ятий весьма трудно, Лейбниц,
как мы помним, заметил, что если в человеческом знании и есть аналитическое
понятие, то, пожалуй, это только понятие числа. Определение числа ближе
всего к совершенному, а это последнее имеет место в тех случаях, "когда...
анализ вещи простирается в нем вплоть до первичных понятий, ничего не
предполагая, что нуждалось бы в доказательстве априори своей
возможности...". Такое определение понятия вещи Лейбниц называет реальным и
сущностным, отличая от него, как мы уже выше упоминали, определение
реальное и причинное, которое "заключает в себе способ возможного
произведения вещи". В случае причинного определения доказательство
возможности, подчеркивает Лейбниц, тоже осуществляется априорно, но эта
априорность, так сказать, более низкого качества, чем первая, потому что
здесь анализ не доводится до конца - до тождественных положений.

С реальным причинным определением, т.е. с определением предмета посредством
его порождения, или конструкции, мы имеем дело в геометрии. Мы порождаем
геометрические понятия - линии, треугольники, окружности и т.д. - путем
движения точки в пространстве. Таким образом, в качестве предпосылок
геометрии, что видно на примере аксиом, постулатов и определений Евклида,
выступают пространство и движение. Именно в силу этого в геометрии мы имеем
дело не с чистым числом, а с величиной, а величина не тождественна числу, -
в этом Лейбниц убежден так же, как Платон, и не склонен к их чрезмерному
сближению, как это делал Декарт. А сближение это было основано у Декарта на
том, что он считал понятия величины, фигуры и движения ясными и отчетливыми
и в этом смысле ничем принципиально не отличающимися от понятия числа. По
этому поводу Лейбниц высказывает следующее возражение: "Можно доказать, что
понятие величины, фигуры и движения вовсе не так отчетливо, как воображают,
и что оно заключает в себе нечто мнимое и относящееся к нашим восприятиям,
хотя и не в такой степени, как цвет, теплота и тому подобные качества, в
которых можно усомниться, действительно ли они существуют в природе вещей
вне нас..."

Здесь мы уже можем четко представить себе, в чем состоит расхождение между
Лейбницем и Декартом. Для Декарта протяжение - это первичное понятие,
совершенно отчетливое и далее не разложимое, составляющее исходный принцип
его понимания природы и в то же время (поскольку природа для Декарта есть
воплощение математических законов) лежащее также и в основе математики.
Именно поэтому для Декарта математика - это прежде всего геометрия, притом
геометрия уже не вполне античная, поскольку понятия числа и величины у
Декарта, в сущности, не различаются. У Лейбница, напротив, протяжение - это
не первичное, а производное понятие, оно не обладает отчетливостью и
образовано не одним только умом, но умом и воображением, а значит, оно есть
гибрид, как это доказывал Платон. А отсюда следует, что это понятие не
может быть первым началом ни для понимания природы, ни для обоснования
математики. В этом пункте Лейбниц гораздо ближе к античной философии, чем
Галилей и Декарт.

Вот еще одно рассуждение Лейбница, проливающее свет на его понимание
математического знания, которое создается при помощи двух различных
способностей - воображения, или общего чувства, и разума. "Так как душа
наша сравнивает (например) числа и фигуры, находящиеся в цветах, с числами
и фигурами, заключающимися в осязательных ощущениях, то необходимо должно
существовать внутреннее чувство, где соединяются восприятия этих различных
внешних чувств. Это и есть то, что называют воображением, которое обнимает
как понятия отдельных чувств, ясные, но смутные, так и понятия общего
чувства, ясные и отчетливые. Эти принадлежащие воображению ясные и
отчетливые идеи составляют предмет математических наук, то есть арифметики
и геометрии, - представляющих науки чистые, и их приложений к природе,
составляющих математику прикладную... Не подлежит сомнению, что
математические науки не были бы демонстративными и состояли бы в простой
индукции или наблюдении, - которые никогда не могут обеспечить полную и
совершенную всеобщность истин, заключающихся в этих науках, - если бы на
помощь чувствам и воображению не приходило нечто более высокое, которое
может доставить только один ум".

Те понятия, которые целиком разложимы и могут быть сведены к тождественным
утверждениям, или, иначе говоря, которые полностью аналитичны, Лейбниц
считает созданными самим умом - ближе всего к таким понятиям, как мы уже
знаем, стоит, по Лейбницу, понятие числа. Что же касается геометрических
понятий, то они поддаются анализу настолько, насколько в их создании
принимает участие ум, и неразложимы в той мере, в какой оказываются
основанными на общем чувстве, т.е. на воображении. Именно поэтому
доказательство возможности геометрического понятия ведется не через анализ,
а через конструкцию, т.е. путем порождения предмета, соответствующего
понятию.

4. Конструкция как принцип порождения объекта

Вопрос о достоверности геометрии служил предметом непрекращавшихся споров
на протяжении XVI-XVII вв. между представителями схоластики и защитниками
новой науки. Схоластики при этом апеллировали к Аристотелю, у которого, как
мы знаем, математика обосновывалась иначе, чем в работах Галилея, Декарта,
Гоббса и др., поскольку Аристотель не считал ее "первой наукой" и по ее
онтологическому статусу ставил после метафизики и физики. В схоластике в
качестве аргумента приводилось соображение Аристотеля о том, что, в отличие
от метафизики и физики, дающих причинное объяснение явлений, математика не
может объяснять из причин.

Критикуя схоластику, создатели науки нового времени пытались показать, что
геометрия, на базе которой создавалась механика как основная наука о
природе, является самой достоверной и позволяет постигнуть основные законы
природы как раз потому, что она дает причинное объяснение. К этой
аргументации полностью присоединился и молодой Лейбниц. В письме к Я.
Томмазиусу (1669) он пишет: "...если мы рассмотрим дело ближе, то окажется,
что геометрия доказывает именно из причин. В самом деле, она выясняет
фигуры из движения: из движения точки происходит линия, из движения линии -
поверхность, из движения поверхности - тело, из движения прямой по прямой
происходит плоскость, из движения прямой вокруг неподвижной точки
происходит круг и т.п. Таким образом, построение фигур есть движение;
свойства же фигур доказываются из построений, т.е. из движения,
следовательно, априори и из причин. Значит, геометрия есть настоящая наука".

Такое заключение, однако, возможно при условии признания пространства
субстанцией, как это сделал Декарт, - условие, которое не принял бы
Аристотель и которое сам Лейбниц впоследствии поставил под сомнение, что и
вызвало у него потребность дать иное обоснование геометрии. Уже отсюда
ясно, что Лейбниц отнюдь не был первым, кто рассматривал геометрические
понятия как результат конструкции. Такой способ понимания геометрических
образований был широко распространен в XVII столетии. Так, например, Томас
Гоббс, определяя науку как самый достоверный вид знания, пишет: "Наука
начинается лишь с того знания, благодаря которому мы постигаем истину,
содержащуюся в каком-нибудь утверждении; она есть познание какого-нибудь
предмета на основании его причины или познание его возникновения
посредством правильной дедукции. Знание есть также правильное понимание
возможной истинности какого-нибудь положения: такое понимание мы получаем
путем правильного умозаключения из установленных опытом следствий. Оба
указанных вида дедукции мы называем обычно доказательствами. Однако первый
вид дедукции считают более ценным, чем второй, и для этого есть вполне
достойное основание". Гоббс, таким образом, считает самым достоверным видом
научного знания тот, который получают на основании знания причины, т.е.
порождения предмета, возникновения его. Такое знание из непосредственно
очевидных для нас причин более ценно, чем знание на основании заключения из
причин прошлых. Это наиболее ценное знание Гоббс называет "демонстративным
познанием а priori", и оно, согласно Гоббсу, возможно "лишь относительно
тех вещей, возникновение которых зависит от воли самого человека".

Гоббс высказал соображение, которое позднее становится центральным
принципом критической философии Канта: мы с достоверностью можем знать
только то, что произвели сами. Только при этом Гоббс дает номиналистическое
истолкование этому "мы сами", считая, что порождающие причины находятся в
воле самого человека. Именно таким путем создаются, как показывает Гоббс,
линии и фигуры, составляющие предмет геометрии. "В этом смысле строго
доказательной, - пишет Гоббс, - является большая часть положений о
величине; наука о них называется геометрией. Так как причина тех свойств,
которыми обладают отдельные фигуры, заключается в линиях, которые мы сами
проводим, и так как начертание фигур зависит от нашей воли, то для познания
любого свойства фигуры требуется лишь, чтобы мы сделали все выводы из той
конструкции, которую сами построили при начертании фигуры. То, что
геометрия считается демонстративной наукой и действительно является строго
доказательной, обусловливается тем обстоятельством, что мы сами рисуем
фигуры".

Гоббс, таким образом, объясняет априорность (а тем самым и доказательность,
демонстративность) геометрии произвольностью геометрических построений:
начертание фигуры зависит от нашей воли.

Но не только Гоббс обосновывает достоверность математического знания
указанием на конструированность геометрических понятий; такой же способ
рассуждения мы обнаруживаем и у Спинозы, хотя в других отношениях эти два
философа и существенно расходятся. Так же как и Гоббс, Спиноза считает, что
истинное познание есть познание предмета из его причин. Поэтому адекватным
определением геометрического понятия, согласно Спинозе, тоже будет
определение его через порождение. Если определить круг "как фигуру, у
которой линии, проведенные от центра к окружности, равны, то всякий, -
говорит Спиноза, - видит, что такое определение совсем не выражает сущности
круга, а только некоторое его свойство". Определение, приведенное Спинозой,
дано не кем иным, как Евклидом, у которого мы читаем: "Круг есть плоская
фигура, содержащаяся внутри одной линии, на которой все из одной точки
внутри фигуры падающие прямые равны между собой".

Точно так же, как и Гоббс, Спиноза видит в действии, с помощью которого
строится фигура, причину, позволяющую раскрыть саму сущность данной фигуры,
а уже из сущности ее можно вывести и ее свойства. "Если данная вещь -
сотворенная (а несотворенной является только субстанция. - П.Г.), то
определение должно будет... содержать ближайшую причину. Например, круг по
этому правилу нужно будет определить так: это фигура, описываемая
какой-либо линией, один конец которой закреплен, а другой подвижен; это
определение ясно охватит ближайшую причину". Именно из определения через
конструкцию можно, согласно Спинозе, вывести и такое свойство круга, как
одинаковое расстояние всех точек окружности от центра.

Гоббс, Спиноза и Лейбниц, так же как и их античные и средневековые
предшественники, видят задачу науки в познании предмета на основании его
причины, однако само понимание причины, как видим, меняется. В математике
такая причина усматривается в способе порождения математического объекта и
- соответственно - его понятия. Представление о том, что в основе
достоверного знания о предмете лежит деятельность, производящая этот
предмет, возникает, как видим, задолго до Канта. И Спиноза, и Гоббс,
несомненно, согласились бы с Кантом в том, что задача геометра "состоит не
в исследовании того, что он усматривал в фигуре или в одном лишь ее
понятии, как бы прочитывая в ней ее свойства, а в том, чтобы создать фигуру
посредством того, что он сам, а priori, сообразно понятиям мысленно вложил
в нее и показал (путем построения). Он понял, что иметь о чем-то верное
априорное знание он может лишь в том случае, если приписывает вещи только
то, что необходимо следует из вложенного в нее им самим сообразно его
понятию".

Однако это суждение Спиноза или Гоббс признали бы истинным лишь по
отношению к такой науке, как геометрия, но не по отношению к физике. Так,
Гоббс проводит решительное различие между математикой как наукой априорной
(а потому и полностью доказательной) и физикой как наукой апостериорной,
которая не в состоянии все свои выводы сделать столь же необходимыми, как
математические. И аргументация Гоббса очень характерна: геометрические
фигуры творим мы сами, а природный мир сотворен Богом, и потому мы не в
состоянии непосредственно познать сущность явлений из их причин. "То, что
геометрия... является строго доказательной, обусловлено тем... что мы сами
рисуем фигуры. Предметы же и явления природы, напротив, мы не в состоянии
производить по нашему усмотрению. Эти предметы и явления созданы по воле
Бога, и, сверх того, большая часть их, например эфир, недоступна нашим
взорам. Поэтому мы и не можем выводить их свойства из причин, которых не
видим". В результате науки о природе Гоббс не относит к чистым наукам,
какими являются математические (арифметика и геометрия), а в соответствии с
давней, еще средневековой традицией относит их к наукам прикладным, хотя и
математическим. Сюда Гоббс относит, кроме физики, астрономию и музыку. Все
эти науки устанавливают причины наблюдаемых в природе явлений, но
устанавливают их не непосредственно, а путем умозаключений, косвенно, а
потому и причины эти могут иметь только гипотетический характер. "Исходя из
видимых нами свойств, мы можем посредством умозаключений познать, что могли
существовать те или иные причины этих свойств. Мы называем этот вид
доказательства доказательством а posteriori, а науку, применяющую этот
метод, - физикой. Поскольку, однако, при познании явлений природы, имеющих
своей основой движение, нельзя делать заключений от последующего к
предыдущему без знания тех следствий, к которым ведет определенная форма
движения, и нельзя делать заключений относительно следствий движения без
знания количества, т.е. без геометрии, то и физик необходимым образом
вынужден пользоваться кое-где в своей науке методом доказательства а
priori. Вот почему физика - я имею в виду настоящую физику, построенную на
математике, - обычно причисляется к прикладным математическим наукам".

Мысль о том, что физические законы могут быть в такой же мере результатом
конструкции, как и законы математические, чужда Гоббсу, приверженцу
английской философской традиции с характерным для нее эмпиризмом. В этом
пункте Гоббс не разделяет стремления Галилея конструировать не только
математические объекты, но и физические.

Вслед за Галилеем идею конструкции физического объекта поддержал Декарт. В
конце IV книги "Начал" Декарт пишет: "Я почту себя удовлетворенным, если
объясненные мною причины (выше он говорит: "придуманные мною".- П.Г.)
таковы, что все действия, которые могут из них произойти, окажутся
подобными действиям, замечаемым нами в явлениях природы..." Хотя и очень
осторожно, и со множеством оговорок, но Декарт здесь защищает идею
конструкции применительно также и к физике.

Решительное сближение естествознания с математикой на основе конструкции
понятий как той, так и другой ветви наук уже в конце XVIII в. произвел
Кант. "Ясность для всех естествоиспытателей, - пишет Кант, - возникла
тогда, когда Галилей стал скатывать с наклонной плоскости шары с им самим
избранной тяжестью, когда Торричелли заставил воздух поддерживать вес,
который, как он заранее предвидел, был равен весу известного ему столба
воды... Естествоиспытатели поняли, что разум видит только то, что сам
создает по собственному плану, что он с принципами своих суждений должен
идти впереди согласно постоянным законам и заставлять природу отвечать на
его вопросы, а не тащиться у нее словно на поводу, так как в противном
случае наблюдения, произведенные случайно, без заранее составленного плана,
не будут связаны необходимым законом, между тем как разум ищет такой закон
и нуждается в нем".

Какова же в этом вопросе позиция Лейбница? Ему, как можно видеть по многим
его высказываниям, были хорошо знакомы как произведения Гоббса, так и
работы Спинозы. С сочинениями Гоббса Лейбниц был знаком еще с парижского
периода (1672-1676). "Некоторые произведения Гоббса,- пишет французский
историк математики Рене Татон, - оказывают равно глубокое впечатление на
него на протяжении этого (парижского. - П.Г.) периода, как в философском
плане, так и с точки зрения чисто научной". Сочинения Спинозы также были
известны Лейбницу, многие из них он знал досконально; в 1678 г. он получил
"Этику" сразу же после ее выхода в свет и написал к ней критические
замечания.

Лейбниц, судя по всему, разделяет гоббсово различение математических и
физических наук, относя первые к чистым, а вторые - к прикладным.
"...Принадлежащие воображению ясные и отчетливые идеи, - пишет он, -
составляют предмет математических наук, т.е. арифметики и геометрии,
представляющих науки чистые, и их приложений к природе, составляющих
математику прикладную". Однако Лейбниц не согласен с Гоббсом, объясняющим
априорность геометрического знания произвольностью геометрического
построения и таким образом сближающим причинное определение с номинальным.
Проводя принципиальное различие между реальным и номинальным определениями,
Лейбниц как раз хочет уточнить свою позицию по отношению к Гоббсу. Гоббс,
пишет Лейбниц, "упустил из виду, что реальность определения зависит не от
произвола и что не все понятия могут быть соединены между собой. Ведь
номинального определения недостаточно для совершенного знания, если не
известно из других источников, что определяемый предмет возможен".

Но в вопросе об определении геометрических понятий через конструкцию
Лейбниц разделяет воззрения своих современников. Как отмечает В. Каринский,
Лейбниц, "поставив отчетливый и строгий критерий умозрения в аналитичности
суждения, сознал, что та часть математического знания, которую представляет
геометрия, не только в фактическом, но и в возможном ее развитии не может
быть сведена сполна к тому анализу, и указал в понятиях пространства, тела,
движения те элементы, которые остаются и доселе не разложенными сполна и,
следовательно, не допускают безусловной прозрачности аналитических
доказательств".

Вот, например, как определяет Лейбниц понятие прямой, указывая на способ ее
построения: "Вот понятие прямой, которым я обычно пользуюсь: прямая есть
место всех покоящихся точек, когда какое-нибудь тело пришло в движение,
между тем как две точки - неподвижны; или еще одно определение: прямая есть
линия, рассекающая неограниченную плоскость на две конгруэнтные части".
Здесь в определение понятия прямой входит понятие движения, так же как и
понятия тела и - во втором определении - неограниченной плоскости (т.е.
неограниченного пространства). А это как раз те понятия, которые сами по
себе не являются до конца аналитичными, ибо "заключают в себе нечто мнимое
и относящееся к нашим восприятиям".

Эти и подобные рассуждения Лейбница дали повод к тому, чтобы
интерпретировать его обоснование математики (в частности, геометрии) как
близкое к кантовскому. Кант, как известно, пришел к убеждению, что суждения
математики не аналитичны, а синтетичны, т.е. имеют своим условием не только
рассудок, но и созерцание. Поскольку и Лейбниц указывает на два различных
источника математических понятий (разум и воображение), то естественно
заключить, что он рассматривает суждения математики как синтетические. К
такому выводу, в частности, пришел Эрнст Кассирер, подвергнув детальному
анализу лейбницев принцип образования математических понятий. При этом
Кассирер сделал заключение, что принцип порождения Лейбниц кладет также и в
основу математических и даже логических аксиом. А это значит, что Лейбниц,
сам того не сознавая, приш