е содержит частей, является точкой, а не линией. Если же [точка протягивается] по делимому [месту], то, поскольку делимое обязательно имеет части (раз оно протягивается по всему данному месту), а то, что имеет части, благодаря которым оно протягивается по частям данного места, есть тело, отсюда точка должна быть делимой и телом. А это нелепо. Поэтому линия не есть одна точка.

Однако она не есть и множество точек, расположенных в виде ряда. Действительно, эти точки мыслятся или взаимно соприкасающимися, или несоприкасающимися. И если они взаимно не соприкасаются, то, содержа в себе промежутки, она разделится на некоторые отрезки, а то, что разделяется на отрезки, уже не может создать единую

150

линию. Если же их мыслить взаимно соприкасающимися, то или все они будут касаться друг друга целиком, или же [каждая] своей частью - части [другой]. И если они будут касаться своими частями частей же, то они уже не будут лишены промежутков и не будут лишены частей. Ведь точка, которая мыслится, например, между двумя точками, одной своей частью будет касаться предыдущей точки, а другой своей частью - последующей, да и плоскости - тоже иной какой-то частью, а еще каких-либо мест - иными, так что в действительности она уже не будет лишенной частей, но будет обладать многими частями. Если же точки будут касаться друг друга целиком, то ясно, что точки будут содержаться внутри точек и будут занимать то же самое место. А в силу этого они уже не будут лежать в виде ряда, чтобы получалась линия, но раз они занимают одно и то же место, получится одна точка. Поэтому если, чтобы мыслить линию, нужно прежде помыслить точку, в понятии которой заключена линия, но показано, что линия не есть точка и не состоит из точек, то значит, ее и не будет.

Более того, оставив в покое понятие точки, можно и прямо устранить линию и показать ее немыслимость.

Действительно, линия, как можно слышать от самих геометров, есть длина без ширины. Подвергнувши это точному рассмотрению, мы найдем, что ни в мыслимом, ни в чувственном нельзя допустить никакой длины без ширины. И в чувственном потому, что, какую бы чувственную длину мы ни взяли, мы везде и обязательно возьмем ее вместе с определенной шириной. В мыслимом же потому, что мы можем мыслить одну длину более узкой, чем другая, и когда, сохраняя одну и ту же длину одинаковой, мы будем делить в мысли ее ширину и будем делать то же самое до известного момента, то мы должны будем мыслить, что ширина становится все меньше и меньше, а когда представим себе, что длина совсем лишилась ширины, то мы не сможем представить себе уже и длины, но исчезнет и само понятие длины.

И вообще, все мыслимое мыслится двумя первыми способами: или как очевидное впечатление, или в результате перехода от очевидного; и это последнее - трояко: по уподоблению, по соединению [разнородных впечатлений] и по аналогии [10]. В результате фактической очевидности мыслится белое, черное, сладкое и горькое. В результате перехода от очевидного мыслится: уподо-

151

бительно, например, по изображению Сократа сам Сократ; соединительно, например, по лошади и человеку гиппокентавр (потому что путем смешения лошадиных и человеческих черт мы представляем себе не человека и не лошадь, но составленного из них обоих гиппокентавра). Аналогистически же нечто мыслится опять двумя способами: либо увеличительно, либо уменьшительно. Например, если иметь в виду людей вообще, "тех, что смертные ныне", то увеличительно мы мыслим киклопа, который не сходен

...был с человеком, вкушающим хлеб, и казался лесистой,
Дикой вершиной горы [11],


уменьшительно же - пигмея, которого мы чувственно не воспринимаем.

При стольких способах мышления если мыслится длина без ширины, то, очевидно, она должна необходимо мыслиться или в результате очевидного чувственного впечатления, или в результате перехода от очевидного. Однако в результате очевидного впечатления она не может мыслиться, поскольку мы не встречаем никакой длины без ширины. Остается, следовательно, утверждать, что она находится в мысли в результате перехода от очевидного. Но это в свою очередь относится к самому невозможному. Действительно, если бы она так мыслилась, то она мыслилась бы обязательно или по уподоблению, или по соединению, или по аналогии. Но, как мы установим, она не может появиться в мысли ни одним из этих способов. Следовательно, никакая длина без ширины не мыслится.

Действительно, мыслить какую-нибудь длину без ширины по уподоблению было бы невозможно. Ведь у нас нет никакой мыслимой длины без ширины в области явлений, чтобы мы могли подобно ей мыслить какую-нибудь длину без ширины. Ведь подобное чему-нибудь обязательно подобно познаваемому, а подобного непознаваемому невозможно и найти. Поэтому если мы не имеем такой длины без ширины, которая встречалась бы нам очевидным образом, то мы не сможем мыслить и что-нибудь ей подобное.

Далее, для геометров невозможно вывести понятие о ней и в результате соединения. В самом деле, пусть они скажут нам, соединяя что именно из познаваемого в качестве фактически очевидного и с чем именно, мы можем мыслить длину без ширины, подобно тому как раньше мы представляли гиппокентавра, создавая его из человека и лошади.

152

Им остается, следовательно, прибегнуть к понятию, полученному по способу аналогистического увеличения или уменьшения, что в свою очередь явно ведет к апории. Ведь то, что мыслится по аналогии, содержит в себе нечто общее с тем, в отношении чего оно мыслится, как, например, в отношении величины человека вообще мы мыслили увеличительно киклопа и уменьшительно - пигмея, так что существует нечто общее у того, что мыслится по аналогии, с тем, в отношении чего оно мыслится. Однако мы не имеем ничего общего в мышлении длины без ширины и длины с шириной, чтобы, отправляясь от последнего, мы могли бы помыслить длину без ширины. Если же мы не имеем ничего общего для них, то мы не будем в состоянии создать мышление длины без ширины и по аналогии.

Вследствие этого если всякий мыслимый предмет мыслится указанными способами, а показано, что длина без ширины не мыслится никаким из этих способов, то длина без ширины совершенно ускользает от всякой мысли.

Однако даже на такие очевидные аргументы геометры, набираясь по возможности храбрости, говорят, что длина без ширины мыслится "по усилению свойства" [12]. Именно, взявши какую-нибудь длину с определенной шириной, они утверждают, что эта ширина с усилением ее свойства быть узкой уменьшается; так что, если ширина будет все более и более сужаться, то когда-нибудь достигнет одной длины без ширины в конце такого усиления, а тем самым и мы придем к искомому понятию.

Однако, скажет кто-нибудь, мы ведь показали, что совершенное отнятие ширины есть уничтожение и длины [13]. Затем, то, что мыслится по усилению свойства, ничем не отличается от исходно данного понятия, но является им же самим, только в усиленном смысле. Поэтому если мы хотим что-нибудь мыслить "по усилению свойства" узости, исходя из определенной ширины, то мы никоим образом не мыслили бы длины вполне без ширины (поскольку это относится уже к другому роду), по мы воспримем некую узкую ширину, так что получится остановка мысли на очень малой ширине, однако все-таки на ширине. А после этого возникнет направленность мысли на предмет другого рода, т. 0. на то, что не есть ни длина, ни ширина.

153

Далее, если было бы возможно, мысля какую-нибудь длину с определенной шириной, получить путем отнятия ширины длину без ширины, то можно было бы подобным же образом, мысля тело со специфическим признаком ранимости, путем отнятия признака ранимости мыслить тело неранимым и нечувствительным.

Можно было бы также, мысля тело со специфическим признаком сопротивляемости, путем отнятия сопротивляемости получить и какое-нибудь тело, лишенное сопротивляемости. Это, однако, совершенно невозможно и противоречит общечеловеческим представлениям. Ведь то, что мыслится как неранимое, уже не является для нас телом, поскольку [только] с ранимостью как со специфическим признаком тело и мыслится в качестве тела; и тело, лишенное сопротивляемости, уже не мыслится в качестве тела. Ведь тело как тело мыслится [только] вместе с сопротивляемостью как со своим специфическим признаком. Поэтому и длина, которая мыслится без ширины, не может быть длиной, поскольку длина как длина мыслится вместе с обладанием определенной шириной.

Однако, несмотря на разнообразно установленную немыслимость этого предмета и несмотря на то, что геометры находятся в немалом смущении [по этому вопросу], как раз Аристотель [14] утверждает, что выдвигаемая ими длина без ширины вовсе не является немыслимой, но что она может появиться в области нашей мысли без всяких трудностей. Он строит свое рассуждение на некотором очевидном и ясном примере, а именно: длина стены, говорит он, берется нами без внимания к ее ширине. Вследствие этого и выдвигаемая у геометров длина без всякой ширины тоже может быть мыслима, поскольку явления суть видение неочевидного. Но Аристотель заблуждается или, может быть, софистически нас обманывает. Ведь когда мы мыслим длину стены без ширины, то мы мыслим ее не без всякой ширины, но без той ширины, которая относится к стене, почему и оказывается возможным, сочетая длину стены с какой-то шириной, сколь угодно малой, получить понятие [стены без ширины]. Поэтому длина берется в настоящем случае не без всякой ширины, как этого требуют ученые, по только без такой-то данной ширины. Однако Аристотелю надлежало установить не то, что выдвигаемая, согласно геометрам, длина не причастна к такой-то ширине, но что она лишена всякой ширины [вообще]. А этого он не доказал.

154









[5. ЛИНИЯ И ПОВЕРХНОСТЬ]

Вот что [можно сказать] об этом. Однако, поскольку геометры называют линию, которая есть длина без ширины, также и границей поверхности, то мы построим более общую апорию относительно линии и поверхности сразу [15]. А таким образом легко будет дискредитировать и рассуждение относительно тела.

Действительно, если линия есть граница поверхности, будучи [к тому же] длиной без ширины, то ясно, что когда мы приставим одну поверхность к другой, то или две линии окажутся одна возле другой, или обе окажутся одной. И если две линии становятся одной, то, поскольку линия есть граница поверхности, а поверхность - граница тела, при слиянии двух линий в одну сольются в одну и две поверхности; а если две поверхности стали одной, то по необходимости и два тела станут одним телом, если же два тела стали одним, то приставление уже не будет приставлением, но [неразличимым] единением. А это невозможно. Ведь в отношении одних тел приставление [одного к другому] может стать единением (как, например, в отношении воды и подобного ей), в отношении же других не может. Так, если камень приставить к камню, железо к железу и сталь к стали, то здесь нет единения по линии, значит, две линии не могут стать одной.

Так же и иначе. Если действительно существует единение двух линий, становящихся одной, и также слияние тел, то неизбежно, чтобы разделение их возникало в результате разрыва не по тем же самым границам, но по частям, все разным и разным, так что должно было бы возникнуть и уничтожение [самих границ]. Однако этого явления вовсе не усматривается, но границы тел и до присоединения, и после присоединения оказываются теми же самыми, какими они являлись и раньше, в процессе самого присоединения. Следовательно, две линии не становятся одной.

155

Впрочем, если бы две линии даже становились одной, то нужно было бы, чтобы присоединяемые друг к другу тела становились на один край меньше. Ведь две линии стали одной, которая должна иметь и одну границу и один край. Однако присоединяемые друг к другу тела не становятся меньше на один край. Поэтому две линии не могут стать одной линией.

Однако если две линии с присоединением одного тела к другому пойдут одна возле другой, то составленное из двух линий будет больше одной линии. Если же то, что возникает из двух линий, больше одной линии, то каждая из них должна обладать шириной, которая в соединении с другой шириной создает большее расстояние. И таким образом, линия не есть длина без ширины.

Следовательно, одно из двух: или нужно отбросить очевидность, или, если она остается, нужно устранить мнение геометров, согласно которому они полагают, что линия есть длина без ширины.

Итак, вот что нужно нам прежде всего сказать против принципов геометрии. Однако, переходя к дальнейшему, мы выставим учение, что исследование не может сдвинуться с места с точки зрения их же собственной предпосылки.

Как известно, их мнение таково, что прямая линия, как мы и говорили выше [16], своим вращением всеми своими частями описывает круг. Однако с этой теоремой, хотя она и очень содержательная, находится в противоречии то, что линия есть длина без ширины. Рассмотрим дело следующим образом.

Именно, если, как они говорят, каждая часть линии содержит точку, а точка своим вращением описывает круг, то, по их учению, необходимо, чтобы всякий раз, когда прямая линия, вращаясь и описывая всеми своими частями круг, отмеривает на плоскости расстояние от центра до самой внешней окружности, тогда описываемые круги оказываются или непрерывно [следующими] один за другим или находящимися друг от друга на известном расстоянии. Но если они находятся друг от друга на известном расстоянии, то из этого должно следовать, что имеется некоторая часть плоскости, не занимаемая кругом, и часть прямой, которая хотя и прошла это расстояние, но не описала круга. А это нелепо. Ведь прямая линия или не содержит точки в данной своей части, или, если содержит, то не описывает круга. А то и другое из этого противоречит геометрическому ученику поскольку в нем утверждается как то, что всякая часть линии содержит точку, так и то, что всякая точка своим вращением описывает круг.

156

С другой стороны, если они полагают, что круги непрерывно [следуют] один за другим, то или они занимают одно и то же место, или они расположены один около другого, причем посередине не попадается ни одной точки (поскольку всякая точка, которая берется мысленно посередине, тоже должна была бы описывать круг). И если все они занимают одно и то же место, то получается один круг, и потому наименьшему кругу, расположенному у центра, будет равен больший круг, самый внешний и охватывающий все другие. Действительно, если самый внешний круг, находящийся у самой окружности, занимает большее расстояние, а самый внутренний круг, находящийся у центра, занимает малое расстояние, но притом все круги занимают одно и то же место, то круг, занимающий большую плоскость, окажется равным тому, который занимает наименьшую часть. Однако это бессмысленно. Следовательно, круги непрерывно [следуют] не так, чтобы занимать одно и то же место. Если же они оказываются один возле другого так, что между ними не попадается ни одной точки, лишенной частей, то они заполнят [всю] ширину от центра до периферии. Если же они [ее] заполнят, то во всяком случае [каждая из них] занимает какую-то ширину. Но ведь эти круги - линии. Следовательно, линии обладают какой-то шириной и не являются "без ширины".

Отправляясь от того же самого принципа, мы можем присоединить аргументацию того же рода, что и предложенная выше, а именно: когда они говорят, что если описывающая круг прямая описывает круг при помощи себя самой, то мы тоже поставим вопрос и скажем [так]. Если описывающая круг прямая способпа описать круг при помощи себя самой, то линия не есть длина без ширины. Но описывающая круг прямая описывает круг при помощи себя самой, как они утверждают. Следовательно, линия не есть длина без ширины. Как мы покажем, это вполне следует из их учения. Именно, когда проходящая из центра прямая вращается и описывает круг при помощи себя самой, то прямая линия проходит или по всем частям плоскости, заключенной внутри данной окружности, или не по всем,, но по не-

157

которым. И если она проходит по некоторым, то она не описывает круга, потому что по одним частям она проходит, а по другим нет. Если же она проходит по всем, то она отмеривает всю ширину окружности, а, отмеривая ширину, она сама будет обладать шириной, поскольку то, что способно отмеривать ширину, должно само обладать шириной, при помощи которой она отмеривала бы. Следовательно, прямая линия, описывающая круг, отмеривает всю ширину, и линия не есть длина без ширины.

То же самое станет яснее на том положении геометров, что если будет двигаться боковая сторона четырехугольника, то она отмерит плоскость в виде параллелограмма. Действительно, если движущаяся боковая сторона четырехугольника есть длина без ширины, то она не сможет при помощи себя самой отмерить часть плоскости, на которой находится четырехугольник, в виде параллелограмма. Ведь то, что способно отмерить ширину, само обладает шириной. А если она отмеривает, то она обязательно обладает шириной. Поэтому опять-таки или данная теорема у геометров неправильна, или не существует никакой длины без ширины, которую можно было бы мыслить.










[6. ЛИНИЯ, ПОВЕРХНОСТЬ И ТЕЛО]

Далее, они утверждают, что цилиндр касается плоскости по прямой линии, и, когда катится, он вследствие постепенного наложения все новых и новых прямых отмеривает плоскость [17]. Однако если цилиндр касается плоскости по прямой и, когда катится, путем наложения все новых и новых прямых отмеривает плоскость, то плоскость обязательно состоит из прямых, и также поверхность цилиндра наполняется прямыми. Вследствие же этого, поскольку плоскость, а также и поверхность цилиндра обладают шириной и не являются без ширины, а то, что способно образовать ширину, должно и само обладать шириной, то ясен вывод, что и прямые линии, способные заполнить ширину, по необходимости сами обладают шириной, так что не существует никакой "длины без ширины", а тем самым и линии.

153

Однако если даже мы согласимся, что линия есть длина без ширины, то из этого последует еще большая апория. Действительно, как точка в своем движении создает линию [18], так, по их мнению, и линия в своем движении образует поверхность, которая, по их словам, есть граница тела, поскольку она обладает двумя измерениями - длиной и шириной. Поэтому если поверхность есть граница тела, то тело обязательно обладает границей. А если так, то, когда два тела присоединяются одно к другому, либо их границы касаются границ, либо ограниченное в них касается ограниченного, либо и ограниченное касается ограниченного, и также границы - границ. Так [бывает], например, с амфорой, если в качестве границы мы представим себе внешний черепок, а в виде ограниченного - содержащееся в нем вино. Именно когда две амфоры приставлены одна к другой, то или черепок будет касаться черепка, или вино - вина или и черепок - черепка, и вино - вина. Но если границы касаются границ, то одно ограниченное не будет касаться другого, т.е. [не будут взаимно касаться] тела. А это абсурд. Если же одно ограниченное будет касаться другого, т.е. [будут взаимно касаться] тела, а границы их взаимно не будут касаться, то тела окажутся вне собственных границ. Если же и границы касаются границ, и одно ограниченное - другого, то мы [только] объединим эти апории: поскольку взаимно соприкасаются границы, одно ограниченное не будет касаться другого, а поскольку [будет соприкасаться] одно ограниченное с другим, тела окажутся вне собственных границ (раз границей является [здесь] поверхность, а ограниченным - тело).

Далее, границы или суть тела, или бестелесны. Но если они тела, то ложным окажется утверждение геометров, что поверхность не имеет глубины. Ведь если она есть тело, то по необходимости она должна будет обладать и глубиной, поскольку всякое тело должно обладать глубиной. Затем, [границы] не будут и касаться чего-нибудь, но все окажется беспредельным по величине. Ведь если они есть тело, то, поскольку всякое тело обладает границей, и эта последняя, будучи телом, также должна будет обладать границей, и эта последняя - точно так же, и так - до бесконечности. Если же граница бестелесна, то, поскольку бестеле