" и "треугольник", "осень" и "обратная сторона Луны", "алмаз" и "паровозный гудок"; их отличительная черта состоит в том, что ни в их содержании, ни в их объеме нет общих элементов. Поэтому, зная что-то об одном из них, нельзя делать выводы о другом - отсутствие логических связей не позволяет проложить переход между ними. Следует, правда, помнить, что в целом ряде случаев и близкие по смыслу понятия не-сравнимые. Так, зная скорость, легко определить пройденное расстояние, а по цене можно опреде-лить прибыль. Однако для получения таких выводов понадобится к правилам и законам логики при-бавить законы других наук - в данном случае механики и экономики, - а также знание некоторых конкретных условий: времени движения и, соответственно, количества проданного товара. Без этого нельзя было бы умозаключать от скорости к пройденному пути и от цены к прибыли. Несравнимыми понятия становятся из-за отсутствия чисто логических связей и отношений, и сейчас речь идет толь-ко о них. Они обязательно имеются у сравнимых понятий, потому что у них есть общие элементы в объеме и (или) содержании. И делать умозаключения относительно их можно, опираясь на одни лишь формальные особенности, взятые из их определений. Мы уже не раз встречались с ними, на-пример, когда говорили о законе исключенного третьего. Если нам удалось доказать, что, допустим, примененное на полях удобрение не является органическим, то тогда мы в состоянии уверенно отне-сти его к числу минеральных.
Сравнимые понятия подразделяются на два вида - совместимые и несовместимые, а каждый из этих в свою очередь распадается еще на три разновидности. Начнем с понятий совместимых. К ним отно-сятся: равнозначные (тождественные), перекрещивающиеся (пересекающиеся) и подчиненные (су-бординированные) понятия.
Отношение равнозначности (тождества). Равнозначные понятия имеют одинаковый объем, но разное содержание; ими охватываются одни и те же предметы, но задаются эти предметы через разные при-знаки. Так, если мы сначала будем говорить о равносторонних треугольниках, а потом обратимся к равноугольным треугольникам, то ясно, что предмет обсуждения не изменится, просто мы будем его иначе называть. Графически равнозначность изображается в виде двух кругов, слившихся в один.
Отношение перекрещивания (пересечения). Перекрещивающиеся понятия имеют разное содержание, но объемы их частично совпадают и в то же время частично не совпадают. Понятия "домашнее жи-вотное" и "коза" именно таковы: с одной стороны, козы бывают не только домашними, и среди до-машних животных, с другой стороны, имеются не только козы. Название "перекрещивающиеся" объ-ясняется тем, что изображающие их круги частично накладываются; общий для обоих кругов сектор означает, что есть животные, которые входят в оба понятия, каковыми в нашем примере являются домашние козы.
Отношение подчинения (субординации). Понятия, находящиеся в отношении подчинения, имеют одинаковые элементы в содержании, а объем одного (подчиненного) полностью входит в объем дру-гого (подчиняющего). В принципе это то же самое, что и отношение ограничения (обобщения), но только здесь рассматривается обычно не более двух понятий. В теории определения подчиняющее понятие называют также родовым или родом, подчиненное - видовым или видом, а признак, по кото-рому вид выделяется из рода, - видообразующим. В качестве примера назовем "инструмент" и "мо-лоток". При графическом изображении видовое понятие помещается внутри родового.
К несовместимым понятиям относятся противоречащие (контрадикторные) противоположные (кон-трарные) и соподчиненные (координированные) понятия. В содержании таких понятий имеются от-дельные общие признаки, но они соединяются в каждом из них так, что делают соответствующие понятия взаимоисключающими.
Отношение противоречия (контрадикторности). В разделе о законах логики уже говорилось об от-ношении противоречия и противоположности между высказываниями. Такие отношения возможны и между понятиями. Противоречащими называются понятия, когда у одного из них имеется тот или иной признак, а у другого он отрицается (признак вообще-то отмечается в содержании того и друго-го, но по-разному). Например, "белый" - "небелый", "добрый" - "недобрый". Для них характерно, что они делят весь массив родственных предметов и явлений строго на две части: на тех, что обладают данным признаком, и тех, которые его не имеют; ничего промежуточного между ними, как легко до-гадаться, не бывает. Именно поэтому их отношения регулируются законом исключенного третьего (см. раздел об основных законах логики). Круговые схемы для несовместимых понятий требуют изображать родовое понятие (хотя оно может не быть даже упомянуто). В нашем примере такой круг обозначает цвет (поступок) вообще, а каждой из половинок соответствует одно из противоречащих понятий. Само собой, очевидно, что разделение круга пополам не означает, будто число белых и небелых вещей в природе одинаково. Такая количественная характеристика вообще не по-лучает выражения при использовании кругов Эйлера. Ими отмечается только, что противоречащих понятий всего два и нет иных.
Отношение противоположности (контрарности). Противоположные понятия являются видами одно-го и того же рода, но одно из них обладает каким-то признаком, а другое не только не обладает им, но и имеет сверх того еще и признак, несовместимый с данным, направленный против него. Таковы "белое" и "черное", "добро" и "зло". Предметов, явлений или поступков, относимых одновременно к тому и другому, не бывает. Однако в отличие от отношения противоречия могут быть такие объекты, которые не входят ни туда и ни сюда. Если общее родовое понятие означает цвет вообще, то тогда в отображающем его круге выделяются два сектора; они расположены друг против друга и соответст-вуют понятиям белого и черного, оставшийся промежуток отображает все остальные цвета.
Отношение соподчинения (координации). Соподчиненные понятия имеют в содержании общие эле-менты, благодаря которым все вместе входят в родовое понятие, но общих элементов в их объемах нет. Скажем, дуб, ель, береза - разновидности дерева, изображающие их круги должны помещаться внутри круга, изображающего объем понятия "дерево", но они ни в коем случае не могут пересекать-ся, потому что не существует деревьев, которые были бы и дубом, и елью, и березой одновременно (см. рис. 2). В графическом изображении соподчинения есть некоторое сходство с противоположно-стью. Так, "утро" и "вечер" противоположны, но их можно рассматривать и в качестве соподчинен-ных, охватываемых наряду с "днем" и "ночью" родовым для них понятием "время суток". Все они могут быть изображены четырьмя кругами, внесенными в один общий, и это будет правильно. Одна-ко в этом случае не получит выражения наличие у них попарной противоположности. Конечно, когда от нее можно отвлечься, то прибегать к такому изображению противоположных понятий не будет ошибкой. Если же пренебрегать ею при анализе мысли нельзя, то тогда надо брать круговые схемы для противоположных понятий. Правда, и в этом случае выигрыш в одном отношении обернется уп-рощением с другой точки зрения: средний участок между противоположными секторами будет пред-ставлять множество (возможно несовместимых, соподчиненных) понятий (в нашем примере "день" и "ночь" станут неразличимыми).
Вообще, используя круговые схемы, следует помнить: содержательная характеристика понятий при этом способе придавать наглядность отношениям понятий получает очень слабое выражение. Круги Эйлера удобны для изображения соотношений по объему. Несмотря на внешнюю простоту и неза-тейливость, при анализе сложных и запутанных высказываний, они оказываются порой просто неза-менимыми. Да и уяснение теоретических вопросов в самой логике существенно упрощается.

§8. Определение понятий
В научной литературе определение иногда называют также дефиницией. Определение предназначено для того, чтобы сформулировать в явном виде и зафиксировать содержание понятия, назвать те при-знаки или свойства предмета, которые станут объектом внимания в рассуждении и как бы заменят на время сам предмет. Ведь вообще все признаки любой вещи нельзя даже перечислить, не говоря уже о том, чтобы внести их все в определение. Не всегда предмет обсуждения задается в отчетливой фор-ме. Иногда предполагается, что читатель или собеседник в состоянии сам догадаться, какие черты и особенности обсуждаемых явлений затронуты при рассмотрении. Правда, история науки знает не-счетное множество примеров того, как обманчива бывает такая самоочевидность. Порой многие по-коления ученых, введенные ею в заблуждение, либо бесплодно ищут там, где ничего нет, либо, на-оборот, долго не замечают того, что лежит перед глазами.
Наверное, самый поучительный в этом отношении урок доставили многовековые стремления мате-матиков доказать постулат о параллельных, закончившиеся созданием неевклидовых геометрий. Уже после того, как была позади долгая стадия поисков и сомнений, и предстояло осмысливать достигну-тые необычные результаты, неожиданно обнаружилось, что в доказательствах не было самого глав-ного - определения того, о чем шла речь в первую очередь, то есть определения прямой линии. И по-скольку это так, в него автоматически превратились аксиомы, на которые опиралось доказательство: 1) между двумя точками можно провести прямую линию и притом только одну, 2) прямая - кратчай-шее расстояние между точками. Все причудливые построения, допускающие несколько параллель-ных прямых, проходящих через одну и ту же точку (пространство Лобачевского), или, наоборот, не допускающие ни одной (пространство Римана), в логическом отношении совершенно безупречны, но они, оказывается, относятся не к прямой в обычном смысле этого слова, а к кратчайшей линии меж-ду двумя точками, которую можно провести между ними только одну. Иными словами, неевклидовы геометрии говорят о пространствах, в которых линии обладают только этими двумя свойствами и не имеют больше никаких иных. Очистить наши представления о линиях от наслоений чувственного опыта и провести строгую дедукцию с такими искусственно созданными понятиями могли лишь ге-ниальные математические умы, настоящие титаны мысли. Однако в дальнейшем обнаружилось, что полученные результаты имеют простое наглядное представление. Линии, удовлетворяющие только названным выше аксиомам, скажем, на шаре представляют собой всем известные меридианы, и сре-ди них действительно нет и не может быть таких, которые не пересекаются (нет параллельных, как этого и требует геометрия Римана). А на так называемой псевдосфере такие же линии могут, наобо-рот, не пересекаться вообще (у каждой есть много параллельных - геометрия Лобачевского).
Неевклидовы геометрии - не единственный случай, когда побочный результат научных поисков стал главным достижением. Но факт остается фактом: появились они из-за того, что не было и нет опре-деления прямой и точки. Более того, такие определения невозможно сформулировать, так как не су-ществует ничего более простого, чем они.
Разумеется, далеко не всегда отсутствие определения может столь радикально обогатить наши при-вычные представления. Гораздо чаще нежелание обстоятельно продумать и сформулировать точную дефиницию порождает бестолковое топтание на месте. Во избежание недоразумений, для достиже-ния точности и полной ясности в рассуждениях, выводах, доказательствах, при анализе высказыва-ний и тем более в спорах определения совершенно необходимы. Они вообще представляют собой один из атрибутов научного знания. Нельзя было бы создать ни одной теории без строго определен-ных понятий и категорий. Ими обязательно пользуется каждая наука. Однако теория самого опреде-ления разрабатывается только в логике. В ней формулируются правила определения понятий и ука-зываются возможные ошибки, когда эти правила не соблюдаются. Кроме того, логика выявляет виды определения и тех приемов, которые могут его заменить, когда строгая формулировка затруднитель-на или вообще невозможна.
Наиболее совершенным является определение через ближайший род и видовое отличие. При его формулировании сначала указывается понятие более широкое (род), чем то, которое надо определить (вид), затем называют отличительный признак (видовое отличие), с помощью которого определяе-мый вид предметов выделяется среди других, входящих в тот же род. Например, если мы определим столицу как город, в котором находятся правительственные учреждения страны, то тогда родом для "столицы" будет "город", а видовым отличием, то есть признаком, по которому главный город в го-сударстве можно отличить от остальных городов, будет служить то обстоятельство, что он является местом пребывания правительственных органов управления страной.
В определениях через ближайший род и видовое отличие очень четко задаются соотношения поня-тий по объему. Благодаря этому с ними легче всего совершать логические операции и процедуры. Вообще всякая наука стремится к тому, чтобы скомпоновать всю совокупность своих понятий в еди-ную систему, составленную из нескольких последовательно нисходящих родовидовых ярусов: самые фундаментальные понятия разветвляются на некоторое число видов, те в свою очередь дробятся на подвиды и так далее. Обычно это удается достигнуть в более или менее полной форме в относитель-но законченных разделах научного знания, когда выявлены существенные необходимые связи, про-низывающие всю толщу изучаемых явлений, процессов, а также взаимодействий и взаимовлияний между ними, в которых они участвуют. В этом случае каждое из изучаемых данной наукой явлений вписано в общую картину в качестве всесторонне изученного фрагмента, становится понятным и прогнозируемым: известны факторы, под влиянием которых оно преобразуется, и одновременно точно установлены и легко прослеживаются следствия, которые вызывает само данное явление.
Близким по удобству использования к предыдущему является генетическое определение. В нем ука-зывается способ создания или путь возникновения того или иного явления. Иногда заданные таким образом черты и особенности могут служить видообразующими признаками, и тогда создается та же самая родовидовая дефиниция. Например, оксиды в химии определяют как сложные вещества, воз-никающие в результате соединения атомов кислорода с атомами другого вещества. О возникновении здесь хотя и говорится, но указание на него не имеет принципиального характера с точки зрения ло-гической теории определения: в нем все равно задается более широкое понятие сложного химическо-го вещества и отмечается видообразующий признак - соединение атомов кислорода с другими ато-мами, по которому оксиды могут быть отличены от остальных сложных химических веществ. Выде-ляемые таким способом вещества существуют не только в процессе возникновения, и их определе-ния при желании можно дать без упоминания процесса возникновения, просто отметить наличие то-го и другого атома в составе оксида и все.
О чисто генетических определениях, строго говоря, можно вести речь лишь применительно к про-цессам или же к таким их результатам, которые как бы сохраняют в себе свою прошлую историю. Так лавой в геологии называют огненно-жидкий поток расплавленных горных пород, изливающихся из глубинных зон Земли во время вулканических извержений. Формально выражаясь, можно, конеч-но, и здесь найти базовое родовое понятие - расплавленные глубинные горные породы. Но лава не отделяется под землей от остального расплава; она становится таковой в момент выхода на поверх-ность и перестает ею быть после того, как остынет и окаменеет.
Наш мир, как известно, наполнен процессами. Одни из них скоротечны, как, например, шаровая молния или набухающая почка. Другие протекают медленно. Указание на происхождение может иметь немаловажное познавательное значение и для не изменяющихся объектов тоже. Это бывает тогда, когда прошлые этапы сказались на существующих свойствах, и определяют облик носящих эти свойства явлений. К примеру, в ряде языков имеются так называемые субстантивированные при-лагательные - существительные, возникшие из прилагательных, - "столовая", "парикмахерская", "портной" и множество других. Хотя ими обозначают предметы, а не свойства, и с этой точки зрения они относятся к существительным, оставаясь к тому же неизменными в качестве таковых, тем не ме-нее, их происхождение запечатлелось на их грамматических особенностях, они по-прежнему подчи-няются правилам для прилагательных. Поэтому выделение таких слов в особую грамматическую ка-тегорию через указание на их генезис оправдано и характеризует их с существенной стороны. Вооб-ще этимология слова, обозначающего понятие, всегда является полезной дополнительной информа-цией к определениям и широко используется далеко за пределами языкознания.
В целом ряде случаев, как уже говорилось ранее, нет необходимости и не требуется строго задавать анализируемые явления. Иногда достаточно всего лишь надежно отделить их от всего остального, обозначив тем или иным способом какие-либо неотъемлемые признаки, чтобы исключить путаницу с другими явлениями. Тогда используют так называемые приемы, сходные с определением. Среди та-ковых можно выделить контекстуальные и остенсивные определения, объяснения, характеристики, описания.
При контекстуальном задании не дается специально сформулированной дефиниции, но из сообще-ния, сделанного письменно или устно, все равно ясно, что подлежит обсуждению. Так, описывая по-ведение того или иного человека в стрессовой ситуации, тем самым попутно задают и склад его ха-рактера, и особенности психики. Собирать такие, разбросанные, может быть, по тексту характери-стики и делать из них выводы вполне допустимо и делается это часто. Только надо помнить, что фрагментарное изложение, не продуманное специально в отношении деталей, все-таки чревато не-точностями и искажениями. Поэтому безупречные с логической точки зрения выводы, полученные на основе таких определений, могут оказаться ошибочными из-за шаткой почвы, на которой они по-коятся.
Иногда удобно пользоваться так называемыми остенсивными определениями. В этом случае вместо выявления существенных признаков определяемого явления указывают на само явление как на обра-зец. Многие, наверное, знают, как иногда объясняют слово "сенсация" - когда человек покусал соба-ку, а не собака человека. Поначалу остенсивным определением назывался прием, к которому вынуж-дены прибегать люди, говорящие на разных языках. Не понимая слов, они используют жестикуля-цию, показывая руками на предметы и одновременно называя их. 
Есть много вещей, которые невозможно определить. Так, часто говорят, что нет возможности дать строгое определение произведению искусства. И действительно, никто не в состоянии указать фор-мальные признаки, по которым любой мог бы уверенно сказать, является ли данное произведение подлинным шедевром или его надо считать посредственным. Юристы порой сталкиваются с ситуа-цией, когда надо точно определить, что такое порнография, но из попыток дать дефиницию ничего не получается. Надо сказать, в искусствознании вообще довольно часто образец произведения како-го-либо рода нельзя заменить его определением. Но и в науке такие обстоятельства тоже могут иметь место. В философско-методологической литературе иногда используют понятие "парадигма". Ему давали много разных определений. По своему смысловому значению оно близко к тому, что назы-вают остенсивным определением. Этот термин встречается уже у Аристотеля. Он называет парадиг-мой обобщения, делаемые на основе только одного, но очень, так сказать, яркого в своем роде явле-ния. В настоящее время под парадигмой имеют в виду такое единичное явление, которое концентри-рует в себе родовые признаки, тем самым рельефно высвечивая в единичном общее. Оно становится как бы шаблоном или моделью, по которой можно судить об остальных представителях того же класса явлений, процессов, действий.
Одним из приемов, сходных с определением, является объяснение. Оно может не столько заменять определение того или иного явления, сколько дополнять его или делать его понятным. Это достига-ется за счет того, что незнакомые широкой публике термины выражают через другие, известные всем. Возьмем термин "г