ка Ьnul'n Щsti katІ
tЊn nohtЊn џlhn (оматериалена через интеллигибельную материю) и в этом
смысле есть нечто swmatoeidhV (теловидное).

Перейдем к двойке. Что будет с двойкой, если она соединится с
интеллигибельной материей - пространством? Двойка - это "единое и иное",
это начало различия, когда единое перестает быть абсолютно единым и
вступает в контакт с иным. Строго говоря, когда единица становится
пространственной, т.е. вступает в контакт "с положением", а значит, с
"иным", чем она сама, она уже двойка. И действительно, со стороны того
определения, которое она получает от этого контакта, от "положения"
(пространственности), она есть движущееся; а движущаяся точка - это линия.
(Правда, не будем забывать, что со стороны первого своего определения -
единицы - точка есть граница, т.е. нечто устойчивое, неподвижное,
закрепляющее.)

Но можно провести рассуждение и иначе. Если взять двойку не со стороны
"материи" (движущаяся точка), а со стороны ее числово-идеального "отца", то
она есть две единицы. Две единицы, соединившиеся с пространством (т.е. с
положением), будут двумя точками. Линия со стороны числа, т.е. своего
логического, а не пространственного происхождения, определяется через "две
точки". Таково ее определение у Евклида: "Концы же линии - точки" (кн. I,
определение 3). Вот почему среди греческих математиков само собой
разумелось, что линия - это двойка. Через двойку далее можно определять
линию не только логически, но и "в воображении", т.е. погружая "двойку" в
"интеллигибельную материю"; такое определение, однако, в отличие от первого
будет включать в себя движение (cЕnhsiV fantasticї), а потому будет не
логическим определением, а требованием осуществить некоторое действие -
постулатом. Первый постулат Евклида гласит: "Требуется, чтобы можно было
через всякие две точки провести прямую".

Займемся теперь тройкой. В сущности, тройка у Платона является первым
числом: ведь единица и "неопределенная двоица" - это скорее "начала" чисел,
чем сами числа. Тройка же представляет собой единство единицы и двойки,
т.е. начала ограничивающего и безгранично-неопределенного. Двойка,
выражающая начало "различия", соединившись с материей-пространством,
предстает как линия, неограниченно продолжающаяся в обе стороны. У двойки,
как мы знаем еще из разбора пифагорейской математики, нет "середины",
которая "удержала" бы ее "концы", "скрепила" бы их друг с другом. В тройке
эта середина налицо, а потому тройка - нечетное число - устойчива и довлеет
себе. Но как в пространстве соединяется двойка-линия с единицей-точкой?
Возьмем точку вне прямой и соединим ее отрезками с концами прямой; тем
самым мы произведем операцию в пространстве, аналогичную соединению трех
единиц или двойки и единицы. В результате мы получим новый геометрический
объект - треугольник. (Построение правильного, т.е. равностороннего
треугольника на данной ограниченной прямой, или операция нахождения точки,
равноотстоящей от двух других точек ("концов" прямой) - первая теорема I
книги "Начал" Евклида.)

В результате соединения точки с прямой (единицы с двойкой в пространстве)
прямая больше уже не может неограниченно продолжаться в обе стороны: третья
точка "держит" оба ее конца. Как "тройка" - первое настоящее число, так и
треугольник - первая пространственная фигура: точка и линия - это элементы,
"начала", из которых строятся геометрические фигуры.

При этом "переведении" чисел в пространство каждое новое число представляет
пространственный элемент нового измерения: единица не имеет измерений ("не
имеет частей"); двойка имеет одно измерение - "длину без ширины" ("Начала"
Евклида, кн. I, определение 2); тройка имеет два измерения - длину и
ширину. Треугольник, таким образом, есть "первая" (не во временн(м, а в
логическом смысле) плоскость, ибо тройка означает два измерения.

Наконец, четверка, соединившись с "материей" пространства, даст в
результате три измерения. Если возьмем точку, лежащую вне нашего
треугольника, и соединим ее с вершинами последнего, то получим уже
трехмерное тело - пирамиду (тетраэдр), которая будет парадигмой, образцом
объемных образований, "первым телом" опять-таки в логическом плане. Подобно
тому как идеи у Платона являются идеальными образцами чувственных вещей,
точно так же треугольник и пирамида являются у него промежуточными - не
идеальными, но и не чувственно-телесными - образцами всех двухмерных
(плоскостных) и трехмерных (объемных) объектов. И если мы будем называть
это "промежуточное" начало, эту "интеллигибельную материю" пространством,
то, стало быть, треугольник - это "первая", исходная, элементарная
"клеточка" тела.

Но это не значит, что плоскость "складывается" из треугольников наподобие
того, как одеяло сшивается из лоскутов. Отношение "образца" к тому,
образцом чего оно является, иное, чем отношение атома к составленным из
атомов телам. Как писал неоплатоник эпохи Возрождения Марсилио Фичино, "при
построении правильных тел из элементарных треугольников имеется в виду не
столько слагать их, сколько сравнивать друг с другом (comparanda haec inter
se potius quam componenda)".

Итак, относительно онтологического статуса геометрических объектов мы можем
теперь сказать следующее: Платон исходит из различения трех видов
реальности. "Есть бытие, есть пространство и есть возникновение". "Бытие" -
это сфера идеального, куда Платон относит и числа; все идеальное
постигается умом, и о нем возможно истинное знание - эпист(ме.
"Возникновение" - это сфера чувственного "бывания", она дана чувственному
восприятию, и о ней возможно иметь лишь мнение в его двух видах - веры и
уподобления. "Пространство" - это нечто такое, что нельзя назвать ни
идеальным в строгом смысле, ни чувственным; оно смутно и неопределенно,
познается с помощью "незаконнорожденного рассуждения", т.е. воображения,
как позднее определил Прокл. Объекты геометрии, однако, связаны с этим
промежуточным родом бытия, хотя и не определяются только им одним.
Поскольку они "воображаются", т.е. поскольку точка "движется" в
воображаемом пространстве, они определяются этим последним. Поскольку же
всякий геометрический объект (треугольник, квадрат, круг и т.д.)
представляет собой некоторое число или числовое отношение, постольку он
определяется не через пространство, а идеально, логически. Геометрические
объекты, стало быть, тоже можно рассматривать как "гибриды": в них
логическое оказывается "сращенным" с некоторого рода "материей", а именно с
пространством.

Поскольку, однако, точка, линия, треугольник, пирамида и т.д. - это
воплощенные идеальные образования, постольку они неделимы. Отсюда учение
платоников не только о неделимых точках, но и о неделимых линиях, неделимых
треугольниках или, что то же самое, неделимых поверхностях. "Разделить"
точку, "первую" линию, "первый" треугольник - это все равно, что
"разделить" понятие тождества, различия или "единства различных", ибо
именно таковы "понятия" точки, линии и плоскости. О "делении" применительно
к этим первым элементам можно, согласно платоникам и пифагорейцам, говорить
только в одном смысле, а именно в смысле уменьшения числа измерений. Так,
например, в результате "разделения" треугольника, т.е. плоскости, получим
не плоскости, меньшие по своей величине, а линию; в результате деления
линии - не все меньшие линейные отрезки, а точку. В этом состоит различие
между платоновским и демокритовским пониманием неделимого. Согласно
Демокриту, при делении тела мы получаем в конце концов далее неделимые
элементы того же измерения, что и само тело.

И в самом деле, у Платона числовые (т.е. идеально-логические) элементы
треугольника (тройки) - это двойка и единица. Как можно "поделить" тройку?
Только разложив ее на эти "элементы" - в результате вместо треугольника
будет линия (двойка). То же и с линией. Но разве мы не можем разделить
линию не как двойку, а как "движущуюся" в воображении точку, ибо ведь линия
порождается этой движущейся точкой? На этот вопрос платоники, как кажется,
должны ответить так: эту проводимую в воображении линию мы можем разделить,
но мы разделим при этом не линию, а только некое чувственно воспринимаемое
протяженное тело, которое будет "телом линии" лишь при одном условии: если
оно - двойка. А двойку мы не можем делить иначе чем на единицы, т.е.
применительно к геометрии, точки.

Математические неделимые: споры вокруг них в античности

Однако такого рода объекты-кентавры - линии, треугольники и т.д. - могли
вызывать затруднения в силу смешения двух аспектов: числового (идеального,
логического) и пространственного - воззрительного, наглядного. Естественно,
что при этом "неделимые линии" представлялись как "мельчайшие": ведь они -
первые, из них - все остальное, и любой отрезок прямой тогда оказывается
состоящим из этих неделимых (атомарных) линий, аналогично тому, как у
Демокрита тело - из мельчайших частиц того же измерения.

Именно на этом смешении двух способов рассмотрения - числового и
пространственного - основан трактат "О неделимых линиях", который
приписывался Аристотелю, но принадлежит, возможно, Теофрасту. В нем дается
критика учения платоников о неделимых линиях. Среди платоников это учение
разрабатывал прежде всего Ксенократ, хотя, как сообщает Аристотель, оно уже
было и у Платона.

Но автор трактата о неделимых линиях исходит из представления о том, что
последние представляют собой "мельчайшие" в пространственном (а не
логическом) смысле линии-атомы, из которых слагается (вспомним
предостережение Фичино) "большая" линия. А при таком понимании неделимых
линий действительно возникает целый ряд противоречий и неувязок, которые
автор и перечисляет.

Если допустить эти "линии-атомы", то: "1... все линии (отрезки) были бы...
соизмеримыми (sЏmmetroi). Ибо все они были бы измеримыми при помощи атомов
(-линий), как те, которые соизмеримы просто по длине, так и те, которые
соизмеримы (только) в квадрате... 2. Далее, раз из трех данных прямых
образуется треугольник, то треугольник можно составить также из трех
линий-атомов. Но в каждом равностороннем треугольнике высота (проведенная
из вершины) проходит через середину (основания), а следовательно, и через
середину атомов (-линий)... 3. Далее, присоединение одной линии к другой не
могло бы увеличить всей линии. Ибо неделимые линии, взятые в совокупности,
не образуют ничего большего..." Мы не будем перечислять остальные
аргументы, так как характер критики уже понятен.

Приведенные два первых аргумента неизвестного автора почти полностью
повторяют те, которые высказал Аристотель против допущения неделимых
физических атомов Демокрита. Аристотель показал, что допущение такого рода
"последних неделимых" противоречило бы самым очевидным положениям
математики, ибо тогда, во-первых, все отрезки были бы соизмеримы (они имели
бы атом в качестве наименьшей меры), а во-вторых, невозможно было бы
поделить точно пополам отрезок, содержащий нечетное число атомов (ибо тогда
надо было бы разделить атом). Что касается третьего аргумента, то он
приводился уже у Зенона и неоднократно воспроизводился у Аристотеля: если
атомы - это точки, лишенные всякой величины, то сумма их тоже не даст
величины (этого аргумента Аристотель против Демокрита не выставлял, ибо его
атомы - не математические точки, а минимальные величины - тела).

Однако при этом интересно отметить одно обстоятельство. Аристотель,
неоднократно отмечавший, что допущение атомизма Демокрита не может
согласоваться с математикой, ибо математика исходит из непрерывного
континуума, в то же время нигде не приводит того же аргумента против
Платона и его учеников. Хотя если бы он понимал математические "неделимые"
так же, как автор цитированного трактата, то должен был обрушиться на них
еще резче, чем на Демокрита. Тем более что по другим аспектам обоснования
математики Аристотель постоянно полемизирует с платониками. Не потому ли он
не указывал на несостоятельность учения о математических неделимых, что был
лучше осведомлен о том, как трактовали их платоники?

Учение пифагорейско-платоновской школы о "неделимости" математических
объектов - точки, линии, треугольника, пирамиды - оказало большое влияние
на дальнейшее развитие математики как в эпоху эллинизма, так и в средние
века и особенно в эпоху Возрождения.

В связи с проблемой математических неделимых встает еще один, может быть,
наиболее трудный вопрос. Мы уже знаем, что "разделить" математический
объект, например плоскость, - это значит получить математический объект
другого измерения; плоскость двухмерна; будучи "разделенной", она
превращается в линию, т.е. в одномерное образование. Но что же это за
способ деления? Как видим, он совсем не похож на обычное представление о
делении как расчленении тела на части: в результате деления мы здесь как бы
совершаем прыжок в другой мир, ибо переход от измерения к измерению
непонятен ни с точки зрения логики, ни с точки зрения "мнения", т.е.
обычного представления о делении объекта.

Та же неясность возникает и при действии "умножения", т.е. при переходе от
одномерного к двухмерному образованию, а от него - к трехмерному. Выше мы
видели, что, с точки зрения платоника Прокла, "переход" от точки к линии и
от линии к плоскости можно как бы созерцать в воображении: движение точки в
интеллигибельной материи, пространстве, дает в результате линию; линия -
это как бы след движущейся точки в пространстве, след, удерживаемый
воображением. Но созерцание движения точки, линии или плоскости - это еще
не логическое объяснение перехода от объекта одного измерения к объекту
двух или трех измерений. Возможно ли логическое объяснение такого перехода,
можно ли постигнуть его в понятии?

Для ответа на этот вопрос обратимся вновь к диалогу Платона "Парменид". При
анализе этого диалога мы сознательно опустили одно из рассуждений, одну из
"гипотез" Платона, которая как раз теперь, может быть, прольет некоторый
свет на интересующий нас вопрос. В этом рассуждении Платон рассматривает
проблему приобщения единого к бытию: каким образом может происходить такое
приобщение? Такая проблема возникла для Платона после того, как он пришел к
заключению, что если единое существует, то оно есть многое. Теперь же он
ставит вопрос так: "Если единое таково, каким мы его проследили, то не
должно ли оно, будучи, с одной стороны, одним и многим, и не будучи, с
другой стороны, ни одним, ни многим, а кроме того, будучи причастным
времени, быть какое-то время причастным бытию, поскольку оно существует, и
какое-то время не быть ему причастным, поскольку оно не существует?"

Приобщение к бытию - это возникновение, а отрешение от бытия - гибель; но
это только крайние из состояний, в какие может переходить система "единое -
многое"; помимо них, существуют промежуточные состояния, такие, как
увеличение и уменьшение, уподобление и становление неподобным, разъединение
многих и соединение (многих) в единое, - одним словом, все виды переходов
из одного состояния в другое - переходов, которые все заданы уже крайними
переходами из бытия в небытие и обратно. К числу этих переходов Платон
относит также переход от покоя к движению и обратно, замечая при этом, что,
пока что-то движется или покоится, оно находится во времени, но когда оно
переходит от покоя к движению, то в момент перехода оно и не движется, и не
покоится (что, кстати, можно рассматривать и как "третье" - как
характеристику "становления"). "Ведь не существует времени, в течение
которого что-либо могло бы сразу и не двигаться, и не покоиться... Так
когда же оно изменяется? Ведь и не покоясь, и не двигаясь, и не находясь во
времени, оно не изменяется... В таком случае не странно ли то, в чем оно
будет находиться в тот момент, когда оно изменяется?" Если, двигаясь или
покоясь, нечто находится во времени, то в момент перехода от движения к
покою оно не находится во времени. Чем же в таком случае является то, "в
чем" оно находится в момент перехода? Оно является, по Платону,
вневременным "вдруг". "Ибо это "вдруг", видимо, означает нечто такое,
начиная с чего происходит изменение в ту или другую сторону. В самом деле,
изменение не начинается с покоя, пока это - покой, ни с движения, пока
продолжается движение; однако это странное по своей природе "вдруг" лежит
между движением и покоем, находясь совершенно вне времени; но в направлении
к нему и исходя от него изменяется движущееся, переходя к покою, и
покоящееся, переходя к движению" (курсив мой. - П.Г.).

Это вневременное "вдруг" не подлежит никакому закону или правилу: ни
логическому, ни тем правилам, которые мы извлекаем из опыта и которые, хотя
они, по Платону, и имеют всего лишь статус "мнения", все-таки дают
возможность определять, как ведет себя движущееся или покоящееся тело.
"Переход" представляет собой "скачок". Этот переход, по Платону,
осуществляется везде, где происходит изменение: всякое изменение у него -
это превращение в противоположное. "Но разве не так обстоит дело и при
прочих изменениях? Когда что-либо переходит от бытия к гибели или от
небытия к возникновению, происходит его становление между некими движением
и покоем, и оно не имеет в тот момент ни бытия, ни небытия, не возникает и
не гибнет".

Введение этого "вдруг", которое лежит вне времени и которое есть чистое
"между" - ни то, ни другое из двух противоположных состояний, весьма
характерно для мышления Платона. Переход из одной противоположности в
другую ничем не опосредован, вернее, опосредован этим странным по своей
природе "вдруг", внезапным переходом, который выступает как провал в
бездонную пропасть, и эта-то пропасть и образует границу между двумя
противоположными состояниями.

Видимо, переход от одного измерения к двум, от двух - к трем представляет
собой такой же скачок; одномерная линия, двухмерная плоскость и трехмерное
тело - это как бы три разных "состояния", между которыми - скачок,
внезапный переход, осуществляемый не во времени, а "вдруг". "Деление",
благодаря которому происходит "скачок" от n-мерного к n + 1-мерному миру,
предполагает всякий раз "переход в другой род". Может быть, трудности
понимания платоновского перехода в диалоге "Тимей" от треугольников к
правильным многогранникам, а от них - к "стихиям": огню, воде и т.д. -
также связаны с такого же рода "скачком"? Во всяком случае, подобное
допущение не противоречит методу Платона.

Космология и физика Платона. Понятие материи

Как относился Платон к возможности исследования природы? Считал ли он
возможным создание науки о природе - физики, которая обладала бы такой же
достоверностью, как и математика? Исходя из убеждения Платона о том, что
чувственный мир не может быть предметом научного знания - не только высшего
(эпистеме), но и промежуточного уровня (дианойя), можно заключить, что он
должен был отрицательно относиться к возможности создания физики как науки
о природном бытии. И действительно, в диалоге "Тимей", где Платон в конце
жизни попытался изложить свою космогонию и физику, читаем: "О непреложном,
устойчивом и мыслимом предмете и слово должно быть непреложным и
устойчивым... Но о том, что лишь воспроизводит первообраз и являет собой
лишь подобие настоящего образа, и говорить можно не более как
правдоподобно. Ведь как бытие относится к рождению, так истина относится к
вере. А потому не удивляйся, Сократ, если мы, рассматривая во многих
отношениях много вещей, таких, как боги и рождение Вселенной, не достигнем
в наших рассуждениях полной точности и непротиворечивости. Напротив, мы
должны радоваться, если наше рассуждение окажется не менее правдоподобным,
чем любое другое, и притом помнить, что и я, рассуждающий, и вы, мои судьи,
всего лишь люди, а потому нам приходится довольствоваться в таких вопросах
правдоподобным мифом, не требуя большего". Как видим, ни о возникновении
космоса, ни о его строении невозможно получить точное и достоверное знание;
приходится довольствоваться "правдоподобным мифом". Физика, по Платону,
так