межуточные", а именно числа, фигуры и их соотношения.
Постигаются же последние "разумом и рассудком, но не зрением". Что же
касается эмпирически данных объектов астрономии, то ими, так же как и
чертежами в геометрии, можно пользоваться только как подсобным материалом,
ибо они никогда не тождественны тем идеализациям, которые составляют
подлинный предмет изучения в математике: "...небесным узором надо
пользоваться как пособием для изучения подлинного бытия, подобно тому как
если бы нам подвернулись чертежи Дедала или какого-нибудь иного мастера
либо художника, отлично и старательно вычерченные. Кто сведущ в геометрии,
тот, взглянув на них, нашел бы прекрасным их выполнение, но было бы смешно
их всерьез рассматривать как источник истинного познания равенства,
удвоения или каких-либо иных отношений".

Итак, небесные тела и их видимое движение уподоблены Платоном чертежам в
геометрии, а потому астроном должен видеть в них только вспомогательное
средство для своей науки - не больше того. Отсюда парадоксальный вывод
Платона, который привел в дальнейшем к жесткому разделению эмпирического и
философско-теоретического познания, особенно в средневековой науке:
"Значит, мы будем изучать астрономию так же, как геометрию, с применением
общих положений, а то, что на небе, оставим в стороне, раз мы хотим
действительно освоить астрономию и использовать еще неиспользованное,
разумное по своей природе начало нашей души" (курсив мой. - П.Г.).

Это заявление Платона, в сущности, шло вразрез с практикой астрономической
науки его времени, которая, естественно, не могла оставлять в стороне "то,
что на небе"; но такой крайний антиэмпиризм не был простой случайностью: он
логически вытекал из платоновского убеждения в том, что точная наука должна
иметь дело с идеализациями, а не с теми эмпирическими предметами, которые
даны нам в чувственном восприятии. Платон поэтому не только не допускал
возможности точного научного знания применительно к земным явлениям, что
впоследствии пересмотрел Аристотель, но, как видим, даже изучение небесных
светил он считал всего лишь подсобным средством для истинной астрономии.

Перечислив математические науки - арифметику, геометрию, стереометрию,
астрономию, Платон завершает этот ряд наук музыкой, которая тоже
принадлежит к математическим наукам. "...Как глаза наши устремлены к
астрономии, - пишет Платон, - так уши - к движению стройных созвучий: эти
две науки - словно родные сестры; по крайней мере так утверждают
пифагорейцы, и мы с тобой, Главкон, согласимся с ними". И математика, и
астрономия изучают математические соотношения: астрономия - в движении
небесных светил, а музыка - в гармонических созвучиях. Пифагорейцы,
подчеркивает Платон, положили начало музыке как науке: "Ведь они поступают
совершенно так же, как астрономы; они ищут числа в воспринимаемых на слух
созвучиях, но не подымаются до общих вопросов и не выясняют, какие числа
созвучны, а какие - нет и почему".

Характерно, что и по отношению к музыке Платон рассуждает так же, как он
рассуждал о геометрии или астрономии: в качестве науки, по его мнению,
может выступать только такое исследование, которое "в воспринимаемых на
слух созвучиях ищет числа", т.е. математические соотношения, и в этом одном
видит свою цель. Напротив, те, кто пытается устанавливать гармонические
отношения звуков на слух и в этом смысле экспериментирует с музыкальными
инструментами, те преследуют совсем иные цели, и такое занятие нельзя
считать наукой. "...Что-то они называют "уплотнением" и настораживают уши,
словно ловят звуки голоса из соседнего дома; одни говорят, что различают
какой-то отзвук посреди, между двумя звуками, и что как раз тут находится
наименьший промежуток, который надо взять за основу для измерений; другие
спорят с ними, уверяя, что здесь нет разницы в звуках, но и те и другие
ценят уши выше ума".

Как в астрономии Платон считает лишенным ценности такой подход, при котором
глаза ценятся выше ума, так и в музыке он критикует музыкантов-практиков,
потому что они пытаются с помощью слуха определить то, что можно определить
только с помощью числа, а значит, с помощью мышления, а не чувственного
восприятия. Эта критика вполне последовательно дополняется у Платона
отрицательным отношением ко всякому чисто практическому использованию тех
знаний, которые дает наука о числовых соотношениях, в том числе и музыка.
Об отношении Платона к техническим применениям геометрии и астрономии мы
уже писали; так же рассуждает он и применительно к музыке.

О том, что музыка в древности имела также и технико-практическое
применение, свидетельствует, например, Витрувий. Согласно Витрувию, "от
артиллерийского офицера, который должен следить за тем, чтобы катапульта
равномерно натягивалась жилами, надо требовать музыкального образования,
чтобы он мог по тону, который издают натянутые веревки с правой и с левой
стороны при ударе по ним, установить равномерность натяжения".

В чем же состоит, по Платону, главная цель музыки как математической науки?
Музыка здесь разделяет общую судьбу всех наук: ее предназначение - помогать
душе восходить от низшего, чувственного бытия, ввысь, к созерцанию
сверхчувственного, истинного бытия идей.

Рассмотрев иерархию математических наук у Платона, мы обратимся к вопросу,
связанному с платоновским пониманием "неба" и его значения для становления
философии математики.

Зрение чувственное и зрение "умное"

Этот вопрос нуждается в специальном рассмотрении уже хотя бы потому, что
при анализе арифметики Платон указывает на то, что "небо научило нас
числу", а при анализе астрономии советует "оставить в стороне то, что на
небе". Но ведь одно противоречит другому.

Обратимся к аргументации Платона. Тот, кто "разглядывает узоры на потолке",
пытается что-то распознать с помощью зрительного ощущения. Платон считает
такое предприятие с точки зрения науки безнадежным. Истинные же вещи, "с их
перемещениями друг относительно друга, происходящими с подлинной быстротой
и медленностью, в истинном количестве и всевозможных истинных формах...
постигаются разумом и рассудком, но не зрением". Таким образом, зрение, как
вид ощущения, и разум противостоят друг другу; с помощью зрения мы
воспринимаем внешнюю видимость, с помощью разума - внутреннюю сущность;
первое дает нам мнение, второе - истинное знание.

Но в диалоге "Тимей" мы обнаруживаем иную оценку Платоном зрения и иное
соотношение между двумя родами познания - с помощью глаз и с помощью ума:
"...осталось ответить, какова же высшая польза от глаз, ради которой бог их
нам даровал. Да, я говорю о зрении как об источнике величайшей для нас
пользы; вот и в нынешнем нашем рассуждении мы не смогли бы сказать ни
единого слова о природе вселенной, если бы никогда не видели ни звезд, ни
Солнца, ни Неба. Поскольку же день и ночь, круговороты месяцев и годов,
равноденствия и солнцестояния зримы, глаза открыли нам число, дали понятие
о времени и побудили исследовать природу вселенной, а из этого возникло то,
что называется философией и лучше чего не было и не будет подарка смертному
роду от богов. Я утверждаю, что именно в этом высшая польза очей".

Тут, видимо, явное противоречие. Зрение то противопоставляется мышлению в
качестве простого ощущения, то едва ли не отождествляется с мышлением, с
разумом. В самом деле, мы узнаем теперь, что Бог даровал нам зрение, чтобы
мы наблюдали "круговращения ума в небе", т.е. видели глазами то, что можно
только постигнуть умом.

Специфическое понимание зрения и его роли в познании, особое отношение
между зрением и мышлением - важная и характерная черта античной науки,
поэтому на ней мы остановимся подробнее, тем более что этот вопрос и
впоследствии неоднократно будет привлекать к себе наше внимание.

Зрение в качестве ощущения ставится Платоном выше других ощущений - слуха,
осязания, вкуса, обоняния. Платон объясняет превосходство зрения над
другими ощущениями весьма своеобразно. Вот что он говорит по этому поводу:

"Обращал ли ты внимание, до какой степени драгоценна эта способность видеть
и восприниматься зрением, созданная в наших ощущениях демиургом?

- Нет, не особенно.

- А ты взгляни на это вот как: чтобы слуху слышать, а звуку звучать,
требуется ли еще нечто третье, так, что когда оно отсутствует, ничто не
слышится и не звучит?

- Ничего третьего тут не нужно.

- Я думаю, что и для многих остальных ощущений - но не для всех - не
требуется ничего подобного... А разве ты не замечал, что это требуется для
зрения и для всего того, что можно видеть?

- Что ты говоришь?

- Какими бы зоркими и восприимчивыми к свету ни были у человека глаза, ты
ведь знаешь, он ничего не увидит и не различит, если попытается
пользоваться своим зрением без наличия чего-то третьего, специально для
этого предназначенного.

- Что же это, по-твоему, такое?

- То, что ты называешь светом.

- Ты прав.

- Значит, немаловажным началом связуются друг с другом зрительное ощущение
и возможность зрительно восприниматься; их связь ценнее всякой другой,
потому что свет драгоценен".

Платон, как видим, убежден, что при всех ощущениях, кроме зрительного,
ощущаемое и ощущающий орган соединяются между собой непосредственно -
убеждение, которое играет немалую роль в платоновском понимании знания и
которое затем пересматривается у Аристотеля. Одно только зрение
оказывается, по Платону, в особом положении: чтобы видеть, необходимо
наличие трех моментов: видимого предмета, видящего глаза и света, который
выполняет функцию посредника между первым и вторым. Но не потому только,
что зрительное ощущение предполагает наличие трех моментов вместо двух, оно
ставится Платоном выше других видов ощущений - дело тут еще и в том, что,
как подчеркивает Платон, посредствующий момент - свет сам по себе
"драгоценен". Свет как явление чувственного мира выделяется Платоном среди
других явлений; он выступает как особого рода явление, как представитель
мира сверхчувственного.

В этом смысле свет есть уже не просто явление, а символ: он символизирует
собой нечто другое, высшее. Различая мир видимый (чувственно данный) и мир
невидимый (умопостигаемый), Платон в то же время указывает в чувственном
мире аналог мира умопостигаемого, и этим аналогом является именно свет.
Свет солнца - это чувственный аналог света разума; и как источником и
средоточием всего умопостигаемого мира идей является, по Платону, идея
блага, так и солнце является средоточием всего видимого мира, источником
его видимости, зримости: "...чем будет благо в умопостигаемой области по
отношению к уму и умопостигаемому, тем в области зримого будет Солнце по
отношению к зрению и зрительно постигаемым вещам".

Теперь мы можем разобраться в том противоречии, с которым выше столкнулись
у Платона: с одной стороны, зрение, как вид ощущения, как "разглядывание
узоров на потолке", противостоит разуму; с другой - "глаза открыли нам
число", т.е. послужили источником разумного постижения.

Солнце - чувственный аналог идеи блага; зримый свет - аналог света
незримого, света разума, зрение - аналог умозрения, нечувственного,
интеллектуального созерцания идей. Но чувственный аналог двойствен, он
может играть двоякую роль: и вести к тому, аналогом чего он является, и
уводить от этого. Если мы будем рассматривать свет солнца как чувственный
аналог другого света, то с помощью солнечного света нам будет открываться
этот другой свет. Если же, напротив, мы будем рассматривать солнечный свет
сам по себе, то нам ничего посредством него не откроется. Все зависит тут
от направленности нашего рассмотрения: мы будем видеть в свете либо аналог
чего-то более высокого, либо просто чувственное явление - и ничего больше.
В первом случае глаза "откроют нам число", во втором - они увидят только
"узоры на потолке".

Итак, свет для Платона есть чувственный аналог сверхчувственной реальности:
способность, с помощью которой мы видим свет, - а именно зрение имеет
двойственный - "гибридный"? - характер. В самом деле, с одной стороны,
зрение - это такое же "ощущение", как и "осязание", "обоняние" и т.д.; ведь
оно "информирует" нас об эмпирической реальности. А с другой - зрение
способно, при соответствующей направленности его, видеть в эмпирическом
мире символы мира сверхэмпирического, например в небе - число.

Этот "двойственный" характер зрения совершенно аналогичен "двойственному"
характеру той стихии, которая служит "началом" для геометров и которую
Платон называет пространством. И, в самом деле, разве не с помощью зрения
открывается нам пространство? И зрение же открывает нам свет. Правда,
пространства мы не видим, а видим только предметы в пространстве; но ведь и
свет сам по себе мы тоже не видим, а видим "освещенные предметы". Свет -
это промежуточная реальность, он есть самое близкое к сверхчувственному
среди чувственных явлений, самое близкое к интеллигибельному среди
материального. Но ведь и пространство неоплатоник Прокл назвал
"интеллигибельной материей"!

Есть, однако, и различие: пространство "неуловимо"; может быть, поэтому в
нем можно как бы "строить" фигуры (с помощью фантазии, а не чертежа, чертеж
- дело вторичное), которые могут быть видимыми моделями невидимых - а
только мыслью познаваемых - отношений. Оно тут как бы "материя", которую
"режет" направляемое идеей воображение геометра. Ведь числа и числовые
отношения - это идея, а геометрические фигуры служат их "зримым подобием".

Что же касается луча света, то он менее неуловим, луч света - это прямая
линия. Не отсюда ли родилась мысль сделать "материей" геометрии не
пространство, а свет - мысль, послужившая началом для создания
геометрической оптики? И, в самом деле, то, что Прокл называет
"интеллигибельной материей", имея в виду пространство геометров,
неоплатоник XIII в. Гроссетет относит уже к свету: свет - это и есть
интеллигибельная материя, и математика изучает его законы.

"Интеллигибельная материя" и обоснование геометрии

Одной из труднейших в идеалистической философии Платона является проблема:
каким образом чувственные вещи оказываются "причастны" идеям? Что
представляет собой эта причастность? Именно в этом пункте идеализм Платона
был подвергнут критике со стороны его ученика Аристотеля, выявившего целый
ряд затруднений, связанных с теорией идей.

Эта же трудность получила свое выражение и в платоновской теории
математического знания. По-видимому, обращение Платона к пифагорейству,
особенно в поздних его диалогах, в том числе и в "Тимее", не в последнюю
очередь было вызвано попыткой рассмотреть проблему "причастности" как
проблему соотношения чисел и геометрических объектов. Более того, при
чтении поздних диалогов Платона иногда возникает впечатление, что именно
этот второй (математический) способ рассмотрения вытеснил собой первый и
что вопрос о том, каким образом вещи "подражают" идеям, теперь стоит в
такой форме: как геометрические объекты "подражают" числам? Здесь проблема
причастности вещей идеям приобрела новый вид: как соотносятся идеальные
образования - числа - с математическими объектами - точками, линиями,
плоскостями, углами, фигурами? Ведь числа, по Платону, - это идеи; что же
касается геометрических объектов, то они носят характер "промежуточный"
между идеями и чувственными вещами. Они уже обременены некоторого рода
"материей", которую Прокл называет "интеллигибельной". Аристотель следующим
образом поясняет, как платоники переходят от чисел к геометрическим
величинам: "что же касается тех, кто принимает идеи... то они образуют
<геометрические> величины из материи и числа (из двойки - линии, из тройки
- можно сказать - плоскости, из четверки - твердые тела...)". О какого рода
"материи" здесь идет речь, мы выше уже говорили. Посмотрим, однако, каким
же образом из чисел образуются величины.

О том, что такое число у Платона, мы кое-что уже знаем благодаря анализу
проблемы единого и многого. В результате этого анализа мы выяснили, что мир
идеального - это определенным образом возникающая система, что ни единое не
может ни существовать, ни быть познаваемо без соотнесенности с "другим", ни
многое не может ни существовать, ни быть познаваемо без соотнесенности с
единым. Эта соотнесенность, единство противоположностей, как раз и дает
начало числу. Единица - это, собственно, не число, а "начало" чисел вообще,
это единое, вносящее принцип определенности в беспредельное. Единица
арифметиков - это "единое", организующее и порождающее числовой ряд. Но,
как мы знаем, единое для порождения числового ряда нуждается в "партнере" -
неопределенной двоице, которая у Платона выступает как "начало иного". Как
мы помним, двойка - это "иное" единого и, как таковая, тоже принадлежит
идеальному миру. Множество, как мы помним, рождается, по Платону, из
единого и "неопределенной двоицы"; не случайно Платон так близок к
пифагорейцам: ведь тройка, согласно Филолаю, это - "первое число", первое
соединение единицы с неопределенной двойкой.

Здесь возникает затруднение, на которое обратил внимание Аристотель. "Если
идеи - это числа, - говорит он, - тогда все единицы <в них> нельзя ни
сопоставлять друг с другом, ни считать несопоставимыми между собой...". В
самом деле, если единица - это единство, а "двойка", содержащая "единое и
иное", может быть названа идеей "различия", тройка, далее, соединяющая
посредством третьего члена "единое" и "иное", может быть названа тождеством
единства и различия, т.е. "целым" и т.д., то Аристотель прав: тут нет
абстрактных, безразличных друг другу единиц, "которые можно сравнивать
между собой". Напротив, двойка, тройка, четверка и т.д. - это определенным
образом организованные структуры, где каждая из "единиц" не может
рассматриваться сама по себе. В то же время в арифметике мы "считаем"
единицы, а значит, они не могут быть несопоставимы между собой. Аристотель
действительно отмечает здесь ту трудность, которая толкала Платона и
особенно его учеников - Спевсиппа и Ксенократа - к различению идеальных
чисел и чисел математических. Но поскольку сам Платон, насколько мы знаем,
этого различия еще не проводил, а различал лишь числа и геометрические
объекты, то мы и обратимся к этому различению.

Геометрические объекты получаются, как мы уже помним, "из материи и числа".
"Интеллигибельная материя" - это пространство. Что означает соединение
чисел с пространством?

Начнем с единицы. Соединение единицы с пространством дает первый
геометрический объект - точку. Точка - это "единица, имеющая положение"
(Аристотель). Но, получив положение, единица тем самым приобщается к
"незаконнорожденному виду" бытия, отличного от идеальной - логической -
стихии, которой единица до этого принадлежала. Точка содержит в себе уже
два ряда свойств: одни - унаследованные от отца - единицы (от мира идей),
другие - приобретенные от матери - неопределенного пространства. От единицы
точка наследует свою неделимость; отсюда и ее определение: "точка - это то,
что не имеет частей" (см.: "Начала" Евклида, кн. I, определение 1). Точку
нельзя разделить потому, что она есть "воплощенное в пространстве" единое,
а единое неделимо по определению. Но у точки появляется и свойство,
совершенно чуждое единице - жилице мира идей: она движется и своим
движением порождает линию. Этим свойством она обязана матери -
интеллигибельной материи - пространству. И движется она именно в
интеллигибельной материи, а не в чувственном мире, т.е. в воображении, а не
в чувственном восприятии.

В результате этих противоположных определений точка, с одной стороны,
является границей (это в ней от единого, оно же предел), а с другой - может
безгранично двигаться (беспредельное), порождая линию. Очень характерны в
этом отношении те определения, которые дает точке Прокл в комментариях к
Евклиду. Говоря о том, что точка - это монада, наделенная положением, Прокл
замечает, что благодаря этой наделенности положением она Щn fantasЕa
proteinetai (простирается в воображении), а потому точ