я, таким образом, первые - и решающие - шаги в создании математики как
теоретической системы, ранние пифагорейцы в то же время рассматривали
открываемые ими отношения чисел как символы некоторой божественной
реальности. Согласно свидетельству Прокла (из комментариев к "Началам"
Евклида), "у пифагорейцев мы найдем, что одни углы посвящены одним богам,
другие - другим. Так, например, поступил Филолай, посвятивший одним богам
угол треугольника, другим - (угол) четырехугольника и иные (углы) иным
(богам), и приписавший один и тот же (угол) нескольким богам, и одному и
тому же богу несколько углов соответственно различным силам, (находящимся)
в нем"40.

Такого рода отождествление различных богов с определенными числовыми
отношениями и их геометрическими изображениями носит характер, близкий к
мифологическим отождествлениям (море - Посейдон, дерево - дриада, волны -
Океаниды и т.д.). Так, у Прокла далее читаем: "Справедливо Филолай посвятил
угол треугольника четырем богам: Кроносу, Аиду, Аресу и Дионису... Ибо
Кронос владеет всей влажной и холодной субстанцией, Арес же - сей огненной
природой, и Аид содержит (в своей власти) всю земную жизнь, Дионис же
правит влажным и теплым рождением, коего символ - вино, тоже влажное и
теплое. Все они различны по своим делам, касающимся (вещей) второго
порядка, (сами же) между собой соединяются. Поэтому-то Филолай изображает
их соединение, приписывая всем им вместе один угол" (МД. Ч. III. 32А, 14).

Здесь нетрудно увидеть единство, в каком для сознания пифагорейцев
выступали соотношения чисел и связь божественных сил и природных стихий.

Итак, декада содержит в себе все виды числовых отношений, а эти отношения
лежат в основе как природных процессов, так и жизни человеческой души.
Числовые отношения составляют самую сущность природы, и именно в этом
смысле пифагорейцы говорят, что "все есть число". Поэтому познание природы
возможно только через познание числа и числовых отношений41. Платон
ограничил значение числа, полагая, что последнее не само выражает сущность
всего существующего, а есть лишь путь к постижению этой сущности. Число,
как мы дальше увидим, Платон помещает как бы посредине между чувственным
миром и миром истинно сущего. Аристотель подверг критике пифагорейский
тезис "все есть число" с другой позиции, чем Платон. Если для пифагорейцев
математика лежит в фундаменте всякого знания о природе, то Аристотель в
корне переосмысливает соотношение математики и физики, создавая направление
научного исследования ("научную программу"), в корне отличное от
пифагорейского.

В декаде, по убеждению пифагорейцев, не только содержатся все возможные
отношения чисел, но она являет также природу числа как единства предела и
беспредельного. Декада - это "предел" числа, ибо, перешагнув этот предел,
число вновь возвращается к единице. Но поскольку можно все время выходить
за пределы декады, поскольку она не кладет конца счету, то в ней
присутствует и беспредельное. В этом отношении декада есть как бы модель
всякого числа, числа вообще. Как мы уже отмечали, декада пифагорейцев
предстает также как священная четверица42, которая, по преданию, была
клятвой пифагорейцев.

Итак, анализ пифагорейского учения о декаде показывает, что понимание ими
числа включает в себя два момента. Во-первых, сходную с древневосточной и
древнегреческой традициями сакрализацию числа и соответствующую ей
тенденцию вскрывать десятиричную основу во всем существующем43. Во-вторых,
существенно новый подход к анализу священного числа с целью раскрыть в нем
возможные числовые отношения. При этом внимание направляется на внутренние
связи между числами, что приводит к установлению ими важнейших
математических положений.

То обстоятельство, что оба эти момента - отношение к числу как чему-то
священному и анализ реальных форм связей между числами - соединяются,
оказывается важным для генезиса математики как систематической теории. В
самом деле, во-первых, искомые и находимые связи между числами, числовые
пропорции выступают как основа и фундамент всех природных явлений и
процессов; во-вторых, поиски связей и единства всех возможных
закономерностей числа становятся для них центральной задачей исследования.

Пропорциє и гармония

Уже из анализа пифагорейского учения о сущности декады можно видеть, что в
центре внимания пифагорейцев стоит вопрос об отношениях чисел, т.е. о
пропорциональных отношениях.

Числовые пропорции, или соразмерности, пифагорейцы называли также
гармониями. Еще Пифагор, как утверждают многие свидетельства, открыл связь
числовых соотношений с музыкальной гармонией. Он обнаружил, что при
определенных соотношениях длин струн последние издают приятный
(гармонический) звук, а при других - неприятный (диссонанс). Приписываемое
Пифагору открытие возвращает нас к уже рассмотренной декаде и священной
четверице. "Пифагор открыл, - пишет А.О. Маковельский, - что если заставить
последовательно звучать целую струну, половину ее, две трети и три
четверти, то получим основной тон, октаву его, квинту и, наконец, кварту.
Таким образом, отношения, даваемые длиной струны, будут для октавы 1:2, для
квинты 2:3 и для кварты 3:4. Эти числа представляют прогрессию, в которой 4
термина и 3 интервала. Сумма терминов равна 10, а три последовательных
интервала, 2, 3/2, 4/2, 4/3, согласно чудесному открытию Пифагора, суть
интервалы октавы, квинты и кварты"44.

Мы не будем специально рассматривать вопрос, является ли установление
гармонических интервалов заслугой Пифагора или позднейших пифагорейцев45.
Нам лишь важно подчеркнуть, что это открытие сыграло большую роль для
дальнейшего развития науки о числе, поскольку утверждение "все есть число"
получило свой смысл благодаря тому, что числовые отношения обнаруживались в
самых разных процессах46. Гармония стала у пифагорейцев математическим
понятием, и, что важно, пифагорейская математика и философия оказались
проникнуты понятием гармонии. Это во многом объясняет специфические
особенности античного мышления. Не случайно Аристотель, говоря о
пифагорейцах, не отделяет их учение о гармонии от учения о числе. "...Они
(пифагорейцы. - П.Г.) видели в числах свойства и отношения, присущие
гармоническим сочетаниям. Так как, следовательно, все остальное явным
образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали
первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами
всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом"47.

Из отрывков сочинения Филолая "О природе" можно получить дополнительные
сведения о том, насколько для пифагорейцев понятия "число" и "гармония"
внутренне связаны между собой. Весь космос, по Филолаю, образовался из двух
начал: предела и беспредельного. Эти начала противоположны. Как же могут
они между собой соединяться? С помощью гармонии, отвечает Филолай.
Гармония, по его определению, есть "соединение разнообразной смеси и
согласие разногласного"48. Согласие разногласного - это определение
гармонии в музыке и оно же, как видим, выступает в качестве основного
принципа устроения мира, в котором противоположности объединяются по
принципу музыкального созвучия, консонанса49.

Но если гармония есть соединение предела и беспредельности, единство этих
противоположностей, то она и есть число, ибо число, как мы уже отмечали
выше, тоже возникает из беспредельного и предела. Печать возникновения из
этих противоположностей лежит на числах; они делятся на четные, в которых
возобладало беспредельное, и нечетные, где возобладал предел. Но и в каждом
из чисел независимо от этого их деления можно видеть присутствие в них
обоих начал, что мы уже отмечали применительно к числу 10.

Гармония и число обнаруживаются пифагорейцами не только в музыке. Согласно
сообщению Аристотеля, пифагорейцы на основании чисел составляли
представление о расположении небесных светил; в движении небесных тел они
видели еще одно подтверждение своего тезиса, что все в мире устроено "в
соответствии с числом". Аналогия между числовыми соотношениями в музыке и в
астрономии породила характерное для пифагорейцев представление о "гармонии
сфер". В раннем пифагореизме движение небесных светил - это как бы их танец
вокруг мирового огня, сопровождаемый музыкой, по красоте и гармоничности
превосходящей земную музыку настолько же, насколько небесные тела
совершеннее земных, а по мощи - настолько, насколько их масса и скорость
превосходят соответственно массу и скорость земных тел50.

Таким образом, в астрономии, музыке, геометрии и арифметике пифагорейцы
увидели общие числовые пропорции, гармонические соотношения, познание
которых, согласно им, и есть познание сущности и устройства мироздания. Из
отрывков, которые древние свидетельства приписывают Филолаю, мы видим, что
пифагорейцы уже в V в. до н.э. размышляли над вопросом о возможности
познания и сформулировали положение, впоследствии ставшее кардинальным для
математического естествознания, а именно: точное знание возможно лишь на
основе математики. Вот слова, приписываемые Филолаю (Стобей Ecl. I prooem.
cor. 3): "Ибо природа числа есть то, что дает познание, направляет и
научает каждого относительно всего, что для него сомнительно и неизвестно.
В самом деле, если бы не было числа и его сущности, то ни для кого не было
бы ничего ясного ни в вещах самих по себе, ни в их отношениях друг к
другу"51. В этом фрагменте сформулирован тот принцип познания, который лег
в основу первой математической "программы". То, в чем не обнаруживается
"природа числа", не может быть предметом познания. То, что не содержит в
себе числа, является, по Филолаю, беспредельным, а беспредельное
непознаваемо.

Эти пифагорейские представления о математическом фундаменте научного знания
получили в IV в. до н.э. теоретическое обоснование и весьма четкое
выражение в сочинениях Платона. У Платона же мы находим изложение
пифагорейского учения о числовых пропорциях геометрических величин, а также
систематизацию различных областей математического знания, соединение их в
единую систему наук. Развитие пифагорейской научной мысли в IV в. до н.э.
оказывается тесно связанным именно с Платоном и его школой. Крупнейший
математик-пифагореец Архит из Тарента был другом Платона, ученик Архита
Евдокс Книдский был связан с Академией и, по преданию, одно время учился у
Платона.

Поэтому рассмотрение пифагорейской математики IV в. до н.э., так же как и
более детальный анализ учения о гармонии, мы будем вести, опираясь, помимо
других источников, на тексты Платона. Платон в своих диалогах часто дает
разъяснение математических понятий - может быть, наиболее близкое духу
пифагореизма.

Однако предварительно необходимо ввести в рассмотрение еще ряд аспектов
математического мышления пифагорейцев, чтобы выяснить направление
дальнейшей эволюции понятия науки в античности.

Числа и вещи

От Аристотеля мы получаем свидетельство о том, что пифагорейцы не проводили
принципиального различия между числами и вещами. "Во всяком случае, -
говорит Аристотель, - у них, по-видимому, число принимается за начало и в
качестве материи для вещей, и в качестве <выражения для> их состояний и
свойств..."52. Сами числа они еще не полностью отделяют от чувственных
вещей и поэтому еще близки к натурфилософам в своем отношении к
чувственному бытию53.

Относительно онтологического статуса числа у пифагорейцев Аристотель
сообщает следующее: "...пифагорейцы признают одно - математическое - число,
только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности
состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них
это - не числа, состоящие из <отвлеченных> единиц, но единицам они
приписывают <пространственную> величину; а как получилась величина у
первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднение у них" (курсив мой.
- П.Г.)54.

Пространственные вещи у пифагорейцев состоят из чисел. А это, в свою
очередь, возможно в том случае, если, как и подчеркивает Аристотель, числа
имеют некоторую величину, так что могут мыслиться занимающими пространство.
И не в том смысле, что то или иное число можно изобразить в качестве
геометрической фигуры - как, например, 4 - это площадь квадрата со
стороной, равной 2, а именно в том смысле, что само число, как единица,
двойка, тройка и т.д., пространственно, а значит, тело состоит,
складывается из чисел55.

Но в таком случае единицы, или монады, пифагорейцев естественно предстают
как телесные единицы, и не случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэтия,
"первый объявил пифагорейские монады телесными"56.

При этом единицы, или монады, должны быть неделимыми - это их важнейший
атрибут, без которого они не могли бы быть первыми началами всего сущего.
То, что пифагорейцы действительно мыслили числа как неделимые единицы, из
которых составлены тела, можно заключить из следующей полемики с ними
Аристотеля: "То, что они (пифагорейцы. - П.Г.) не приписывают числу
отдельного существования, устраняет много невозможных последствий; но что
тела у них составлены из чисел и что число здесь математическое, это - вещь
невозможная. Ведь и говорить о неделимых величинах неправильно, и <даже>
если бы это было допустимо в какой угодно степени, во всяком случае единицы
величины не имеют, а с другой стороны, как возможно, чтобы пространственная
величина слагалась из неделимых частей? Но арифметическое число во всяком
случае состоит из <отвлеченных> единиц; между тем они говорят, что числа -
это вещи; по крайней мере, математические положения они прилагают к телам,
как будто тела состоят из этих чисел" (курсив мой. - П.Г.)57.

В пифагорейском понимании числа, таким образом, оказываются связанными два
момента: неотделенность чисел от вещей и соответственно составленность
вещей из неделимых единиц - чисел58. Если судить по приведенным отрывкам,
то пифагорейская математика, по меньшей мере в какой-то период или у
некоторых ее представителей, имела в качестве своего методологического
фундамента математически-логический атомизм, при котором числа
рассматривались как геометрические точки с определенным положением в
пространстве.

К такому выводу относительно пифагорейской математики приходит известный
историк математики Оскар Беккер. "У истоков греческой математики, - пишет
он, - вероятно, начиная еще с VI века, обнаруживается своеобразный способ
рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический -
полугеометрический. Он состоит в использовании камешков (fЅjoi) одинаковой
величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладываются фигуры"59.

Действительно, трудно найти этому методу построения фигур из чисел-камешков
однозначную характеристику; Г.Г. Цейтен называет его "геометрической
арифметикой"60. Видимо, этот метод предполагает допущение, что тела состоят
из множества такого рода точечных единиц-монад. При этом, как сообщает
Аристотель, единица (monЁj) рассматривалась пифагорейцами как точка, не
наделенная особым положением (stigmh ҐJetoV), а точка (stigmї) - как
единица, имеющая положение (monҐV JЪsin Ьcousa)61.

Открытие

несоизмеримости

Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это
открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической
науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило
пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой
разумеющимися62.

Следует заметить, однако, что открытие несоизмеримости могло иметь место
только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики
как связной теоретической системы мышления. Ведь только тогда может
возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать, если
уже есть представление о том, как должно обстоять дело. Не случайно
открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на
извлечение квадратных корней, в том числе и  EMBED Equation.2 
,
решались уже в древневавилонской математике, составлялись таблицы
приближенных значений корней. По-видимому, открытие несоизмеримости было
сделано именно потому, что пифагорейцы с энтузиазмом искали подтверждения
главного тезиса их учения "все есть число".

Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке
либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т.е.
арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо
геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо,
наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т.е. найти
среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед
ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 263.

Несоизмеримость диагонали квадрата со стороной, т.е. иррациональность 
EMBED Equation.2 
, пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их
точки зрения, "онтологическую" характеристику чисел, а именно на деление их
на четные и нечетные; доказательство велось от противного: если допустить
соизмеримость диагонали и стороны, то придется признать нечетное число
равным четному64. Признанию несоизмеримости, однако, предшествовали,
по-видимому, попытки преодолеть возникшее затруднение, ибо обнаружение
невыразимости в числах отношения диагонали к стороне квадрата наносило удар
по основному убеждению пифагорейцев, что "все есть число". Открытие
иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых <целыми> числами, вызвало,
видимо, первый кризис оснований математики и нанесло удар по философии
пифагорейцев. Ибо целое число - ўriJm"V - лежало, согласно Пифагору и его
последователям, в основе мироздания; поэтому все пропорции в мире должны
были быть выразимы в целых числах. Эта - исторически первая - теория чисел
теперь оказалась поставленной под вопрос.

Однако удар, нанесенный раннепифагорейской концепции числа, отнюдь не
отменил математической "программы" изучения природы, а только внес в эту
программу свои коррективы.

Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к
геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить
отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического
числа.

Вместо геометрической арифметики теперь развивается "геометрическая
алгебра": величины изображаются через отрезки и прямоугольники, с помощью
которых можно было соотносить между собой не только рациональные числа, но
и несоизмеримые величины.

Надо полагать, что переход к геометрической алгебре сопровождался также и
размышлением по поводу самих оснований пифагорейской математики. Может
быть, именно открытие несоизмеримости впервые поставило под вопрос
первоначальную пифагорейскую интуицию, что тела состоят из неделимых
точек-монад.

Попытки справиться с несоизмеримостью в конце концов привели к формулировке
аксиомы Евдокса (ее называют также аксиомой Архимеда), которая легла в
основу теории отношений несоизмеримых величин. Эта аксиома приводится
Евклидом в четвертом определении V книги "Начал": "Говорят, что величины
имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга". А вот как формулирует Архимед эту аксиому в работе "О шаре и
цилиндре" (пятое допущение, или постулат Архимеда): "...б(льшая из двух
неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину,
которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную
величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном
отношении"65.

Нам представляется, однако, что общее значение открытия иррациональности
для развития и математики, и науки в целом не исчерпывается указанными
последствиями, хотя внешне выражается прежде всего в них.

Дело в том, что это открытие впервые, быть может, заставило рождающуюся
греческую науку сознательно задуматься о своих предпосылках. Ведь те
понятия числа, точки, фигуры и т.д., которыми оперировали пифагорейцы
первоначально, еще не были логически прояснены и продуманы. Именно в этом,
кстати, упрекают пифагорейц