в таком случае именно относящаяся к делу модельная эмпирия как раз и запрещает введение "принципа отбора". Апелляция Пригожина оборачивается против него самого.
     Итак, журналисты в своей прессе подают оптимистические заявления И.Пригожина по поводу разрешения им проблемы согласования термодинамики и механики чрезмерно доверчиво и восторженно.
     
§ 4. Парадоксы Гиббса
     
     При анализе трудностей статистической физики парадоксам Гиббса обычно не придают такого значения, как проблемам согласования детерминизма и вероятности, термодинамической необратимости и механической обратимости, видимо, считая их в основном снятыми, хотя споры по их поводу не остывают. Отсутствие их разрешения означало бы, что теория внутренне противоречива.
     Разберем содержание парадоксов, уточнив одновременно их классификацию.
     В разработанном Гиббсом и повсеместно принятом ныне методе статистического описания термодинамических систем исходным является понятие ансамбля - набора всех различных микроскопических состояний системы, отличающихся значениями координат и импульсов частиц (точек в фазовом пространстве), но дающих одно и то же макроскопическое состояние. Так как энтропия макросостояния считается мерой вероятности этого состояния, т.е. частоты, с которой оно может реализоваться, а частота может подсчитываться по числу различных допустимых состояний составляющих систему элементов, но образующих одно и то же макросостояние - в предположении, что эти микросостояния исходно равновероятны, - энтропия системы с точностью до некоторого постоянного слагаемого (и множителя - постоянной Больцмана, которую здесь положим равной единице) есть логарифм числа таких различных состояний микросистемы (называемого статистической суммой или интегралом состояний).
     Для рассматриваемого здесь вопроса важна только часть возможных состояний, возникающая при переборе координат частиц. Пусть система N частиц в объеме V находится в равновесном состоянии. Каждая из них, причем независимо от других, может находиться в любом месте объема. Тогда общее число возможных состояний частиц пропорционально объему в степени числа частиц. Логарифм этого числа с точностью до слагаемого, связанного, очевидно, лишь с выбранными единицами "измерения" числа точек в объеме, равен логарифму объема, умноженному на число частиц:
S = N lnV.
     Возьмем удвоенный объем с удвоенным числом частиц. По предыдущей формуле получится:
S2 = 2N ln2V.
     По законам термодинамики энтропия вдвое большей системы должна быть и большей в два раза (свойство аддитивности энтропии), однако здесь это не получается:
S2 - 2S = 2N ln2V - 2N lnV = 2N (ln2V - lnV) = 2N ln2.
     (Покажем, что при фиксированном выборе единиц "измерения" разность добавочных слагаемых равна нулю. Чтобы не иметь дела с несчетным множеством различных точек в объеме, будем считать, что частицы могут размещаться только в элементарных ячейках размером V0 и двигаться, перемещаясь из одной в другую. Тогда число состояний Z будет равно N-й степени отношения полного объема к элементарному:
Z = (V/V0)N.
     Отсюда
S2 - 2S = 2N ln2V - 2N lnV0 - 2N lnV + 2N lnV0  = 2N ln2V - 2N lnV = 2N ln2.)
     Это противоречие побудило Гиббса выдвинуть интерпретацию, согласно которой при подсчете числа (микро)состояний не следует считать различными состояния, отличающиеся лишь тем, что в таких-то местах находятся именно такие-то частицы, а не иные - так как перестановки между собой одинаковых (!) частиц не приводят ни к каким видимым изменениям, т.е. как бы все состояния с переставленными частицами есть одно и то же микросостояние и должны подсчитываться один раз. Число различных вариантов перестановок N частиц равно факториалу числа частиц, т.е.  N !. Тогда полученное выше число состояний, пропорциональное объему в степени числа частиц, следует разделить на  N!. В дальнейшем используется тот факт, что обычные термодинамические системы состоят из очень большого числа частиц. При больших  N  факториал этого числа с некоторой не существенной для дела поправкой можно приближенно (по формуле Стирлинга) заменить  N-й степенью этого числа, откуда
Z = VN / N! ? VN / NN = (V/ N)N . 
     Энтропия как логарифм этой величины 
S = N ln(V/ N)
оказывается аддитивной: при увеличении объема системы с сохранением плотности числа частиц она растет как число частиц, т.е. как объем системы.
     Надо сказать, что в физике, в отличие от математики, существуют работающие утверждения разной степени обоснованности, которые и следует принимать с различной долей настороженности. Изложенное разрешение парадокса аддитивности энтропии относится к числу самых сомнительных из основных положений во всей физической теории. Оно явно производит впечатление гипотезы ad hoc, использованной, так сказать, задним числом, чтобы залатать неясную, но неприятную дыру. Хотя в большинстве учебников и руководств оно принимается как бесспорное, по крайней мере в формальном плане, все же многие авторы расходятся в вопросах его обоснования /21-29/. Так, одни полагают достаточным приведенное здесь обоснование в рамках классической механики. Другие считают, что только истинная квантовомеханическая неразличимость тождественных частиц обосновывает и обеспечивает уменьшение числа микросостояний в  N!  раз по сравнению с классической величиной. Некоторые из них говорят, что Гиббс уловил здесь квантовый эффект.
     Сначала посмотрим на непосредственное оправдание неучета "переставленных" микросостояний как различных. Говорится, что они не представляют собой физически различимых состояний. Но, во-первых, кто их там вообще различает? Макросостояние, термодинамика? Но термодинамика не различает и разных координат частиц, тем не менее они подсчитываются как различные. Механика, описывающая микроскопическое поведение? Но классическая механика очень хорошо следит за движением каждой отдельной частицы, а состояния с переставленными частицами попросту находятся на разных фазовых траекториях, которые в классической механике вовсе не перепутываются. Именно по этой причине многие считают, что только квантовая механика решает проблему. Так, в книге Шредингера "Статистическая термодинамика" /21/ соответствующий пункт так и назван: "Крах классической теории. Парадокс Гиббса."
     Но позиция квантовой механики здесь еще более шаткая. Не говоря уж о том, что так называемые квантовомеханические обоснования деления на  N!  - чисто словесные и обрывочные, без полного и детального формального построения доказательства, квантовая механика, по-видимому, здесь вообще не при чем. Если квантовая механика необходима для разрешения этого парадокса, то это значит, что в классическом мире тепловая машина или вообще не работала бы или работала бы каким-нибудь странным образом, показывая эффекты, соответствующие неаддитивности энтропии, ведь энтропия и была первоначально введена на основе анализа работы тепловой машины. Утверждение же, что классическая тепловая машина не могла бы работать, было бы слишком смелым. Хотя вопрос и не совсем прост, однако можно заметить, что во всех руководствах, объясняющих работу тепловой машины, ни о какой квантовой механике никогда и не вспоминают.
     Можно показать, и в этом вряд ли кто может сомневаться, что тепловая машина работала бы обычным образом и при справедливости классической механики. Тогда аддитивность энтропии должна быть получена без обращения к квантовой механике.
     Более того, можно также показать на (теоретической) модели, что тепловая машина работала бы строго, так сказать, аддитивно и при конечном числе частиц. Условия такой работы - только малость размеров частиц и медленность (адиабатичность) движений поршня. Отсюда следует, что строгая аддитивность энтропии должна быть получена и для конечных чисел частиц, на что прием с перестановками не способен - он дает в этом случае лишь приближенную аддитивность (формула Стирлинга обеспечивает точное равенство лишь в бесконечном пределе). Поэтому, по крайней мере в случае энтропии, используемой для характеристики работы тепловой машины, подход с перестановками в принципе неверен.
     Существует еще одна трудность, и мы теперь перейдем к парадоксу Гиббса второго рода. При изложенном решении, использующем неразличимость некоторых частиц, возникает вопрос: чем и насколько должны различаться частицы, чтобы при написании формул они учитывались как различные? Как определить границу тождественности?
     Хотя в классическом случае никаких особых указаний по этому поводу не существует, считается, что одинаковыми должны рассматриваться частицы, характеристики которых совпадают абсолютно. Не будет, видимо, сильных возражений, если облегчить задачу, относя к числу учитываемых свойств только динамические - ведь машине, по-видимому, безразлично, в какие, скажем, цвета раскрашены частицы, лишь бы они ударялись о поршень и создавали давление. Но по другим свойствам, например, по весу или размерам, частицы, как считается, должны строго проверяться. Тут-то и возникает трудность. Пусть в объеме находятся частицы двух сортов. Число состояний в единицах  V0  равно  . Будем теперь изменять частицы так, чтобы их свойства непрерывно сближались вплоть до полной тождественности. Пока они сколь угодно мало, но различаются, сохраняется прежнее выражение для числа состояний. Но как только их свойства точно совпадут, это выражение скачком меняется: деление на  (N1! N2!)  заменяется делением на факториал суммы всех частиц  (N1 + N2)!. Соответственно скачком должна меняться и энтропия. Подчеркнем, что процесс идет не с постепенным уменьшением числа частиц одного сорта и соответствующим увеличением количества частиц другого сорта. Нет, в предельной точке одно число частиц сразу становится равным нулю, а другое - полному числу всех частиц, т.е. число состояний претерпевает резкий, максимально допустимый скачок (причем не зависящий от природы исходных частиц), и только при переходе в предельную точку.
     Часть авторов, усматривающих здесь проблему, говоря о своих опасениях, указывает на неестественность такого резкого скачка для классической механики. Лучше было бы сказать, что дело не в том, что классической механике не свойственны какие-либо скачки. Скачки она вполне допускает. Дело в более конкретном, что физики интуитивно ощущают, но плоховато в данном случае осознают и что никогда не было сформулировано достаточно четко. А чувство неудовлетворенности несомненно должно возникать в связи с тем, что, по-видимому, заметному скачку в числе состояний и в величине вычисляемой энтропии при переходе по параметру качества частиц от околопредельной области к пределу очевидно не соответствуют какие-либо заметные эффекты, скажем, в работе тепловой машины. Напомним, что тепловая машина - вполне заслуженный и первый объект для анализа с помощью энтропии, а ей явно практически безразлично, одинаковые частицы газа или различаются, например, по массам в пределах миллиардной доли процента. (Более того, в термодинамике существует теорема о независимости КПД тепловой машины от характеристик рабочего тела.) Это несоответствие наличия скачка в статистических формулах отсутствию его проявлений в реальности несколько странно.
     Некоторые из специалистов, занимавшихся этой проблемой, например А.Зоммерфельд /22/ и Р.Кубо /25/, разрешение ее видят в том, что реальный мир квантовый и запрещает непрерывные переходы одних частиц в другие. Так сказать, красные и зеленые частицы не могут выцветать плавно до бесцветных. Неизбежность такого решения и общая важность проблемы подчеркнуты Р.Кубо: "? в противном случае вся термодинамика не могла бы быть справедливой." (/25/, стр. 209).
     Но опять же если тепловая машина может нормально работать в классическом мире, то все проблемы обязательно должны решаться и без привлечения квантовой механики. Так что запрет на возможность (модельного!) плавного изменения свойств частиц, похоже, не проходит.
     В заключение обратим внимание на то, что парадокс Гиббса второго рода автоматически порождается указанным выше разрешением парадокса первого рода, использующим деление числа состояний на число перестановок одинаковых частиц. Это углубляет сомнения в верности первоначального решения и чистоте всего подхода. 

ГЛАВА 2
РАЗРЕШЕНИЯ. КОНТРОЛЬ НАД СИСТЕМОЙ КАК ФАКТОР СВЯЗИ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ И МИКРОСКОПИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 
§ 1. Контроль над системой и энтропия

1. ТЕПЛОВАЯ МАШИНА И НЕОБРАТИМОСТЬ

     Чтобы попытаться разобраться с загадочной энтропией, которая согласно хорошо известным законам движения частиц должна сохраняться, но таинственным образом почти всегда стремится к максимуму, обратимся к первому и простейшему случаю, в котором заявила о себе энтропия - к работе тепловой машины.
     Энтропия всегда заслуженно вызывала угнетающее впечатление, так как помимо того, что она малопонятна, ее неуклонное возрастание ассоциируется с ухудшением качества системы, причем удручающе обидным: энергия в системе остается, но использовать ее оказывается невозможно. В тепловой машине это, как говорили прежде, обесценивание энергии связано с невозможностью в последующем использовать энергию, необходимым образом переданную холодильнику.
     Для анализа удобно рассмотреть машину со следующим порядком работы. Пусть на первом этапе рабочий газ в цилиндре тепловой машины нагревается от источника тепла (нагревателя) до температуры этого источника, после чего нагреватель отключается. Нагретый газ давит на стенки цилиндра и выталкивает поршень, совершая работу по преодолению его сопротивления. Эта работа - полезная, за счет нее можно, скажем, поднять груз. На этом этапе расширения температура газа в цилиндре понижается на величину, соответствующую расходу энергии на совершение работы.
     Если бы поршень можно было с пользой выдвигать до бесконечности, то всю энергию частиц газа можно было бы полностью превратить в работу. Однако по очевидным техническим причинам рабочий ход поршня ограничен, да, кроме того, и давление извне не равно нулю, поэтому для продолжения работы нужно его возвращать в исходное положение, чтобы повторить цикл расширения. Поэтому в подобных анализах речь всегда идет о циклических машинах.
     Итак, необходимо возвратить поршень на прежнее место. Рассмотрим процесс возвращения более подробно: сначала посмотрим, что о нем может сказать феноменологическая термодинамика, оперирующая такими параметрами (наблюдаемыми), как теплота, внутренняя энергия, температура, объем, давление, а затем выясним возможности механики, предположительно применимой для описания движения частиц газа.
     Если поршень просто вталкивать внутрь и только, то, согласно классической термодинамике, система, к сожалению, будет проходить состояния в переменных объем-давление строго в обратном порядке по сравнению с этапом расширения, так как в этой термодинамике при отсутствии передач тепла давление изменяется однозначно с изменением объема. Это приведет к тому, что на сжатие до исходного положения поршня затратится та же работа, которая была получена на этапе расширения. Заметим, что обратимость такого движения в термодинамике, разумеется, нисколько не противоречит обратимости механики, управляющей движением частиц газа. В результате такого сжатия по достижении исходного положения поршня и температура газа в цилиндре вместе с его тепловой энергией восстановятся, так что от всей процедуры не будет никакого проку.
     Чтобы на обратном пути затратить работу меньшую, чем получена при рабочем ходе, надо возвращаться при меньших давлениях, чем они были в соответствующих местах при расширении. Естественное средство для этого - перед сжатием сбросить часть тепловой энергии каким-то другим телам (холодильнику). Давление уменьшится, и работа на сжатие потребуется меньшей, чем получена при расширении. В дальнейшем снова подсоединяется нагреватель, и цикл повторяется.
     Тепловая машина для совершения работы использует давление газа, которое пропорционально температуре. Полезная работа, которая может быть получена, тем больше, чем больше разность давлений при прямом и обратном ходах поршня, т.е. тем больше, чем больше разность температур нагревателя и холодильника. Если нет тел, температура которых ниже температуры нагревателя, то использовать имеющуюся тепловую энергию оказывается, согласно термодинамике, невозможно. Соответственно, энергию единственного холодильника в дальнейшем нельзя использовать - необходима еще какая-то дополнительная масса с еще более низкой температурой.
     Поэтому полезная работа, которая может быть получена с помощью тепловой машины за счет имеющихся запасов тепловой энергии, определяется не только и даже не столько их количеством, сколько соотношением количеств тепла, находящихся при разных температурах, и величинами разностей температур. Если вся тепловая энергия сосредоточена в массах, имеющих одинаковую температуру, то тепловая машина не будет работать и полезная работа с помощью тепловой машины не может быть получена - имеющаяся энергия становится бесполезной. Если теперь учесть, что тепловая машина работает с обязательной и существенной передачей тепла от более горячих масс более холодным, в результате чего температуры различных областей вещества выравниваются, обнаруживается тенденция неуклонного движения к такому состоянию материи, в котором никакая тепловая машина не сможет работать.
     (Этот результат в прошлом веке был получен в более общем и широком плане: так как тепло и без машин самопроизвольно перетекает от более нагретых тел, охлаждая их, к менее нагретым, нагревая их, то остановка тепловых машин в конце концов неизбежна.)
     Итак, требуемая обычной феноменологической термодинамикой обратимость движения при отсутствии передач тепла приводит к необходимости необратимой передачи части тепла холодильнику. Во всяком случае ясно, что для появления этого эффекта никакой необратимости микромеханики не требуется - недоставало еще, чтобы обратимость процесса расширение-сжатие, а именно она заставляет прибегнуть к холодильнику для получения положительной работы за цикл, мы объясняли какой-то необратимой микромеханикой.
     С вопросом об адекватности обратимой механики мы здесь пока не согласовали один пункт: возможна ли вообще при такой механике передача тепла от нагревателя газу в цилиндре и от него - холодильнику. До этого пункта мы пока не дошли, но позже к нему вернемся, чтобы показать возможность обычной теплопередачи. Сейчас же вновь обратимся к самой необходимости холодильника.
     
2. НЕОБХОДИМОСТЬ ХОЛОДИЛЬНИКА И МЕХАНИКА
     
     Хотя, видимо, вышеприведенное объяснение необходимости холодильника и ее совместимость с обратимой механикой выглядят обоснованными, однако все же не следует думать, что необходимость холодильника вызывается непосредственно обратимостью микромеханики. Это должно чувствоваться хотя бы по тому, что, скажем, классическая обратимая механика - очень хорошая вещь, она должна давать возможность делать все, что не противоречит основным законам сохранения, в данном случае - закону сохранения энергии. Следовательно, должен вызывать недоумение факт невозможности использовать для работы всю кинетическую энергию частиц нагревателя. Оказывается, что в работе обычной тепловой машины и, соответственно, в порождении термодинамики, описывающей эту работу, замешан еще один момент, внешний, посторонний по отношению к механике.
     Равенство работы, полученной при расширении, работе, затраченной при сжатии, было бы всегда обязательным и неизбежным и являлось бы строгим следствием только и исключительно обратимости механики, ее же не прейдеши, если бы давление при заданном объеме было в действительности не зависящей от времени, постоянно действующей величиной, при заданной кинетической энергии частиц газа зависящей только от объема, каковой оно является (полагается) в термодинамической теории. Так было бы, например, при сжатии и растяжении безынерционной пружины, упругая сила которой зависит только от ее длины. Если бы сила, действующая на пор