ы. Мы едва не запутались.)

То, что произошло сегодня, кажется не крайне важным. Мы не просто решили
задачу. Мы решили ее путем сведения к другой, изоморфной ей задаче. Это -
важнейшая общематематическая идея, и разве не чудо, что нашелся такой
материал, на котором эту идею удалось продемонстрировать шестилеткам? Да к
тому же так, что они сами до нее додумались!

Дошкольники и центральное понятие математики

События на нашем кружке меняются с головокружительной быстротой. Не успели
мы разделаться с одной великой идеей, как тут же на подходе другая. Как-то
сам собой возникает вопрос: почему каждый раз получается ровно десять
решений?

В самом деле больше решений не существует или мы их просто не сумели найти?
Как доказать, что их всего десять?

Доказательство - это ритуал, принятый в математике?

Итак, доказательство. Центральное понятие для всей математики, я бы даже
сказал, формообразующее, выделяющее математику из всех других наук.
Представление о том, что является доказательством и что не является,
менялось на протяжении веков и обрело современный вид лишь приблизительно
на рубеже XX века (увлекательный рассказ об этом можно прочитать в недавно
вышедшей книге Мориса Клайна "Математика. Утрата определенности").

Математикам прошлых эпох, даже самым великим, казались вполне убедительными
такие рассуждения, которые сейчас с негодованием отвергнет любой школьный
учитель. Если вдуматься, мы имеем дело с очень странным явлением: почему
какие-то абстрактные рассуждения делают для нас то или иное утверждение
более убедительным?

Один очень умный старшеклассник задал учителю такой вопрос: "То, что в
равнобедренном треугольнике углы при основании равны, совершенно очевидно,
можно убедиться на примерах. Тем не менее нам этот факт доказывают. С
другой стороны, то, что напряжение равно силе тока, умноженной на
сопротивление, нисколько не очевидно. Однако этот факт нам почему-то не
доказывают, а только иллюстрируют опытами. Почему?"

Этот вопрос - редкая попытка проникнуть в суть явлений. Большинство же
школьников, я убежден, воспринимают доказательства как некий принятый в
математике ритуал. Так полагается, и все. Как тут не вспомнить историю,
относящуюся, кажется, к XVIII веку - про человека, который сказал своему
учителю: "К чему все эти туманные рассуждения? Вы же дворянин, и я тоже.
Дайте честное слово, что теорема верна, - мне этого вполне достаточно".

Смешно, правда? Ну а мы сами - образованные, современные люди, даже научные
работники - мы разве не такие?

Где искать точки соприкосновения научной проблемы с миром детства?

Встречали ли вы когда-нибудь в учебниках истории доказательства того, что
все описываемые события происходили именно там, именно тогда и именно так,
как они описаны (да и вообще имели место)? Нет, никаких даже намеков на
доказательства в этих учебниках нет. И вот странное дело - это никак не
уменьшает нашего доверия к изложенным фактам. "Честное слово дворянина" - в
данном случае автора учебника - оказывается для нас вполне убедительным
основанием. Как видим, проблема не так проста, даже если касается взрослых.

А к детям какое это имеет отношение? Вот какое: мне кажется, необходимо
осознать проблему в целом, только тогда удастся найти какие-то ключи,
какие-то пути и точки соприкосновения этой проблемы с миром детства (курсив
мой. –ВЛ).

Важная подсказка методистам и тем родителям, которые хотят понять, чему
учить детей, как выбрать учебный материал

В числе первых попыток были задачи из серии "четвертый - лишний" с
неоднозначными ответами, о чем я рассказывал в предыдущей статье. В них я
обращал внимание детей на важность не только правильного ответа, но и
правильного объяснения.

Потом стали появляться задачи на доказательство такого сорта: доказать, что
мы видим глазами, а слышим ушами, но не наоборот (доказательство: если
закрыть глаза, мы перестанем видеть, а если закрыть уши, перестанем
слышать); доказать, что облака ближе к нам, чем солнце (доказательство:
облака заслоняют солнце); доказать, что мы думаем головой, а не животом
(хорошего решения я так и не смог придумать).

Ну а в нашей комбинаторной задаче что могло бы служить аналогом
доказательства? Видимо, только упорядоченный перебор возможностей, то есть
такой перебор, при котором мы были бы уверены, что ничего не пропустили.
Еще полгода назад мальчики эту идею не восприняли. Может быть, они уже
созрели?


Способен ли дошкольник прийти к идее доказательства,
 если даже не все взрослые владеют ею?

Вернемся к тому обсуждению, рассказ о котором прервали на полуслове. Итак,
как же убедиться, что, кроме найденных десяти решений, других нет?

Дима: "Нужно много лет пробовать, и если ничего не найдешь, значит, и нет".
Я высказываю естественное возражение: а вдруг все-таки есть? Женя
пессимистически заявляет: "Я больше ничего найти не смогу". Петя спрашивает
у меня, я действительно сам не знаю, сколько будет решений, или я-то знаю
точно, а спрашиваю только для разговора? Признаюсь, что сам я знаю точно.
Тогда мальчики вообще перестают понимать, чего мне еще надо.

Тут вдруг Дима произносит какую-то туманную и довольно бессмысленную фразу,
в которой, однако, фигурируют слова "самая левая коробочка". Я поскорее
интерпретировал эту фразу в нужном мне направлении и стал рассуждать вслух.
Возьмем первый шарик и положим в самую левую коробочку. Куда теперь можно
положить второй шарик? Во вторую, третью, четвертую и пятую коробочки;
всего четыре решения. Теперь первый шарик положим во вторую коробочку.
Тогда второй можно положить в четыре оставшиеся: в первую, третью,
четвертую и пятую коробочки - еще четыре решения. Теперь положим первый
шарик в третью коробочку и т. д. Всего получается пять раз по четыре
решения, то есть... двадцать решений! Вот так раз! Мальчики в полном
ошеломлении, а я как можно скорее сворачиваю все дела и заканчиваю занятие.

На этот раз я бил без промаха. Теперь уже все дети без исключения занялись
самостоятельными исследованиями - что-то дома перекладывали, рисовали, и в
итоге - кто раньше, кто позже и частично с моей помощью - разобрались все
же, почему для получения правильного ответа число 20 еще следует разделить
пополам.

Детский вопрос: можно ли других людей в чем-то убедить?

Пятилетний экспериментатор?

Как-то уже не на кружке, но явно под его влиянием, у меня произошла такая
беседа с сыном. Дима спросил меня, как вообще можно других людей в чем-то
убедить. "Есть разные способы, - ответил я, - В физике, например, делают
опыты". - "А-а, понятно". (Что такое физический опыт, Дима знает по книге
Л. Л. Сикорука "Физика для малышей" - одному из наиболее блистательных
шедевров научно-популярной литературы для маленьких.) "Вот, например, такой
вопрос: какие предметы падают быстрее - легкие или тяжелые?" - "Конечно,
тяжелые падают быстрее". - "Ты так думаешь. А другой человек может сказать,
что предметы падают одинаково быстро". - "Ну-у нет!" - "А почему нет?" -
"Ну, ведь если мы возьмем камень и лист бумаги, то камень упадет быстрее!"
- "Да. Значит, чтобы убедить этого другого человека, что он не прав, ты
сделаешь опыт, верно? Возьмешь камень и лист бумаги и посмотришь, что
упадет быстрее". - "Да". - "А теперь давай сделаем другой опыт".

Как невидимые круги сделать видимыми?

Идею этого опыта мне рассказали друзья. Сначала мы берем два одинаковых
листа бумаги, и они, разумеется, падают одинаково медленно. После этого я
комкаю один из листов и скатываю его в комок. Я хочу спросить, какой из
листов теперь упадет быстрее, но Дима меня опережает. "А теперь вот этот
(он показывает на комок) стал тяжелее". - "Почему!?!" - "Потому что он
упадет быстрее". Вот, оказывается, как обстоит дело. Для того чтобы
физический опыт мог вас в чем-то убедить, нужно сначала, чтобы ваша логика
развилась до такого уровня, когда вы осознаете недопустимость логических
кругов.

Бросаем в паре все, что попадается под руку

Я, однако, не унимаюсь. Мы продолжаем бросать в паре все, что попадается
под руку: пуговицу и большой тяжелый лист ватмана, пуговицу и гирю,
пластмассовый пустотелый кубик и деревянный кубик того же размера и т. п.
Дима обескуражен результатами; попытался было предположить, что пуговица
тяжелее листа ватмана, но быстро отказался от этой мысли. "Значит, бывает
по-разному. Иногда легкие вещи падают быстрее, а иногда тяжелые". Он уже
почти готов удовлетвориться таким объяснением. И вдруг догадывается: "А-а,
понимаю, папа! Это ему воздух мешает падать". - "Кому?" - "Лист большой, и
ему воздух мешает падать, не пускает его. А пуговица маленькая, ей воздух
меньше мешает". - "Правильно! А если бы воздуха не было, что бы тогда
было?" - "Тогда бы все падали одинаково". - "Молодец. А когда я лист бумаги
скомкал в комочек, что произошло?" Дима подбирает слова, чтобы
сформулировать ответ. Меня подводит нетерпение - я отвечаю за него: "Воздух
ему перестает мешать". Но Дима меня поправляет: "Нет, не перестает, а
начинает меньше мешать".

Принципиальное отступление от принципа

Я уже писал о своем принципе: никогда не пытаться "внедрить" в ребенка свою
точку зрения, даже намеком. Но в иерархии принципов есть еще один, более
важный: ни одному принципу не должно следовать с железной непреклонностью.

У каждого из нас есть "внутренний редактор". Он следит за тем, чтобы мы
рассуждали, писали, говорили, поступали в соответствии с общественными
нормами. Этот "редактор", по-видимому, нам необходим. Без него мы стали бы
непонятными для других. Но он же сковывает творчество. Внутренне свободен и
открыт для творчества тот, кто чтит принцип: ни одному принципу не должно
следовать с железной непреклонностью! Кстати, дети нередко поступают так,
будто следуют этому принципу. Это "творческая смелость" по неведению

И вот сейчас, мне кажется, удобный повод отступить от первого принципа. С
явным намеком в голосе я задаю еще один вопрос о скомканном листе бумаги:
"И что, разве он действительно становится при этом тяжелее?" Дима смеется
таким тоном, будто хочет сказать, что только по недомыслию можно было
ляпнуть такую глупость, и отвечает: "Ну конечно же, нет! Может быть, только
совсем немножечко тяжелее".

Мысленный эксперимент, или Почему вопросы важнее ответов

Вечером, записывая нашу беседу в дневник, я обдумываю ее более внимательно.
Я вдруг начинаю понимать: то, что мы произвели, не является в точном смысле
слова физическим экспериментом. Эксперимент - это вопрос, заданный природе,
с заранее неизвестным ответом. А в нашем случае Дима знал все ответы
заранее. Не обязательно было реально бросать гирю с пуговицей - собственный
опыт жизни ребенка в реальном физическом мире оказывался вполне
достаточным, чтобы правильно предсказать результат этого опыта. Можно
сказать, что ни один из опытов не сообщил ему ничего нового - если говорить
только о фактах. Новым было лишь упорядочение известных фактов. По
существу, мы произвели то же самое доказательство путем перебора логических
возможностей, которое раньше проделали с шариками в коробочках.

Данная ситуация проливает некоторый дополнительный свет на то, почему так
полезны в обучении вопросы. С помощью вопросов мы помогаем ребенку
сопоставить те элементы его жизненного опыта, которые до этого существовали
как бы отдельно, не связываясь друг с другом.

Мы, обезьяны и математика

Как-то на даче мальчики вспоминали о своем недавнем походе в зоопарк, где
им показывали обезьян. Я вдруг вмешался в их разговор и заявил, что это не
им показывали обезьян, а их водили показывать обезьянам. "А ну-ка, докажите
мне, что я не прав". Завязался отчаянный спор. Первый аргумент - "Ведь мы
же на них смотрели" - я разбил легко: "Они на вас тоже смотрели". Второй
аргумент был серьезнее: "Мы где хотим можем ходить, а обезьяны в клетке
сидят". На это я возразил так: "Нет, не где хотите. Обезьянам нельзя
выходить из клетки, а нам нельзя входить в эту клетку. Просто есть решетка
- и обезьяны ходят где хотят с одной стороны решетки, а мы - с другой". Так
мы еще спорили некоторое время, и вдруг Дима воскликнул радостно, как бы
поймав меня на подвохе: "Ой, папка! Ведь это же мы опять математикой
занимаемся!"

...На самом первом занятии кружка дети бросились наперегонки считать
разложенные на столе пуговицы. Тогда они именно так представляли себе
математику - это когда считают. С тех пор их представление разительно
изменилось. Теперь математика для них - что-то вроде логической игры в
стиле Льюиса Кэрролла. Я верю, что именно такая математика и нужна детям.

Мне думается, что гость Первого сентября математик и ответственный папа
Александр Звонкин убедительно показал: не пропедевтика (опережающее
изучение) школьного материала нужна дошкольнику. Пожалуй, более всего
малышу подходит увлекательная игра с ровесниками и со взрослым. Такая игра,
если взрослый сумеет ее организовать, опираясь, например, на советы А.
Звонкина, доставит ребенку радость содержательного общения и эстетическое
удовольствие, разовьет интуицию и интеллектуальные способности. И при этом
пробудит желание исследовать наш мир, экспериментировать, учиться.

И еще – обогатит жизнь взрослого.


Саша Черный
 Иероглифы
 (Не юмористический рассказ)

Раз в месяц Павел Федорович приходил в тихое отчаяние: письменный стол
переполнялся...

Все лишнее Павел Федорович давно с сердечной болью убрал со стола:
люцернского льва, бронзового барона, купленного на аукционе, японское
карликовое дерево - и прочие соблазнительные предметы, которые только
отвлекали внимание и загружали стол. Но и это не помогало: само собой
случалось так, что все вещи, попадавшие на стол, когда они были нужны, так
и застревали на нем.

Особенно книги. Это были положительно какие-то ленивые животные. Немецкий
словарь Павловского, например, третий месяц лежал на столе, как отдыхающий
в иле бегемот, и только изредка передвигался с правого угла в левый. Библия
по временам перебиралась на кресло, - куда ей деваться? А стол стоял
рядом... Еще больше огорчений доставлял энциклопедический словарь - он
приходил гораздо чаще, чем уходил, и всегда целой артелью, так что иногда к
вечеру бедный любознательный Павел Федорович не мог из-за него добраться до
чернильницы... Ужасно, ужасно!

В ящиках было не лучше. Павел Федорович был человек разносторонний и, кроме
того, крепко цеплялся за свое прошлое, как почти все одинокие взрослые
люди. Если бы некоторые письма и разные странные пустяки (итальянские
монеты, гимназический герб, кусок восковой свечи и пр.) исчезали из его
письменного стола, - он бы почувствовал себя совсем неуютно на земном шаре
и в значительной степени утратил бы самое чувство прошлого... Конечно, это
было смешно и нелепо, - но что делать? - настоящее Павла Федоровича было
несложно, как гвоздь: утром кофе и булка, утренние газеты, чай, работа и
мертвый сон до следующего утра. Будущее же ему всегда смутно рисовалось в
образе веревочного хвостика от колбасы, которую дорезали до самого конца.

В ящиках, конечно, были и необходимые вещи, - напр., каталоги книг с
тщательными отметками, какие книги надо приобрести в первую очередь, какие
во вторую. Но и каталогов этих накопилось гораздо больше, чем нужно: денег
на покупку книг не хватало, а если и случались, то всегда подвертывались
какие-нибудь дырявые галоши. Земное побеждало небесное; книги так и
оставались отмеченными для покупки, а каталоги продолжали желтеть в ящиках;
тем временем выходили новые каталоги, Павел Федорович опять отмечал - и так
много лет.

В один из таких приступов отчаяния, - когда стол был переполнен внутри и
снаружи, а Павел Федорович с омраченным злобой и тупой беспомощностью лицом
уже в двадцатый раз выдвигал с грохотом ящик за ящиком в поисках почтовой
бумаги и транспаранта, - в один из таких приступов Павел Федорович встал,
прошелся по комнате, снял воротничок и сказал "уф!". Потом мотнул головой и
опять присел у столу с железным решением разобрать стол до последней
промокашки и выбросить весь "хлам" без всякого сожаления.

Если писать "юмористический рассказ", то все дальнейшее можно было бы
разыграть по двум трафаретам. Трафарет номер первый: Павел Федорович в
порыве увлечения выбрасывает хлам и даже приказывает слуге отнести его, во
избежание соблазна, на помойку. Затем ночью, охваченный комическим
раскаянием, пробирается в одной рубашке с фонарем к помойной яме, разрывает
ее и выбирает свои нелепые сувениры из груды картофельной и яичной шелухи.
Можно прибавить и дворника, который принимает его за вора, ловит, тащит в
участок и т.д.

Трафарет номер второй: Павел Федорович не выбрасывает своего хлама. В таком
случае можно очень забавно - "непрерывный смех!" - изобразить борьбу между
принятым решением и воспоминаниями, связанными со старым ключом, кусочком
сургуча, письмом от веселой вдовы, украшавшей юность, и прочей трухой,
засоряющей ящики. Закончить можно так: под утро прислуга вымела холодного
Павла Федоровича вместе с засыпавшим его, как Везувий Помпею, хламом,
который он разбирал на ковре.

Но, так как рассказ не юмористический, - то придется пожертвовать всеми
этими прекрасными подробностями и скромно вышивать по невзрачной канве
действительности.

В углу нижнего ящика, под грудой писчей бумаги и дешевых гравюр, Павлу
Федоровичу попалась в руки неожиданная находка: толстая, так называемая
"общая" тетрадь. Наклейки не было, - вместо нее за прорезанной в черной
коленкоровой обложке решеткой чернела тщательно нарисованная печатными
буквами надпись "Каторжные работы". Павел Федорович улыбнулся и с
любопытством взял тетрадь в руки. Как она к нему попала и что в ней? Он
раскрыл ее и сразу узнал собственный гимназический почерк, еще
расхлябанный, жидкий, но уже со всеми особенностями почерка взрослого
человека, державшего тетрадь в руках.

На первой, раскрытой наугад, странице было написано:

"Dum, priusquam, antequam - с изъявительным наклонением, если придаточное
отвечает на вопрос когда, в какое время".

Павел Федорович удивленно откинулся в кресле и стал припоминать. Что бы это
могло значить?.. Но в памяти всплыли только изящные серые брюки молодого
латиниста из филологического института и его поза, когда он спрашивал
обреченную жертву у парты, поставив с изысканной грацией ногу на скамью.

Следующая страница еще больше озадачила, хотя почерк был опять его - Павла
Федоровича.

"Пределом называется та постоянная величина, к которой стремится
переменная, так что разность между ними всегда остается меньше какой угодно
малой величины". И дальше: "Бесконечно малая есть переменная, предел
которой равен нулю".

Павел Федорович представил себе бесконечный ряд мух, которые должны были
бесконечно уменьшаться справа налево и стремиться к нулю. Но так как
разность между двумя соседними мухами оставалась "меньше какой угодно малой
величины", то мухи нисколько не уменьшались и были все одинакового роста.

Он плюнул и сердито перевернул несколько страниц.

"К пятнице повторить до Готфрида Бульонского". В этой фразе, напоминавшей
шараду на малознакомом языке, только слово "Бульонский" вызывало знакомый
гастрономический образ. Буква "Г" лежала тут же на столе. Павел Федорович
развернул 17-й полутом энциклопедического словаря и прочел:

"Готфрид Бульонский - герцог Нижней Лотарингии, родился ок. 1060 г.,
старший сын графа Евстафия II Бульонского и Иды, сестры Готфрида Горбатого,
герцога Нижней Лотарингии, которому он и наследовал в управлении
государством".

Дальше в таком же роде полтора столбца петита и подпись - Е.Щепкин.

Павел Федорович уныло вздохнул и, охваченный бессознательным любопытством,
достал последний полутом, в котором помещены фотографии всех составителей
словаря. Е.Щепкин был в самом конце, звали его полностью: проф. Евгений
Николаевич Щепкин. Лицо - круглое и добродушное, лоб переходил на лысину,
воротничок прямой, стоячий, каких уже никто, кроме пасторов и некоторых
профессоров,