ственное восприятие не дает нам
определенного и недвусмысленного указания на то, что такое находящийся
перед нами предмет, то возникает необходимость обратиться к мышлению - и
таким путем возникает наука. Приведем это рассуждение Платона ввиду его
существенного значения для нашей темы. "Кое-что в наших восприятиях, -
говорит Сократ, - не побуждает наше мышление к дальнейшему исследованию,
потому что достаточно определяется самим ощущением; но кое-что решительно
требует такого исследования, поскольку ощущение не дает ничего надежного...
Не побуждает к исследованию то, что не вызывает одновременно
противоположного ощущения, а то, что вызывает такое ощущение, я считаю
побуждающим к исследованию". Разъясняя сказанное, Платон заключает, что
"ощущение, назначенное определять жесткость, вынуждено приняться и за
определение мягкости и потому извещает душу, что одна и та же вещь
ощущается им как жесткая и как мягкая... То же самое и при ощущении легкого
и тяжелого...". Таким образом, ощущение дает одновременно противоположные
сведения, и оказывается необходимым ввести степень жесткости или мягкости,
легкости или тяжести вещи, не прибегая уже к одному только свидетельству
ощущения. Субъективный критерий должен быть заменен объективным, и здесь в
дело должно вступить мышление.

Согласно Платону, переход от восприятия, ощущения к мышлению предполагает
весьма серьезную операцию, которая на языке платоновской философии носит
название перехода от становления к бытию. Становление, согласно Платону,
это то, что неуловимо, не поддается твердой фиксации, что ускользает,
меняется на глазах, предстает "то как мягкое, то как жесткое", о чем, стало
быть, невозможно высказать нечто определенное. Для того чтобы стало
возможным остановить этот поток, выделить в нем нечто одно, отличить его от
другого, измерить его в каком-либо отношении, необходима какая-то другая
реальность, которая позволяла бы осуществить применительно к ней подобные
процедуры, или, лучше сказать, необходимо допустить такую реальность,
которая была бы онтологическим условием возможности осуществления этих
операций. Эту-то реальность Платон называет бытием.

Мера есть посредник между сферами бытия и становления. Мера же необходимо
связана с числом.

Именно число, а не само единое ("предел") является средством постижения
чувственного мира. "Воспринявший что-либо единое, - говорит Платон, -
тотчас после этого должен обращать свой взор не на природу беспредельного,
но на какое-либо число; так точно и наоборот: кто бывает вынужден прежде
обращаться к беспредельному, тот немедленно вслед за этим должен смотреть
не на единое, но опять-таки на какие-либо числа".

Поясняя свою мысль, Платон приводит пример, который для нас очень
интересен, поскольку показывает, во-первых, ту сферу, из которой Платон
чаще всего заимствует свои "модели", а во-вторых, очень точно обрисовывает
его представление о задачах науки: "Первоначально некий бог или
божественный человек обратил внимание на беспредельность звука. В Египте,
как гласит предание, некий Тевт первый подметил, что гласные буквы [звуки]
в беспредельности представляют собою не единство, но множество; что другие
буквы - безгласные, но все же причастны некоему звуку и что их также
определенное число; наконец, к третьему виду Тевт причислил те буквы,
которые сегодня называются немыми. После этого он стал разделять все до
единой безгласные и немые и поступил таким же образом с гласными и
полугласными, пока не установил их числа и не дал каждой в отдельности и
всем вместе названия "буква" ["первоначало"]. Видя, что никто из нас не
может научиться ни одной букве, взятой в отдельности, помимо всех
остальных, Тевт понял, что между буквами существует единая связь,
приводящая к некоему единству. Эту связь Тевт назвал грамматикой - единой
наукой о многих буквах" (курсив мой. - П.Г.).

Отрывок этот, во-первых, еще раз свидетельствует о том, что в поле зрения
Платона постоянно присутствует стихия языка и наука о языке, грамматика,
служит примером того, как возникает единство многого - система, внутри
которой только и может быть выделен (определен) каждый отдельный звук.
Обнаружение единства в звуках впервые сделало возможным из бесчисленного их
множества (ибо любой звук, в сущности, произносится по-разному каждым
человеком, не говоря уже о различии одних и тех же звуков в разных
диалектах даже одного языка) выделить определенное их число и тем самым
построить систему взаимно отличных, но связанных в единое посредством числа
букв.

Теперь критика натурфилософии приобретает у Платона логическую базу:
натурфилософы оперировали в своих построениях такими понятиями, как
"влажное и сухое", "холодное и теплое", "сладкое и горькое", "твердое и
мягкое". Исходя из этих противоположностей, они давали определение и
объяснение природных явлений и процессов. Но эти определения, согласно
Платону, не могут дать никакого доказательного знания, ибо они в строгом
смысле слова определениями не являются. Натурфилософы, в сущности, имели
дело с неопределенно-количественными характеристиками, с теми самыми "более
или менее", которые не могут "ухватить" определяемый предмет, не могут
ввести его в твердые границы, ибо не располагают для этого мерным
отношением - числом. Согласно Платону, натурфилософы имели дело с
беспредельным, отсюда и фантастичность, произвольность их построений.

Только такое познание может претендовать на достоверность, которое
осуществляется с помощью числа. Такова математика. Платон полностью
согласен с пифагорейцами в том, что математическое знание, знание о мерных
отношениях, является единственно достоверным в противоположность тем мнимым
знаниям, т.е. мнениям, которые именовались во времена Платона "физикой".

Известно, что при входе в платоновскую Академию была надпись: "Не геометр -
да не войдет". Те, кто не были сведущими в музыке, геометрии и астрономии,
вообще не принимались в Академию. Диоген Лаэрций сообщает, что
возглавлявший Академию Ксенократ сказал человеку, не знакомому ни с одной
из названных наук: "Иди, у тебя нечем ухватиться за философию". Не
удивительно поэтому, что среди учеников Платона были крупные математики -
такие, как Архит, Теэтет, Евдокс.

Число как идеальное образование

Теперь рассмотрим, каков онтологический статус числа у Платона. Число - это
единство предела и беспредельного. Мы знаем уже, что такого рода единство
противоположных начал Платон усматривает не только в чувственных вещах;
соотнесенность единого и иного должна иметь место также и в сфере
идеального - того, что постигается лишь с помощью мысли. Естественно
поэтому, что число - это идеальное образование, возникшее в результате
связи противоположностей.

Таким образом, в отличие от пифагорейцев, у которых не существовало
различия чисел и вещей, Платон такое различие устанавливает. "Он, - читаем
у Аристотеля, - полагает числа отдельно от чувственных вещей, а они
(пифагорейцы. - П.Г.) говорят, что числа - это сами вещи, и математические
объекты в промежутке между теми и другими не помещают. Установление единого
и чисел отдельно от вещей, а не так, как у пифагорейцев, и введение идей
произошло вследствие исследования в области понятий (более ранние философы
к диалектике не были причастны)".

Но что такое "математические объекты", или "математические вещи", как их
называет Аристотель? Чем они отличаются от чисел, которые Платон считает
идеальными образованиями? Почему Платон, по словам Аристотеля, помещает эти
самые "математические объекты" в промежутке - между миром идеального и
чувственным миром, т.е. между числами и вещами?

Обратимся за разъяснением вопроса о природе чисел и "математических
объектов" к самому Платону. Поясняя, что такое число, Сократ говорит своему
собеседнику: ""Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. -
П.Г.): достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в
которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, - то есть
всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет
в себе никаких частей?" - как ты думаешь, что они ответят?

- Да, по-моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь
мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться" (курсив мой. - П.Г.).

Итак, число - это идеальное образование, его нельзя воспринять чувственно,
а можно только мыслить. В чувственном мире невозможно найти "единицу,
которая ничем не отличалась бы от другой" - любой предмет чувственного
мира, любая чувственная "единица" отличается от другого предмета, от другой
"единицы", тождественны они лишь с точки зрения того, что каждый из
предметов мыслится как "один", а "один" равен "одному" только в мире
идеализаций. Как образования идеальные и постижимые только мыслью, числа не
отличаются от идей ("суть идеи", как говорит Аристотель).

Важным моментом в платоновском обосновании числа как чисто мыслительного
образования является положение о принципиальной неделимости единицы -
неделимости логической, поскольку сама единица теперь мыслится как
логическое начало. Согласно Платону, наука о числах "влечет душу ввысь и
заставляет рассуждать о числах самих по себе, ни в коем случае не допуская,
чтобы кто-нибудь подменял их имеющими число видимыми и осязаемыми телами.
Ты ведь знаешь, что те, кто силен в этой науке, осмеют и отвергнут попытку
мысленно разделить самое единицу, но если ты все-таки ее раздробишь, они
снова умножат части, боясь, как бы единица оказалась не единицей, а многими
долями одного".

Единица неделима, ибо она есть единое, а единое неделимо по определению.
Единица, согласно концепции Платона, рождает множество, но и само множество
имеет своим логическим условием единицу: ведь если нет единого, то нет и
многого, поскольку многое - это множество единиц. Единицу нельзя разделить
на том самом основании, которое Платон с предельной четкостью сформулировал
в заключительных словах к диалогу "Парменид": "Если единое не существует,
то ничего не существует".

Что же, однако, такое "математические вещи", или "математические объекты",
о которых говорит Аристотель, и чем они отличаются у Платона от чисел? Вот
что говорит об этом Платон: "Когда они (геометры. - П.Г.) пользуются
чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те
фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для
четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали,
которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и
живописи, от них может падать тень и возможны их отражения в воде, но сами
они служат лишь образным выражением того, что можно видеть лишь мысленным
взором" (курсив мой. - П.Г.).

Рассматривая эти соображения Платона в своей истории античной математики,
Б.Л. ван дер Варден полагает, что античные математики должны были быть
согласны здесь с Платоном. "И действительно, - пишет Варден, - для
прямолинейных отрезков, которые можно видеть и эмпирически измерять,
является бессмысленным вопрос, имеют ли они общую меру или нет: ширина
волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. Вопрос о
соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью".

Платон, таким образом, различает геометрические фигуры, как они
представлены на чертеже, и "фигуры сами по себе", т.е. такие, которые
"можно видеть лишь мысленным взором". Видимо, последние как раз и есть те
"математические вещи", которые, по свидетельству Аристотеля, Платон
отличает от чисел и которые он считает промежуточными, помещая их между
миром идеального и чувственным миром.

"Математические объекты", стало быть, - это те образования, которыми
оперирует не арифметика, имеющая дело с числами, а геометрия, это фигуры:
окружности, треугольники, четырехугольники - и их элементы: радиусы, углы,
диагонали, биссектрисы и т.д., т.е. линии и плоскости, по-разному
сконструированные. К математическим Платон относит и "объекты"
стереометрии: шар, куб, тетраэдр, икосаэдр и др. Все это, согласно Платону,
объекты мысли, но они в то же время могут иметь чувственные подобия,
чувственные аналоги: в качестве таких подобий могут выступать не только
начерченные на песке или на восковой дощечке круги, треугольники и т.д., но
и вырезанные из дерева или из камня шары, кубы, пирамиды. Видимо, в этом
смысле Аристотель и говорит, что Платон считает числами и вещи, и причины
вещей, но причинами он считает числа умопостигаемые, а те, что воплощаются
в вещах, считает производными от первых. Точно так же и с геометрическими
объектами: те вещи, которые имеют форму шара или куба, Платон считает
чувственными подобиями идеального шара или куба, так же как чувственными
подобиями геометрических фигур являются их чертежи.

Понятие пространства у Платона и онтологический статус геометрических
объектов

Но почему же числа и геометрические объекты оказываются у Платона имеющими
разный статус: числа - чисто идеальные сущности, а линии, углы, фигуры -
сущности "промежуточные"? В соответствии с этим различением арифметика
выступает у Платона и Аристотеля как первая в ряду математических наук и
наиболее среди них "простая", а тем самым и более достоверная, чем
геометрия. В чем коренится такое различие между арифметикой как наукой о
числах и геометрией как наукой о "фигурах"? Оно коренится в том, что числа
и числовые отношения геометрия представляет в виде определенных
пространственных образов, схем, т.е. фигур.

Пифагорейцы по той причине, видимо, не различали числа и вещи, что они
считали единицу, имеющую определенное положение в пространстве (т.е.
точку), вещью; поскольку эмпирический мир вещей - это мир пространственный,
то единица, становясь точкой, тем самым выступает как элемент
пространственного, а значит, эмпирического мира.

Показывая, что геометрические конструкции по своему статусу отличаются от
вещей чувственного мира, Платон в то же время не может отождествить их с
собственно идеальными объектами, каковы числа. Пытаясь найти онтологический
статус геометрических объектов, он приходит к мысли о том, что пространство
- стихия геометрии - есть нечто среднее между идеями и чувственным миром.

Насколько нам известно, Платон впервые в античной науке вводит понятие
геометрического пространства; до него античная философия не отделяла
сознательно пространство от его наполнения, за исключением разве атомистов,
но они определяли пространство физически - как пустоту, отличая ее от
атомов как "полного". И не только доплатоновская, но и послеплатоновская
научно-философская мысль в лице Аристотеля и его учеников не признавала
пространства в том виде, как его понимал Платон; пространство выступает у
Аристотеля как "место", а это понятие радикально отличается от
геометрического пространства Платона.

Поскольку понятие пространства, впервые формирующееся у Платона, имеет
очень большое значение для эволюции науки и ее исходных принципов,
поскольку оно, далее, тесно связано с платоновским обоснованием математики,
мы рассмотрим его здесь подробнее. В диалоге "Тимей" Платон следующим
образом определяет пространство: "...приходится признать, во-первых, что
есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не
воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая,
незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли.
Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя - ощутимое,
рожденное, вечно движущееся, возникающее посредством мнения, соединенного с
ощущением. В-третьих, есть еще один род, а именно пространство (є cиra):
оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но
само воспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного
умозаключения, и поверить в него почти невозможно".

Пространство, как видим, определяется Платоном как нечто отличное, с одной
стороны, от идей, постигаемых мыслью (n"hsiV), которые мы назвали бы по
этой причине логическим объектом (для Платона логическое имеет статус
единственно истинного бытия), а с другой - от чувственных вещей,
воспринимаемых "ощущением" (aЗsJhsiV). Пространство лежит как бы между
этими мирами в том смысле, что оно имеет признаки как первого, так и
второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неразрушимо,
неизменно - более того, оно и воспринимается не через ощущение. Но сходство
его с чувственным миром в том, что воспринимается оно все же не с помощью
мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство,
квалифицируется Платоном весьма неопределенно - как "незаконное умозрение"
(°pt'n logismщ tinИ n"JJ). Переводя это выражение Платона как "гибридное
рассуждение", Дюгем тем самым хочет подчеркнуть, что способность, которой
мы постигаем пространство, есть некий гибрид, "помесь" между мышлением и
ощущением.

Интересно, что Платон сравнивает видение пространства с видением во сне:
"Мы видим его (пространство. - П.Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто
это бытие непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать
какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах,
будто бы и не существует".

Сравнение "незаконнорожденного" постижения пространства с видением во сне,
очевидно, весьма для Платона важно, потому что он употребляет это сравнение
не однажды. В диалоге "Государство", говоря о геометрии и ее объектах,
Платон вновь пользуется этим сравнением: "Что касается остальных наук,
которые, как мы говорили, пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия (речь
идет о геометрии и тех науках, которые следуют за ней. - П.Г.), то им всего
лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь
своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать в них
отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина
состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода
несогласованность когда-либо стать знанием?"

Пространство мы видим как бы во сне, мы его как бы и видим и в то же время
не можем постигнуть в понятиях, - и вот оно-то, по мнению Платона, служит
началом для геометров.

Почему, говоря о пространстве, Платон постоянно прибегает к образу сна?
Невольно приходит на ум известный платоновский символ пещеры: ведь узники в
пещере принимают за истину "тени проносимых мимо предметов", так же точно
как человек во сне принимает за реальность лишь "тени". Пространство в этом
смысле у Платона - это не тени, т.е. не чувственные вещи, а как бы сама
стихия сна, пространство - это сам сон как то состояние, в котором мы за
вещи принимаем лишь тени вещей. И так же, как, проснувшись, мы воспринимаем
виденное во сне несколько смутно, не можем дать себе в нем отчет, оно как
бы брезжит, не позволяет себя схватить и остановить, определить, - так же
не дает себя постигнуть с помощью понятий разума и пространство.

Итак, Платон рассматривает пространство как предпосылку существования
геометрических объектов, как то "начало", которого сами геометры "не знают"
и потому должны постулировать его свойства в качестве недоказуемых первых
положений своей науки.

Платон и "Начала" Евклида

В первой книге "Начал" Евклид формулирует исходные положения геометрии,
которые не могут быть доказаны, но на базе которых только и могут быть
получены остальные - выводные - положения. Эти недоказуемые утверждения
Евклид подразделяет на три группы: определения ("roi), постулаты (aДtїmata)
и общие понятия - аксиомы. У самого Евклида эта третья группа положений
носит название koinaИ Ьnnoiai - "общие представления", "понятия"; на
латинский язык это выражение обычно переводили как "communes animi
conceptiones" - "общие понятия души". У Прокла в комментарии к Евклиду
первая группа положений называется также гипотезами (џp"JesiV), а третья
группа положений носит название аксиомы (ўxiиmata).

На каком основании Евклид вводит эти три подразделения? Чем отличаются
определения от постулатов и аксиом?

Рассмотрим сначала, ч