но отношению r/b на рис. 3.
При r = 1 получаем:
SP cos = PM
PM = 1 + e cos .
Из этого следует, что планетарные орбиты выражаются формулой
(6)                                           
После изнурительных трудов - "paene usque ad insanium" - Кеплер установил, что уравнение (6) выражает формулу эллипса, хотя и приблизительно (надо напомнить, что математический аппарат, доступный Кеплеру, был еще достаточно примитивен).
Итак, и на этой стадии, как мы видим, Кеплер вновь прибегает к использованию предположений, спекуляций и грубых приближений; более того, проверка уравнения (6) предполагает сравнение значений SPe с теми значениями, которые были получены методами определения расстояния, применяемыми Кеплером; критические замечания об этих методах были сделаны выше.
В заключение рассмотрим еще один шаг Кеплера (см. рис. 6).

В соответствии с формулой (1) здесь также должно выполняться соотношение
(7)                              .
Другими словами, время t, необходимое, чтобы планета прошла по эллиптической дуге QPc, относится ко времени T, затрачиваемому на прохождение всей орбиты, так, как площадь SQPc относится к общей площади эллипса, где b - радиус малой оси, а большая ось принята за 1. Здесь Кеплер делает предположение, аналогичное тому, какое уже было сделано ранее (см. рис. 4 и 5):
(8)                              .
Согласно (1)
.
Если подставить это значение в (8) и (7), то в результате простых вычислений получим:
.
Решающий шаг в этом выводе - принятие за исходный пункт уравнения (7) - есть не что иное, как новое и не менее проблематичное применение теоремы Архимеда; теперь она применяется к сектору эллипса, вершиной которого является один из его фокусов, в котором помещается Солнце.
Теперь можно сформулировать два первых закона Кеплера [ср. уравнение (6)]:
(9)                              
(10)                            
Уравнение (10) говорит о том, что планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Уравнение (9) говорит, что в равные промежутки времени радиус "Солнце-планета" пробегает равные площади.
По отношению к Марсу, который является центральной проблемой и исходным пунктом всех рассуждений, это означает, что ? и e в уравнении (9) могут быть определены только благодаря ранее отброшенным (даже в усовершенствованном виде) hypothesis vicaria. Поэтому они использовались как при вычислениях SPс, так и в методе оценки и проверки полученного результата (включая определение трех положений Марса по отношению к одной и той же позиции Земли).
Вот как в действительности обстояли дела с обоснованием двух первых законов Кеплера, обоснованием, которое еще и сегодня часто представляют чем-то таким, что возникло исключительно на базе опыта.
Кстати сказать, теория Птолемея в сравнении с теорией Кеплера вовсе не проигрывает, ибо, во-первых, из-за малости орбитальных эксцентриситетов планет система Птолемея описывает движения планет почти с той же точностью, как теория Кеплера (что же касается Меркурия, то он является для обеих теорий своего рода enfant terrible); во-вторых, аксиома Платона имела ясное философское обоснование, тогда как для Кеплера эллиптическая форма планетарных орбит, естественно, оставалась загадкой. Его попытка обосновать эту форму спецификой движений планет не привела к успеху. В-третьих, то же можно сказать о его усилиях опровергнуть аристотелианскую аргументацию против идеи вращения Земли. Все это было типичными гипотезами ad hoc[50]. Неудивительно, что его "Новая астрономия" была встречена современниками без всякого энтузиазма.
Анализ методов и доказательств, фигурирующих в "Новой астрономии", позволяет нам сказать со всей определенностью: если бы Кеплер следовал доктринам, принятым в теории науки нашего времени, он должен был бы отбросить оба своих закона, значимость которых вряд ли кто-либо сегодня осмелится отрицать. Покажем это на двух примерах: методологии науки Поппера-Лакатоса и индуктивной логики Карнапа.
5.2. "Новая астрономия" Кеплера в свете философии 
науки Поппера и Лакатоса
Основной методологический постулат Поппера гласит, что научная теория должна быть фальсифицируемой. Если же фальсификация уже произошла, нам не следует предотвращать крах теории с помощью гипотез ad hoc или других допущений. Поппер пишет: "Если такое решение положительно, то есть если сингулярные следствия оказываются приемлемыми, или верифицированными, то теория может считаться в настоящее время выдержавшей проверку, и у нас нет оснований отказываться от нее. Но если вынесенное решение отрицательное или, иначе говоря, если следствия оказались фальсифицированными, то их фальсификация фальсифицирует и саму теорию, из которой они были логически выведены"[51].
О каком "решении" здесь идет речь? Этот термин означает, что так называемые базисные предложения (под которыми Поппер понимает сингулярные экзистенциальные предложения типа: то-то и то-то существует в такой-то и такой-то пространственно-временной области)[52] противоречат или не противоречат данной теории. Но если теории противоречат только отдельные сингулярные базисные предложения, у нас еще нет основания считать теорию фальсифицированной. "Мы будем считать ее фальсифицированной только в том случае, если нам удалось открыть воспроизводимый эффект, опровергающий теорию. Другими словами, мы признаем фальсификацию только тогда, когда выдвинута и подкреплена эмпирическая гипотеза низкого уровня универсальности, описывающая такой эффект. Подобные гипотезы можно назвать фальсифицирующими гипотезами"[53]. В качестве примера Поппер приводит высказывание "В нью-йоркском зоопарке живет семейство белых воронов"[54]; оно фальсифицирует универсальное высказывание "Все вороны черные". Но, добавляет он, "в большинстве случаев до фальсификации некоторой гипотезы мы имеем в запасе другую гипотезу, поэтому фальсифицирующий эксперимент обычно является решающим экспериментом, который помогает нам выбрать одну из двух гипотез"[55].
Итак, фальсифицирующий эффект выводится из другой гипотезы, уже имеющейся в запасе. Конечно, поскольку такого рода решения опираются на базисные предложения, они принципиально могут быть пересмотрены (опять-таки с помощью базисных предложений); но практически мы обычно в какой-то момент прекращаем поиск опровержений и пытаемся закрепиться на избранной позиции. Поэтому Поппер вводит следующее правило: "Мы раз и навсегда отказываемся от того, чтобы приписывать какую-либо подтверждающую силу теории, фальсифицированной в ходе интерсубъективно проверяемого эксперимента"[56].
Однако Кеплер поступал как раз наоборот, когда он использовал результаты ранее фальсифицированных теорий для построения других теорий и затем оценивал последние с помощью первых. Кроме того, он находился в явном противоречии с попперовской методологией еще и в другом отношении. В то время отсутствие каких-либо явлений, указывающих на вращение Земли, рассматривалось как фальсификация всякой формы гелиоцентризма. Чтобы обойти эту фальсификацию, Кеплер пытался делать то, что решительно запрещает Поппер[57], а именно: спасти свою теорию с помощью гипотез ad hoc - и кроме того, с помощью гипотез, не менее проблематичных, чем его астродинамика. Следуй он предписаниям Поппера, ему пришлось бы отказаться от своей  теории "раз и навсегда".
Сам Поппер полагает, что успех Кеплера оказался возможным отчасти потому, что "гипотеза окружности, от которой он отталкивался в своем исследовании, была относительно легко фальсифицируемой"[58]. Он прав в той мере, в какой выражение "относительно легко" связано с тем, что гипотеза окружности являлась "трехмерной" ("поскольку для ее фальсификации необходимы по крайней мере четыре принадлежащих данной области сингулярных высказывания, соответствующих четырем точкам ее графического представления"[59]), тогда как эллиптическая гипотеза являлась "пятимерной" ("поскольку для ее фальсификации необходимы по крайней мере шесть сингулярных высказываний, соответствующих шести точкам на графике"[60]). Однако рассуждения способны скорее лишь завуалировать тот факт, что фальсификация гипотезы о круговой орбите была в высшей степени проблематичной, ибо основана она была на весьма сомнительных посылках.
Пример Кеплера свидетельствует не только о том, что фальсифицирующие базисные предложения трудно распознать (эта трудность, я считаю, не была в достаточной мере осознана Поппером[61]), но и о том, что отбрасывание теории в каждом случае, когда фальсификация может быть установленной, вовсе не всегда является лучшей стратегией для науки[62].
До сих пор мы сравнивали методологию Кеплера с тем, что сегодня может быть названо классическим попперианством. Однако наши выводы остаются в силе даже с учетом тех улучшений, которые были внесены в эту концепцию И.Лакатосом в последние годы.
По его мнению, существует универсальное правило, по которому можно определить, является ли серия теорий прогрессивной. (Конечно, он совершенно прав, когда говорит о "серии", а не о единичных теориях, ведь фактически каждая теория связана с другими, отличными от нее теориями).
 Он пишет:"Будем считать, что такой ряд теорий является теоретически прогрессивным..., если каждая новая теория имеет какое-то добавочное эмпирическое содержание по сравнению с ее предшественницей, то есть предсказывает некоторые новые, ранее не известные факты. Будем считать, что теоретически прогрессивный ряд теорий является также и эмпирически прогрессивным..., если какая-то часть этого добавочного эмпирического содержания является подкрепленным, то есть если каждая новая теория ведет к действительному обнаружению новых фактов. Наконец, назовем сдвиг проблем прогрессивным, если он и теоретически, и эмпирически прогрессивен, и регрессивным - если нет"[63].
Здесь приходится снова отметить, что Кеплеру пришлось бы отбросить свою теорию, если бы следовал правилу Лакатоса.
Кеплер мог, правда, благодаря своей теории предсказать некоторые новые, ранее неизвестные факты; но, с другой стороны, еще большее количество фактов, которые вполне согласовались с астрономией Птолемея и физикой Аристотеля, он не мог объяснить. К этим фактам, в первую очередь, относятся явления, которые - из-за отсутствия разработанного принципа инерции - заставляли отрицать вращение Земли. Поэтому нельзя утверждать, что теория Кеплера имела "дополнительное эмпирическое содержание" по сравнению с предшествовавшими ей теориями.
Это, однако, еще не все. Само подтверждение фактов, предсказанных Кеплером, было, как уже отмечалось выше, в высшей степени проблематичным. Мы уже видели, к примеру, что для вычисления орбиты Марса Кеплеру понадобились hypothesis vicaria и что полученные результаты он проверял методами, основанными все на тех же гипотезах. Кеплер и сам вполне осознавал эти недостатки, поэтому и прибегал к допущениям более метафизического и теологического характера (к этому моменту мы еще вскоре вернемся). Может ли правило Лакатоса чем-либо помочь при решении вопроса о допустимости всех этих предпосылок?
Очевидно, выражение "предсказание факта" не так ясно и просто, как представляется Лакатосу. Можно ли усматривать в предсказании факта теоретический прогресс, особенно когда предпосылкой такого предсказания является нечто рискованное, проблематичное или попросту глупое? Что касается открытия Кеплера, то разве сама приемлемость его предсказаний не ставится под вопрос тем фактом, что предпосылками их являются метафизические и теологические рассуждения? И разве не по той же причине под вопросом остается именно сама возможность признания результатов его проверочных процедур? Речь же действительно идет не о проверке фактов и не о возможности предсказаний, а о том, являются ли основания таких предсказаний и предпосылки проверочных процедур ясными и очевидными. Но об этом правило Лакатоса ничего не говорит.
Представим себе на мгновение Лакатоса в роли Великого Инквизитора, который во времена Кеплера должен был следить за развитием науки, руководствуясь своей собственной "установкой". Допустим, что он допрашивает Кеплера, и прислушаемся к их диалогу:
Лакатос: Способен ли ты обеспечить своей теории добавочное эмпирическое содержание по сравнению с содержанием ее предшественниц?
Кеплер: Да, я действительно могу кое-что объяснить, хотя, сознаюсь, Птолемей и Аристотель далеко превосходят меня в этом.
Лакатос: Можешь ли ты предсказать что-нибудь новое?
Кеплер: Могу, но если ты принимаешь те основания, на которых строятся мои предсказания, и, кроме того, признаешь допущения, необходимые для подтверждения фактов.
Лакатос: Каковы же эти допущения?
Кеплер: Они весьма проблематичны, так как их можно принимать только в сфере астрономии.
Лакатос: Анафема.
Кеплер: Позволь мне сказать последнее слово. Две предпосылки, принятые мной, имеют крайне важный смысл, в который я искренне верю. Одна из них заключается в том, что Коперник наверняка прав, потому что его картина мира гораздо проще других и потому что она соответствует духу человечности и духу Божественной Справедливости. Второе - Земля не может быть одновременно центром Вселенной и юдолью греха. Поэтому я верю в то, что именно Солнце - это звезда, вокруг которой вращаются все прочие. Если признать это, то остальное, какие бы проблемы здесь ни возникали, приобретает рациональный смысл.
Лакатос: Все это не имеет никакого научного значения. Итак, повторяю: анафема.
Бедный Кеплер! Ему непременно пришлось бы отречься от своей теории, последуй он правилу Лакатоса[64].
5.3. "Новая астрономия" Кеплера и индуктивная логика Карнапа
Теперь посмотрим, как выглядит теория Кеплера в свете индуктивной логики Карнапа. С помощью этой логики определяется степень подтверждения гипотезы h релевантными данными e. Элементарным ее выражением является поэтому
c (h,e) = r,
где c - степень подтверждения, r - численное значение из интервала (0,1).
Разумеется, индуктивная логика Карнапа разработана применительно к языкам более примитивным, чем теория Кеплера. Но это не мешает нам задаться вопросом, могла ли эта логика использоваться Кеплером и что получилось бы из этого. Карнап признавал, что в основе его логики лежат упрощения и идеализации, которые следует рассматривать как неизбежную дань всякому логическому начинанию. На последующих стадиях, считал он, можно надеяться на построение все более сложных систем индуктивной логики, которые позволили бы определять степени подтверждения физических теорий и гипотез. Простейшая исходная конструкция может рассматриваться как более или менее грубое "приближение" к более сложным[65]. То, что представляется чрезвычайно сложным практически, не является в силу этого принципиально невозможным в теории. Здесь, видимо, уместно вспомнить замечание Карнапа о том, что "все ученые, если отвлечься от деталей, используют один и тот же индуктивный метод, близкий к тому, который основывается на моей функции C*" (так Карнап обозначает результат выбора из возможных процедур подтверждения в индуктивной логике)[66].
Хотя еще не существует формальной системы, которая позволяла бы определить точную степень подтверждения гипотезы Кеплера и его законов, легко понять, что, если бы значение этой функции было вычислено в рамках примитивного языка индуктивной логики, оно оказалось бы чрезвычайно малым. Мы говорили о том, что гипотезы Кеплера имели очень слабое эмпирическое подтверждение, что Кеплер прибегал к "предиктивным выводам" (выражаясь в терминологии индуктивной логики) весьма рискованного характера - от наблюдений нескольких планет к утверждениям, относящимся ко всем планетам, от двух определенных точек орбиты - к конфигурации орбиты в целом и т.д.;[67] что процедуры проверки ("e" в индуктивной логике) включали в себя гипотезы, которые, в свою очередь, оказывались составными частями гипотезы "h", подлежащей этим проверкам, и т.д. Следовательно, если смотреть сквозь призму индуктивной логики Карнапа, рассматривая ее примитивные языки и функции как модель - а это, как также уже было показано, мы можем себе позволить, - то придется заключить, что Кеплер, будь он знаком с этой логикой и приняв на себя ее обязательства, вряд ли отважился бы на формулировку своих первых двух законов и их защиту.
Кажется, что этому противоречит тот факт, что сам Карнап предостерегал от отождествления индуктивно-логических и методологических выводов[68]. Определение степени подтверждения, указывал он, само по себе никак не решает проблему принятия или отбрасывания гипотез, поскольку эта проблема относится к методологии. Например, вероятность выигрыша в лотерее какого-либо конкретного номера является минимальной, но нет ничего иррационального в том, что мы покупаем билет с этим номером и надеемся выиграть. Всякий раз, когда принимается решение относительно гипотезы, в определение степени подтверждения должны, по-видимому, входить и другие основания, уже не относящиеся собственно к индуктивной логике. Карнап использует для описания таких оснований довольно туманные выражения: "практические решения"[69], "жизненные ситуации, в которых наблюдаем, судим и принимаем на веру"[70], "нелогические факторы"[71] и др.
Однако даже если индуктивная логика и методология - не одно и то же, то в соответствии с концепцией Карнапа они все равно связаны друг с другом. Он пишет: "методология... разрабатывает процедуры, позволяющие использовать результаты индуктивной логики в конкретных целях"[72]. С другой стороны, индуктивная логика не мешает ученому учитывать вненаучные факторы при принятии решений; напротив, она облегчает эту задачу[73]. Действительно, какой смысл имела бы индуктивная логика, если бы она была бесполезна в процессах принятия решений, как теоретичеcких, так и практических? Было бы слишком большой роскошью оправдывать существование такой логики только тем, что она позволяет определить "истинное" или "чистое" отношение между h и e, оставаясь при этом совершенно равнодушной к вопросу о том, как это отношение могло бы найти практическое применение? В отличие от дедуктивной логики, высказывания индуктивной логики сами по себе не общезначимы; более того, уже сами ее аксиомы намеренно подбираются таким образом, чтобы они могли служить теоретическими и практическими ориентирами исследователя, быть адекватными научному методу[74]. Соглашаясь с Карнапом в том, что индуктивная логика и методология не суть одно и то же, мы должны - и здесь следуя за ним - потребовать, чтобы они не были отделены друг от друга китайской стеной, чтобы методология находила подкрепление в индуктивной логике.
Поэтому, когда методология никаким образом не использует результаты индуктивной логики и даже прямо отвергает их (о чем говорит пример Кеплера), то это не может не дискредитировать ее именно как "логику". Поэтому и Карнапу также приходилось еще больше уточнять упомянутое выше предостережение. По его мнению, действия ученых направляются численными значениями "степени подтверждения" (если даже эти степени не выражены эксплицитно); например, высокая подтвержденность гипотезы может побудить ученого вложить крупную сумму денег в исследовательский проект или экспериментальную программу и т.п.[75]. Штегмюллер, видимо, также преследовал методологические цели, когда он с одобрения Карнапа писал о том, что выводы об индуктивной вероятности способны направлять нас к рациональным действиям[76]; что индуктивная логика способна повлиять на выбор ученым теоретической гипотезы, хотя это влияние не может быть определяющим;[77] что индуктивная логика помогает принимать решения не вслепую, но с пониманием дела[78]. Индуктивная логика определяет степень подтвержденности гипотезы данными, а методология должна использовать эту информацию, помещая ее в более широкий контекст обоснования.
Таким образом, Карнап все же строго разделял индуктивную логику и методологию, в особенности, когда речь шла о принятии практических решений (например, в ситуации пари); однако он не возражал против того, что индуктивная логика и методология тесно связаны между собой в теоретической области[79]. Эмпирически недостаточно или слабо подтвержденные гипотезы, по его мнению, вряд ли могут претендовать на теоретическое признание.
Следователь