сное не может ни касаться чего-нибудь, ни быть предметом касания [19], границы тоже не будут касаться друг друга. А если они не касаются, то не будет и одно ограниченное касаться другого. Поэтому если даже мы и согласимся, что линия есть длина без ширины, то приводит к апории рассуждение о поверхности. Если же это приходит к апории, то даже без нашего изложения придет к апории и твердое тело, поскольку оно составляется из этого.

159

Будем рассматривать еще и так. Если, как утверждают геометры, тело есть то, что обладает тремя измерениями (длиной, шириной и глубиной), то тело или отделимо от этого так, что тело это - одно, а длина, ширина и глубина тела - другое, или же тело есть сочетание этих [измерений]. Однако невероятно, чтобы тело отделялось от этого, поскольку, где не имеется ни длины, ни ширины, ни глубины, там нельзя помыслить и тела. Если же в качестве тела мыслится сочетание этих [моментов измерений] и кроме этого нет ничего другого, то по необходимости, если каждое из этих [измерений] бестелесно, должно стать бестелесным и общее объединение бестелесного. Именно, подобно тому как соединение точек и объединение прямых, которые по природе бестелесны, не создает твердого и сопротивляющегося тела, точно так же и стечение ширины, длины и глубины, будучи бестелесным, не сможет образовать твердого и сопротивляющегося тела. Если же тело и не существует вне этого и не есть самые эти [измерения], то тело, поскольку оно рассматривается геометрами, становится немыслимым.

Кроме того, если объединение длины, ширины и глубины образует тело, то каждое из этих [измерений] или еще до этого соединения мыслится в качестве содержащего в себе самом эту телесность и эти как бы телесные моменты, или же тело [только еще] образуется после их стечения. И если каждое из этих [измерений] еще до данного объединения мыслится в качестве содержащего в себе рассматриваемую телесность, то каждое из них будет телом [само по себе], а не станет им после их объединения. Затем, поскольку тело не является ни длиной просто, ни шириной, взятой в отдельности, ни самостоятельной глубиной, но является всеми этими тремя: и длиной, и шириной, и глубиной - и каждое из этих [измерений] содержит в себе телесность, то каждое из них должно будет обладать всеми тремя [измерениями], т.е. длина окажется не просто длиной, но и шириной, и глубиной, и ширина окажется не просто шириной, но и длиной, и глубиной, и глубина одина-

160

ково будет и длиной, и шириной. Это, однако, в полном смысле слова безрассуднее всего. Если же тело мыслится в своем составе только после стечения этих [измерений], то после их стечения или остается первоначальная природа длины как длины, ширины как ширины и глубины как глубины, или же она изменилась в сторону телесности [20]. Если эта их первоначальная природа остается, то, поскольку они бестелесны, она не сможет создать отличного от этого тела, но и после своего объединения они останутся бестелесными, поскольку они по природе бестелесны. Если же после схождения они изменяются в сторону телесности, то, поскольку способное к изменению тем самым уже есть тело, каждое из этих [измерений] будет телом еще до соединения в тождественном, а кроме того, еще и бестелесное станет телом. Далее, подобно тому как изменяющееся тело получает одно качество вместо другого, но тем не менее остается телом, как, например, белое - чтобы стать черным, сладкое - чтобы стать горьким, вино - чтобы стать уксусом, свинец - чтобы стать белилами, и медь - чтобы стать ржавчиной, но остаются телом и черное, когда оно из 90 белого стало черным, и горькое, когда из сладкого оно стало горьким, и уксус, когда из вина он стал уксусом, точно так же и эти [измерения], когда они превращаются в тела, должны становиться вместо одних тел другими, но тем не менее оставаться телами же, поскольку они не выходят [тут] за пределы собственной природы.

Следовательно, если нельзя помыслить тела ни до схождения этих [измерений], ни после их схождения, а кроме того, нельзя придумать ничего другого, то тела [просто] не существует. К тому же если не существует ни длины, ни ширины, ни глубины, то не будет и мыслимого по причастности им тела. Но действительно не существует ни длины, ни ширины, ни глубины, как мы доказали предыдущими рассуждениями [21]. Следовательно, не будет и тела, понимаемого как нечто причастное этим измерениям.












[7. ПРЯМАЯ]

Таким образом, начала геометрии оказываются лишенными всякой реальной основы. Но с их устранением не может существовать никакое другое геометрическое положение. Действительно, каково бы ни было это последнее, оно должно быть доказано на линиях [черте-

161

жей]. А мы показали [22], что никакой линии как родового понятия не существует. Из этого следует, что не существует и никакой линии в качестве вида, будет ли кто-нибудь предполагать ее в виде прямой, ломаной или имеющей какой-нибудь другой вид. Отсюда на этом, пожалуй, можно было бы и закончить наше возражение против геометров. Однако же, вступая снова в борьбу, мы попробуем показать, что, даже если мы оставим в стороне эти принципы геометрии, все равно геометры не могут ни составить, ни доказать никакой теоремы.

Однако и прежде того относительно их основных принципов можно сказать еще немало, как, например, относительно их положения, что прямая есть линия, одинаково расположенная всеми своими частями [23]. Действительно, если пройти мимо прочего, ясно [уже] то, что если не существует линии как рода, то не может существовать и прямой линии. Ведь подобно тому как при отсутствии живого существа не существует и человека, а при отсутствии человека не существует и Сократа, точно так же с устранением родовой линии должна устраниться и плоская прямая линия. Затем, и "одинаковое" высказывается в двух смыслах. В одном смысле оно есть то, что обладает одинаковой величиной, и не превосходит то, в отношении чего оно зовется одинаковым, не превосходится им, как, например, мы говорим, что палка длиной в один локоть одинакова с палкой в один локоть. В другом смысле это есть то, что обладает одинаково расположенными частями, т.е. равномерное. Так, например, мы называем почву ровной, вместо того чтобы назвать ее равномерной. Итак, если об одинаковом говорится в двух смыслах, то, когда геометры в целях определения прямой линии говорят: "Прямая линия есть та, которая одинаково расположена своими частями", - они пользуются "одинаковым" или в первом значении, или во втором. Но если в первом, то они поступают совершенно безрассудно, поскольку нет никакого смысла в том, чтобы прямая линия имела одинаковые величины своих частей и не превосходила их, и не была превосходима ими. Если же во втором смысле, то они должны будут вести доказательство при помощи того, что [только еще] исследуется, потому что существование прямой они устанавливают на основании того, что она имеет свои части расположенными равномерно и по прямой, а то, что нечто лежит на прямой, нельзя узнать без использования [уже готовой] прямой.

162

Еще нелепее рассуждают "те, кто дает такое определение: "Прямая линия есть та, которая одинаково обращается в своих собственных пределах" или такое: "...которая, обращаясь в своих собственных пределах, всеми своими частями касается плоскости". Во-первых, и эти определения подпадают под высказанные нами раньше апории. Затем, как это говорят и эпикурейцы [24], хотя прямая в пустоте есть прямая, по, однако, она здесь не вращается, потому что сама пустота не допускает движения ни цельного, ни по частям; что же касается второго определения, то оно, кроме того, впадает и во взаимодоказуемость [25]. А это дурнее всего. Именно, плоскость они определяют при помощи прямой, а прямую - при помощи плоскости, поскольку прямой является, по их мнению, та, которая касается всеми своими частями плоскости, а плоскость есть то, чего касается всеми своими частями проводимая прямая, так что для определения прямой надо сначала узнать плоскость, а чтобы узнать эту последнюю, необходимо предварительно знать прямую. Это - нелепо. И вообще тот, кто определяет прямую через плоскость, делает не что иное, как устанавливает прямую при помощи прямой же, поскольку, по их мнению, плоскость есть просто множество прямых.










[3. УГОЛ И КРУГ]

Но каково рассуждение относительно прямой, таковым же оно должно быть и относительно угла. Именно, опять-таки, когда они в целях определения утверждают, что угол есть "то наименьшее, что получается при взаимном наклонении двух прямых, не параллельных между собой" [26], то под "наименьшим" они понимают или лишенное частей тело, или то, что у них называется точкой. Однако лишенного частей тела они не могут иметь в виду, поскольку это последнее не может делиться даже па две части, в то время как угол, по их мнению, делится до бесконечности. И иначе: из углов один, по их мнению, больше, другой же - меньше. Но нет ничего меньше наименьшего тела, поскольку наименьшим является это последнее, а не [что-нибудь другое]. Следовательно, остается иметь в виду то, что они называют г точкой. А это и само относится к области апории.

163

Действительно, если точка, во всяком случае, везде является лишенной всяких промежутков, то угол не может быть подвергнут делению. Кроме того, угол не может быть больше или меньше, поскольку в том, что не обладает никаким размером, не может существовать и никакого различия по величине. И иначе: если точка попадает между прямыми, то она разделяет прямые; а то, что производит разделение, не может быть лишенным промежутков.

Но нет, некоторые из них имеют еще обыкновение называть углом "первое расстояние при наклонении [прямых]". Против них

Простое слово истины имеется [27].


А именно: указанное расстояние или не содержит в себе частей, или оно делимо. Но если оно не содержит в себе частей, то у них последуют выше высказанные апории. Если же оно делимо, то ни одно из разделенных не будет первым, поскольку, какую бы часть ни предположить первой, всегда можно найти другую, еще более первую вследствие признаваемого ими же самими деления [всего] существующего до бесконечности.

Я уж не говорю, что подобное определение углов противоречит их другому научному пониманию у геометров. Именно, производя разделение, они утверждают, что из углов один является прямым, другой - тупым, третий - острым, причем среди тупых углов одни являются более тупыми, чем другие, и то же самое среди острых углов. Но если мы скажем, что углом является наименьшее расстояние при наклонении [прямых], то подобное различие углов не сохранится, поскольку они и превосходят друг друга и друг другом превосходятся. Или же, если они сохраняются, то уничтожится сам угол, поскольку он [в данном случае] не обладает устойчивой мерой, при помощи которой его можно было бы распознать.

Итак, вот что нужно сказать против них по поводу прямой линии и угла. Когда же с целью определения круга они говорят [28]: "круг есть плоская фигура, ограниченная одной линией, когда проведенные до нее от центра прямые равны между собой", - то это пустой разговор, поскольку если устранены и точка, и линия, и прямая, и также плоскость и угол, то не может быть мыслим и круг.

164











[9. ОПЕРАЦИИ С ПРЯМОЙ]

Однако чтобы не показаться какими-то софистами и не тратить все содержание возражений на одни только геометрические принципы, давайте перейдем к дальнейшему и, как мы обещали раньше [29], рассмотрим теоремы, следующие у них за принципами.

Например, говоря о разделении данной линии на две части [30], они говорят о разделении или той линии, которая дана на доске, или той, которая мыслится на основании перехода от этой. Однако они не могут говорить о разделении линии, данной на доске, поскольку эта линия является имеющей чувственную длину и ширину, а та прямая линия, о которой говорят они, есть длина без ширины, так что, не будучи, по их мнению, линией на доске, она не может быть и разделена на две части как линия. Но не может быть разделена и линия, которая мыслится по переходу от этой [линии на доске]. Действительно, пусть, например, будет дана линия, состоящая из девяти точек, причем от каждого конца будет считаться четыре и четыре точки, а одна из них будет находиться между двумя четверками [точек] [31]. Если при этих условиях целая линия делится на две [равные] части, то делящее попадает либо между этой пятой точкой и другой четверкой точек, либо на самую эту пятую точку так, что разделит ее [пополам]. Однако было бы неразумным считать, что делящее проходит между упомянутой пятой точкой и одной из четверок [точек], поскольку результаты деления оказались бы неравными и один из [отрезков] состоял бы из четырех точек, а другой из пяти. Но было бы еще гораздо неразумнее этого думать, что сама точка делится пополам, потому что [тогда] у них уже не оставалось бы точки, лишенной всякого размера, раз она делится пополам делящим.

То же самое рассуждение [получается] и тогда, когда они говорят о делении круга на равные части [32]. Действительно, если круг делится на равные части, то, поскольку он обязательно содержит посередине себя центр, который как раз является точкой, этот центр должен быть приписан к одной из половин [круга] или должен будет сам делиться пополам. Однако отнесение центра круга к той или иной из его половин делает деление пополам неравным; а если и сам он делится пополам, то это противоречит тому, что точка лишена промежутков и частей.

165

Далее, делящее линию или есть тело, или оно бестелесно. Но оно не может быть ни телом, поскольку [тело] не могло бы разделить нечто лишенное частей и бестелесное, с чем невозможно столкнуться, ни бестелесным. Ведь если это бестелесное есть опять-таки точка, то оно не может производить деления, поскольку не имеет частей и делит опять-таки не имеющее частей; если же оно есть линия, то в свою очередь, раз оно должно делить своими собственными границами, а ее границы лишены частей, оно опять не производит никакого деления.

И иначе: та граница, которая производит деление, делит линию на две части, или попадая в середину между двумя точками, или оказываясь в середине самой точки. Однако невозможно, чтобы она оказывалась в середине точки, потому что, как мы сказали выше [33], [в данном случае] было бы необходимым, чтобы точка вообще оказывалась делимой и уже не лишенной размеров. Но еще неразумнее было бы думать, что она оказывается посередине двух точек. Во-первых, никакая граница не может падать в середине того, что непрерывно. Во-вторых, если даже допустить возможность этого, то она должна была бы раздвинуть то, посередине чего она поместилась бы, если оно действительно непрерывно. Однако оно не способно двигаться. Следовательно, и рассуждение относительно того, что производит деление, тоже ведет к апории.

Впрочем, пусть даже мы согласимся с ними в том, что отнятие производится от чувственных прямых. Все равно и в этом случае у них ничего не получится. Действительно, отнятие может происходить или от всей прямой, или от ее части; и то, что отнимается, будет отнимаемым или в качестве равного от равного, или в качестве неравного от неравного, или наоборот. Но, как мы установили в рассуждении против грамматиков [34] и против физиков [35], ничто из этого не может быть проведено беспрепятственно. Следовательно, для геометров невозможно что-нибудь отнимать от прямой или ее делить.











КНИГА IV
ПРОТИВ АРИФМЕТИКОВ

Так как из количества одно содержится в области непрерывных тел (оно, как известно, называется величиной, и им занимается главным образом геометрия), другое же содержится в области тел прерывных - это есть число, и относительно него возникает арифметика, - то, переходя от геометрических принципов и теорем к дальнейшему, мы подвергнем рассмотрению и то, что относится к числу. Ведь с устранением этого последнего не сможет возникнуть и относящаяся к нему наука.









[1. ПИФАГОРЕЙСКОЕ УЧЕНИЕ О ЕДИНИЦЕ]

Вообще ученые-пифагорейцы придают большое значение числу, поскольку в соответствии с этим последним строится природа целого. Поэтому они и восклицали всегда: "Числу же все подобно..." [1], - употребляя клятву не только числом, но и Пифагором (который объяснил его им) как богом вследствие заключающейся в арифметике силы. Они говорили:

Тем поклянемся, кто нашей душе передал четверицу, -
Вечно текущей природы имущую корень неточный [2].


Четверицей у них называется число десять, которое з является суммой первых четырех чисел, потому что один да два, да три, да четыре есть десять. Это число является самым совершенным, потому что, приходя к нему, мы снова возвращаемся к единице и начинаем счет сначала. "Вечно текущей природы имущей корень неточный" они назвали ее потому, что, по их мнению, в ней залегает смысл совокупности всего, как, например, и тела, и души. В виде примера достаточно будет указать на последующее.

167

Монада, [единица], является некоторым принципом, образующим составление прочих чисел. Двоица же образует длину. В самом деле, как на геометрических принципах мы показали [3], что сначала существует некая точка, а затем, после нее, линия, которая есть длина без ширины, точно так же теперь единица обладает смыслом точки, двоица же - смыслом линии и длины: ведь ее мысленное построение включает движение от одного места к другому, а это и есть длина. Троица же соответствует ширине и поверхности, потому что здесь мысль движется от одной точки к другой, а затем еще раз так же - в другом направлении, и с присоединением измерения в ширину к измерению в длину возникает понятие поверхности. Но если мысленно прибавить к троице четвертую единицу, т.е. четвертую точку, то возникает пирамида, твердое тело и фигура, потому что она обладает длиной, шириной и глубиной. Поэтому в числе "четыре" обнимается смысл тела.

Но также и души, потому что, говорят они, подобно тому как гармонией управляется весь мир, точно так же одушевляется и живое существо.

Далее, как известно, совершенная гармония получает свое существование в трех созвучиях [4]: в кварте, квинте и октаве. Созвучие кварты выражается отношением четырех к трем, созвучие квинты - отношением полуторным и созвучие октавы - двойным. Числом "четыре трети" называется число, состоящее из некоего целого числа и его третьей части, в каковом отношении находится восемь к шести (потому что оно содержит само шесть и его третью часть, т.е. двойку). Полуторным [число] называется тогда, когда оно охватывает одно число и его половину, в каковом отношении находится девять к шести (потому что оно состоит из шести и из его половины, т.е. из трех). Наконец, двойным называется такое, которое равно двум числам, в каковом отношении четыре находится к двум (потому что оно одно и то же число заключает дважды).

Однако если это так и, согласно первоначальному предположению, имеется четыре числа (один, два, три и четыре), в которых, как мы сказали, гармонически охватывается также и идея души, то четыре в отношении двух и два в отношении единицы являются двойными, в чем и содержится созвучие октавы; три же является полуторным в отношении двух (поскольку оно обнимает два и половину этого, откуда оно полагает основание для созвучия квинты), четыре же составляет четыре трети в отношении трех, откуда в нем содержится созвучие кварты. Следовательно, не без основания сказано у пифагорейцев, что число "четыре" есть то, что обладает "вечно текущей природы... корнем неточным".

168

Из этого изложения при помощи примеров становится ясным, что они придавали числам огромное значение. Действительно, у них имеются многочисленные рассуждения о числах. Однако мы не будем сейчас распространяться об этом и примемся за возражения, положивши начало нашим рассуждениям в единице, которая является началом всякого числа и с устранением которой перестает существовать и [само] число.












[2. КРИТИКА ПИФАГОРЕЙСКОГО УЧЕНИЯ О ЕДИНИЦЕ]

Итак, рисуя нам понятие единого, Платон говорит в пифагорейском духе [5]: "Единое есть то, без чего ничто не называется единым", или "то, по причастности к чему каждая вещь назыв