ьно отличались от первых представителей пифагорейства, мы в то же
время считаем неправомерным заходить в этом разделении слишком далеко16. И
не только потому, что это противоречило бы большей части свидетельств,
согласно которым принцип "все есть число" разделялся и ранними, и более
поздними представителями пифагорейской школы. Важнее другое: именно то
обстоятельство, что ранние пифагорейцы воспринимали число как начало
устроения - и соответственно познания мира, а в исследовании числовых
отношений видели такое же средство спасения души, как и в религиозных
ритуалах, - именно это обстоятельство сыграло важную роль в превращении
математики в науку, научную систему, какой она не была раньше. После того
как математическое знание приобрело строгую форму системы положений,
основанных на доказательстве, какими мы их видим в "Началах" Евклида,
первые шаги математического мышления, связанные с не вполне ясными
мифологическими ассоциациями по поводу числовых отношений, естественно
воспринимаются как нечто больше ненужное, как лишний балласт, осложняющий и
затемняющий теперь уже выявленное существо дела. Но для историка науки,
исследующего процесс рождения математической теории, это выглядит совсем не
так однозначно.

Надо отметить, что среди современных историков античной науки и философии
многие уже не склонны так резко отделять ранний пифагореизм как чисто
религиозное учение от позднейшего, как это делали Дёринг и особенно Франк.
Так, У.К. Гатри, автор многотомного исследования по античной философии,
подчеркивает, что в пифагорейском учении невозможно отделить друг от друга
религиозную и философско-научную стороны, поскольку у пифагорейцев
"математика была религиозным занятием, а декада - священным символом"17. К.
де Фогель в специальной работе, посвященной раннему пифагореизму, также
указывает, что уже во времена Пифагора научным исследованиям уделялось
много внимания18. Г. Юнге в статье, посвященной вопросу об открытии
иррациональности, обращается к раннепифагорейской истории, показывая, что с
самого начала существования этого религиозного союза в нем велись
математические исследования, в частности исследование пентаграммы, в ходе
которого, как предполагает Юнге, и была открыта иррациональность19.

Понимание числа у ранних пифагорейцев

С самого начала существования религиозного ордена, учрежденного Пифагором,
в нем ставились практически-нравственные и религиозные цели Ч очищение
человеческой души для спасения ее от круговорота рождений и смертей.
Поэтому существовал целый ряд строгих предписаний, регламентировавших жизнь
членов ордена. Одним из важнейших средств очищения пифагорейцы считали
научные занятия, прежде всего занятия математикой и музыкой. Как отмечает
А.О. Маковельский, "вера в религиозно-катартическое действие науки дала
силы Пифагору положить основание чистой математики"20.

Действительно, именно в Греции мы наблюдаем изменение роли математического
знания по сравнению с той, какую оно играло в Египте и Вавилоне. Там
математика, как уже отмечалось, носила практически-прикладной характер, она
была техникой расчета, решения задач. При характерном для древнего мира
делении всех сфер жизни на сакральные и профанные (священные и светские)
математика принадлежала ко второй. Без ее помощи не могли обойтись
землемеры и купцы, строители и мореходы, но она не имела непосредственного
отношения к мифологическим представлениям и религиозным культам. Но это не
противоречит тому известному факту, что некоторым числам в древнем мире
придавалось сакрально-мифологическое значение; к ним относится, например,
число пять в Древнем Китае или число семь, игравшее важную роль в
религиозно-мифологических и магических представлениях вавилонян и египтян
более чем за два тысячелетия до н.э. Вот что пишет американская
исследовательница Л. Торндайк, анализируя сакральное значение семерки в
Древней Вавилонии: "В древневавилонском эпосе о сотворении мира, например,
семь духов бури, семь злых болезней, семь областей подземного мира,
закрытых семью дверями, семь поясов надземного мира и неба и т.д. ...Число
семь было очень распространено, носило священный и мистический характер,
считалось совершенным и обладающим особой силой"21. Число семь считалось
сакральным не только у вавилонян, но и у древних евреев и греков: в Ветхом
Завете, у Гесиода и Гомера семерка выступает как священное число. Как мы
увидим далее, ранним греческим философам, и особенно пифагорейцам, отнюдь
не было чуждо выделение сакральных чисел, к которым, кроме семерки,
относили также тройку, а позднее - десятку (декаду). Но не само это
выделение священного числа и не перечисление различных "семериц" или
"декад" из разных областей природной жизни или человеческих установлений
составляли главное направление развития пифагорейской мысли.

Что же касается древних восточных культур, то в них математическое
исчисление, носившее практически-прикладной характер, не было внутренне
связано с выделением священных чисел - семерок, пятерок или троек.
Священное число выступало вовсе не как математическая реалия - к нему
обращались скорее либо в магических заклинаниях, где перечислялись
различные "семерицы" или практиковались тройные, семеричные и т.д.
ритуальные повторы, либо в других ритуальных культовых действиях.
Подбирались и перечислялись группы явлений или процессов, которые
представали как воплощение "семериц" и "троек", и эта процедура тоже
представляла собой одну из древних форм упорядочения и классификации
явлений, подобно тому как в племенах первобытных народов упорядочение
производится, например, по странам света, которым соответствуют
определенные цвета (черный, белый, красный и желтый), виды животных и т.д.
Таким образом, ни развитие математической техники счета и решения задач,
принадлежавшее сфере хозяйственно-практической, ни выделение священных
чисел, имевшее ритуальное, культовое и мифологическое значение, не привело
на Древнем Востоке к возникновению математики как системы теоретического
знания.

Пифагорейцы первыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга:
числа и числовые отношения они стали рассматривать как ключ к пониманию
вселенной и ее структуры. Они впервые пришли к убеждению, что "книга
природы написана на языке математики", как спустя почти два тысячелетия
выразил эту мысль Галилей.

Для представлений о науке, как они сложились к XVIIЧXVIII вв., особенно у
философов эпохи Просвещения, характерно убеждение в том, что наука по
своему существу противоположна религии. Это представление отражает тот
период в развитии науки, когда ученым приходилось вести борьбу с религией
за возможность свободного научного исследования. Но применительно к другим
периодам развития науки это представление оказывается не всегда
справедливым. Исторически научное знание вступало в самые различные - и
порой весьма неожиданные - отношения с мифологической, религиозной и
художественной формами сознания22. Так, перемещение математических
исследований из сферы практически-прикладной в сферу
философско-теоретическую, еще не отделившуюся от религиозно-мистического
восприятия мира, послужило тем историческим фактором, благодаря которому
математика превратилась в теоретическую науку.

Нет ничего удивительного в том, что мыслители, впервые попытавшиеся не
просто технически оперировать с числами (т.е. вычислять), но понять саму
сущность числа, сущность множества и характер отношений различных множеств
друг к другу, решали эту задачу первоначально в форме объяснения всей
структуры мироздания с помощью числа как первоначала. Прежде чем появилась
математика как теоретическая система, возникло учение о числе как некотором
божественном начале мира, и это, казалось бы, не математическое, а
философско-теоретическое учение сыграло роль посредника между древней
восточной математикой как собранием образцов для решения отдельных
практических задач и древнегреческой математикой как системой положений,
строго связанных между собой с помощью доказательства. Вот почему нам
кажется неправомерной попытка некоторых историков науки принципиально
отделить пифагорейских математиков эпохи Платона от ранних пифагорейцев.

Исторические источники свидетельствуют, что Пифагор занимался не только
математикой. Так, Гераклит упрекает его в "многознании": "Пифагор, сын
Мнесарха, предался исследованию больше всех людей и, выбрав для себя эти
сочинения, составил себе (из них) свою мудрость: многознание и обман"23.
Помимо учения о бессмертии души, ее божественной природе и ее
перевоплощениях, Пифагор учил о том, что все в мире есть число, занимался
исследованием числовых отношений как в чистом виде, так и применительно к
музыкальной гармонии, которая, по преданию, именно им была открыта. Ему,
видимо, принадлежит также учение о беспредельном и пределе и представление
о беспредельном как четном, а о пределе - как нечетном числе24.

Учение о пределе и беспредельном

С представлением о противоположности предела и беспредельного связана также
космология ранних пифагорейцев, согласно которой мир вдыхает в себя
окружающую его пустоту и таким образом в нем возникает множественность
вещей. Число, т.е. множество единиц, возникает тоже из соединения предела и
беспредельного. Мир, следовательно, мыслится здесь как нечто завершенное,
замкнутое (предел), а окружающая его пустота - как нечто аморфное,
неопределенное, лишенное границ - беспредельное. Противоположность "предел
- беспредельное" первоначально была близка к таким мифологическим
противоположностям, носящим ценностно-символический характер, как свет -
тьма, доброе - злое, чистое - нечистое и т.д. Об этом свидетельствует и
высказывание Аристотеля о пифагорейцах, где дается перечень десяти пар
противоположностей:

предел - беспредельное,покоящееся - движущееся,нечет - чет,прямое -
кривое,единое - множество,свет - тьма,правое - левое,хорошее -
дурное,мужское - женское,квадрат - параллелограмм25.Из этих
противоположностей строится все существующее, и само число рассматривается
тоже как состоящее из противоположностей - чета и нечета. Как сообщает
Аристотель, "элементами числа они (пифагорейцы. - П.Г.) считают чет и
нечет, из коих первый является неопределенным, а второй определенным;
единое состоит у них из того и другого - оно является и четным и нечетным,
число <образуется> из единого, а <различные> числа, как было сказано, это -
вся вселенная"26.

Единое, или единицу (monЁj), пифагорейцы, как видно из приведенного текста
Аристотеля, ставили в особое положение: единица для них - это не просто
число, как все остальные27, а начало чисел; чтобы стать числом, все должно
приобщиться к единице - она же единство. Определение единицы, как его дает
Евклид в VII книге "Начал", явно восходит к пифагорейскому: "Единица есть
то, через что каждое из существующих считается единым"28. Поэтому
пифагорейцы не считают единицу нечетным числом (они вообще не считают ее
числом, а скорее началом числа)29; первым четным числом у них является
двойка, а первым нечетным - тройка.

Но почему четное соотносится с беспредельным, а нечетное - с пределом?
Чтобы понять это, надо иметь в виду, что для пифагорейцев числа имели также
зрительный образ; число для них было не просто количеством, а имело
качественную характеристику. Это, видимо, было связано также и с тем, что
древние математики изображали числа геометрически. "Представлять числа в
виде геометрических образцов, - пишет У.К. Гатри, - было обычной практикой
пифагорейцев; вероятно, это была самая ранняя практика и у греков, и у
других народов"30. Благодаря этому арифметика и геометрия у пифагорейцев
были очень тесно связаны. Поэтому пифагорейцы различали линейные, плоские и
телесные числа. Так, единица у них выступала как точка, двойка - как линия
(две точки), тройка - как плоскость (рис. 1), четверка - как тело ("первое"
тело - пирамида; рис. 2).



Рис. 1 Рис. 2

Теперь присмотримся к характеру первого четного и первого нечетного чисел.
Первое нечетное - тройка - имеет начало, конец и середину. Оно тем самым, с
точки зрения пифагорейцев, завершено и довлеет себе, есть замкнутое целое.
Тройка, согласно пифагорейцам, - это элементарный треугольник, совершенная
фигура. Что же касается двойки, то у нее недостает середины, поэтому она не
имеет центра в себе и ей свойственно растекаться в беспредельность31. И в
самом деле, двойка - это определение линии, а линия неограниченно
простирается в обе стороны32.

Аристотель в "Физике" разъясняет пифагорейское учение о чете и нечете
следующим образом: "...пифагорейцы считают бесконечное четным числом, оно,
будучи заключено внутри и ограничено нечетным числом, сообщает существующим
вещам бесконечность. Доказательством служит то, что происходит с числами:
именно, если накладывать гномоны вокруг единицы и сделать это далее (для
четных и нечетных отдельно), в одном случае получается всегда особый вид
фигуры, в другом - один и тот же"33.

Гномоном в Древней Греции назывался вертикальный стержень, поставленный на
горизонтальной плоскости (первые солнечные часы). Пифагорейцы именовали
гномоном фигуру, полученную при операции образования большего квадратного
числа из меньшего. Гномонами они называли нечетные числа, так как
обнаружили, что если их последовательно прибавлять к единице, то они
сохраняют фигуру квадрата: 1 + 3 = 22; 4 + 5 = 32 и т.д. Графически это
изображалось следующим образом (рис. 3). Последовательные гномоны имеют
форму, изображенную на рис. 4. Как видим, путем наложения гномонов
сохраняется один и тот же вид фигуры - квадрат. Именно это свойство
нечетных чисел - образовывать в результате их прибавления одну и ту же,
хотя и возрастающую в размерах, фигуру - было существенно для пифагорейцев.



Рис. 3 Рис. 4

А что имеет в виду Аристотель, говоря о другом случае - о случае, когда
каждый раз возникает особая фигура? Оказывается, если складывать числа
четные, то будем получать не квадрат, а прямоугольник: 2, 6, 12, 20 и т.д.
Эти числа пифагорейцы называли "прямоугольными" в отличие от первых -
"квадратных": 4, 9, 16, 25 и т.д. Четные числа впоследствии стали называть
гномонами прямоугольников. Нечетное число, таким образом, сохраняет себя
(свою форму), а потому оно - предел, единое, покоящееся, прямое,
квадратное, хорошее; четное же теряет свою форму: оно беспредельное,
множество, движущееся (изменчивое), кривое, неквадратное (разностороннее),
дурное.

Для ранних пифагорейцев вообще характерно стремление к выделению
совершенных чисел, т.е. таких, в которых воплощаются особенно значимые, с
их точки зрения, связи природы и человеческой души. Такое рассмотрение
числа, по-видимому, восходит к мифологической и культовой символике, но у
пифагорейцев операции с совершенными числами ведут к установлению ряда
числовых соотношений, важного для дальнейшего развития математики в Древней
Греции.

Числовая символика пифагорейцев

В пифагорейском союзе первоначально уделялось много внимания числовой
символике. Так, к уже ранее найденным семеркам - семь элементов, семь сфер
вселенной, семь частей тела, семь возрастов человека, семь времен года и
т.д. - пифагорейцы прибавили семь музыкальных тонов и семь планет. Однако
уже первые операции над числами привели к тому, что семерка уступила место
десятке. О том, как это произошло, дает представление следующий отрывок из
Лаврентия Лида: "Итак, правильно Филолай назвал число 7 "не имеющим
матери". Ибо оно по своей природе ни рождает, ни рождается. Не рождающее же
и не рождаемое - неподвижно"34. Этот отрывок дает представление о
символическом языке пифагорейцев. Смысл сказанного на этом языке таков:
семерка - простое число, она не возникает из множителей, как другие числа:
4, 6, 8, 9, 10. Можно, правда, рассматривать ее как произведение 1(7, но
положение единицы как сомножителя в пифагорейской математике
неоднозначно35. Именно поэтому в некоторых свидетельствах сообщается о том,
что семерка не рождена от матери, но имеет только отца - монаду (в этом
случае единица принимается за сомножитель); в других же случаях говорится,
что у нее нет ни матери, ни отца. Семерка была низведена с пьедестала
самого совершенного числа и уступила место десятке потому, что, как
сообщают свидетельства, она неподвижна, не рождается от других чисел и сама
не рождает36.

Сам по себе переход от семерки к десятке как совершенному числу37 не
означает какого-то существенного сдвига, ибо происходит еще в русле
прежнего, сакрально-мифологического отношения к "священному числу". Но
мотивировка этого перехода нам представляется весьма существенной для
понимания того, как в пифагорейской школе совершался переход от древней
мифолого-сакральной числовой символики к выявлению математических числовых
отношений.

В самом деле, как рассматриваются числа, освященные в разных древних
культурах, - семерка, пятерка, тройка и другие? Точно так же, как мы уже
видели у Гиппократа: в форме перечисления семеричных реалий: природных
стихий, времен года, периодов человеческой жизни и т.д. И чем больше
обнаруживается такого рода семеричных, пятеричных, троичных реалий, тем
ярче становится ореол совершенства вокруг семерки, пятерки, троицы.
Возможно, и пифагорейцы начали именно с этого. (И не только начали - они и
в дальнейшем продолжали вскрывать подобного рода инварианты, только уже в
виде инвариантных пропорций, что существенно меняло способ их анализа
числа.) Но, начав с этого, они вскоре перешли от семерки к десятке, потому
что семерка "не рождает". А это значит, что их внимание сосредоточилось не
только на выявлении семеричности в природе, но и на связи чисел друг с
другом и отношении их между собой. Они обнаружили, что числа вступают между
собой в определенные отношения, что их произведения, суммы, разности дают
некоторые значимые сочетания, что именно эти сочетания - а не просто сами
числа - выражают собой вещи и их закономерности. Десятка "рождает" -
значит, в десятке уже скрыто содержится ряд важных числовых соотношений и
фигур.

Новое понимание числа могло возникнуть только тогда, когда существенным
стало различение чисел четных и нечетных, первых (простых) и вторых
(сложных) и когда стремление проанализировать отношения между числами,
формы их связи между собой привело к установлению отношений прежде всего
двух последовательных чисел натурального ряда, n и n + 1. В этом смысле
первая десятка, по убеждению пифагорейцев, уже содержит в себе все
возможные типы числовых отношений38 (а пифагорейцы признавали 10 видов этих
отношений).

Пояснением к этому может служить отрывок из Спевсиппа, взятый из
"Теологумен", переведенный и прокомментированный П. Таннери: "...10
заключает в себе все отношения равенства, превосходства, подчиненности,
возможные между последовательными числами, и другие, а равно линейные,
плоские и телесные числа, так как 1 есть точка, 2 - линия, 3 - треугольник,
4 - пирамида, и каждое из этих чисел первое в своем роде и начало ему
подобных. А эти числа образуют первую из прогрессий, а именно разностную, и
общая сумма ее членов - число 10... В плоских и телесных фигурах первые
элементы также точка, линия, треугольник и пирамида, заключающиеся в числе
10 и в нем же находящие свое завершение. Так, например, у пирамиды (имеется
в виду "первая" пирамида - тетраэдр. - П.Г.) 4 угла или 4 грани и 6 ребер,
что составляет 10. Интервалы и пределы точки и линии дают также 4, стороны
и углы этого треугольника - 6, т.е. опять-таки 10"39. Говоря о том, что
точка, линия, треугольник и пирамида составляют число 10, Спевсипп имеет в
виду числовое выражение точки, линии, треугольника и пирамиды, т.е. 1 + 2 +
3 + 4 = 10, что, будучи изображено графически, дает совершенный треугольник
- знаменитую пифагорейскую тетрактиду, или четверицу (рис. 5).









Рис. 5

Декада, таким образом, есть также равносторонний треугольник, а это,
согласно пифагорейцам, совершенная фигура.

Дела