.
   Карты нам больше не понадобятся, мы будем играть знаками.
   Играть будем так. Мы с братцем заходим в домик. Потом один из нас
выходит первым, а второй - немного погодя с большим знаком (вроде
дорожного), на котором вопрос будет написан такими крупными буквами, что и
ты и тот, кто вышел первым, легко разберете его издали. Прочитав вопрос,
тот из нас, кто вышел первым, отвечает знаком, рисуя в воздухе квадрат или
круг. Один из этих знаков означает "да", другой - "нет", но, какой из
знаков что означает, мы тебе не скажем. Знак, означающий "да", нарисован
на оборотной стороне того знака с вопросом, но мы не покажем тебе ее, пока
ты не скажешь, кто из нас Труляля и кто Траляля. Разумеется, тот из нас,
кто вышел первым (ему предстоит отвечать на вопрос), видел, что нарисовано
на оборотной стороне знака, и поэтому знает, какой знак означает "да", а
какой "нет". Но, отвечая на вопрос на языке знаков, он может не только
говорить правду, но и лгать!
   - Боюсь, что я не совсем вас понимаю, - сказала Алиса.
   - Я имею в виду, что если, например, круг означает "да", то тот из
нас, кто говорит правду, в ответ на вопрос нарисует в воздухе круг, а тот,
кто лжет, нарисует квадрат.
   - Вот теперь все понятно! - обрадовалась Алиса.
   - Прекрасно! Тогда начнем! Да, хочу предупредить тебя еще вот о чем.
Мы с братцем договорились, что если на вопрос отвечает Траляля, то он
лжет, а если Труляля, то он говорит правду.
   76. Кто есть кто?
   Оба братца зашли в домик. Почти сразу же один вышел и молча встал рядом
с Алисой. Вскоре из домика появился и второй братец со "знаком", на
котором было написано; 
   Квадрат ли начерчен на оборотной стороне этого знака?
 
   Братец, стоявший рядом с Алисой, в ответ нарисовал в воздухе круг. Кто
из братцев Траляля?
   77. О чем спросила Алиса?
   - Поздравляем! - закричали братцы, - Ты опять выиграла.
   - А теперь самая интересная из всех игр! - сказал Труляля. -
Выиграешь ее - получишь специальный приз!
   - На этот раз, - продолжал он, - мы не договорились между собой,
кто из нас лжет и кто говорит правду. Поэтому мы поступим так. Мы оба
войдем в домик и оба выйдем. У каждого из нас в кармане будет по карте
красной или черной масти. Тот, у кого карта красной масти, говорит правду.
Тот, у кого карта черной масти, лжет. Кроме того, у одного из нас в другом
кармане припрятан специальный приз. Угадаешь, у кого из нас приз, получишь
его. Кто из нас Труляля и кто Траляля, на этот раз неважно.
   Твое дело угадать, у кого приз. Когда мы выйдем из домика, ты укажешь
на одного из нас и задашь ему вопрос, только такой, чтобы на него можно
было ответить "да" или "нет". Тот, кому ты задашь вопрос, ответит тебе
знаком.
   Он нарисует в воздухе квадрат или круг. Но вот что важно:
   если приз у него, то квадрат означает "да", а круг означает "нет". Если
же приз не у него, то квадрат означает "нет", а круг означает "да". К тому
же он может либо говорить правду, либо лгать - в зависимости от того,
какой масти у него карта - красной или черной.
   - А какой вопрос я должна ему задать? - поинтересовалась Алиса.
   - А это уж тебе знать лучше! - торжествующе ответил Труляля. -
Выбрать правильный вопрос - самое трудное в этой игре. Сумеешь придумать
правильный вопрос - получишь приз. Непременно!
   - Боюсь, что без карандаша и бумаги на этот раз не обойтись, -
заметила Алиса. - Кроме того, отправляясь в Зазеркалье, я забыла взять с
собой мою записную книжку.
   Труляля быстро сбегал в дом и принес блокнот и карандаш.
   - Мы с братцем побудем в домике, пока ты придумаешь свой вопрос.
Когда у тебя все будет готово, ты нас позовешь и мы выйдем. Времени у тебя
предостаточно - думай, сколько хочешь.
   Братцы отправились к себе в домик, а Алиса принялась напряженно
размышлять над задачей. Наконец она закричала:
   - Готово!
   Братцы вышли из домика, Алиса задала одному из них свой вопрос, и тот
ответил, нарисовав в воздухе либо квадрат, либо круг. Тогда Алиса указала
пальцем на одного из братцев и сказала:
   - Приз у вас!
   Приз действительно оказался у него. Какой вопрос, позволивший сразу
определить, у кого находится приз, придумала Алиса?
   - Прими еще раз наши поздравления! - сказали оба братца. - Ты
безусловно заслужила свой приз!
   С этими словами они вручили Алисе приз, изящно упакованный в бумагу и
перевязанный ленточкой. Алиса принялась разворачивать упаковку, но
напрасно: чем больше она разворачивала, тем плотнее становилась упаковка!
   - Разве ты забыла, что находишься в Зазеркалье? - спросил один из
братцев.
   - Ах да! - вспомнила Алиса и принялась заворачивать сверток в
упаковочную бумагу и завязывать ленточку.
   Правильный подход не замедлил сказаться: словно по волшебству, сверток
сам собой развернулся! Призом были карандаш и новенькая очень красивая
записная книжка.


                                  Глава 8

                       И это самое прекрасное в ней!

   "Вот это действительно было интересно! - сказала про себя Алиса
вскоре после того, как она рассталась с Траляля и Труляля. - Гораздо
лучше, чем сдавать эти противные скучные экзамены! И записная книжечка
такая красивая! Как раз то, что мне нужно!" Подумав так, Алиса присела на
пенек и некоторое время занималась тем, что заносила в свою новенькую
записную книжку различные приключения, которые ей хотелось запомнить, в
особенности логические игры, в которые она играла с Траляля и Труляля.
Заметок оказалось так много, что Алиса исписала целых девять страничек.
   "А теперь в путь, - подумала Алиса, поднимаясь с пенька. -
Интересно, встречу ли я Белого Рыцаря? Мне бы очень хотелось повидаться с
ним. Мне так много нужно ему рассказать!"
   Вскоре Алиса увидела Шалтая-Болтая. Он сидел на том же самом месте на
той же самой стене. Увидев Алису, он ухмыльнулся во весь рот - от уха до
уха.
   - Чистая работа! Чисто сделано! - сказал он.
   - Что чисто сделано? - спросила Алиса.
   - Как что? Ловко ты одурачила этих Королев с их двенадцатым вопросом!
Поделом им! Нечего приставать к тебе с этим дурацким экзаменом!
   - Как, вы об этом знаете? - удивилась Алиса.
   - Должен заметить, однако, - начал Шалтай-Болтай, - что если бы я
устроил тебе экзамен, то ...
   - Пожалуйста, не нужно никаких экзаменов! - поспешно перебила его
Алиса.
   - Если бы я устроил тебе экзамен, - повторил Шалтай-Болтай, - то
... Как ты думаешь, что бы я сделал?
   - Не имею ни малейшего представления, - ответила Алиса с некоторым
беспокойством.
   - Так знай же, дитя мое, что если бы я вздумал устроить тебе экзамен
(заметь, что я и не думаю делать этого!), но если бы я все же вздумал
устроить тебе экзамен, то задавал бы тебе только такие вопросы, на которые
нет ответа! Такие вопросы лучше всего, уж поверь мне!
   - А какой смысл задавать вопросы, на которые нет ответа? - спросила
Алиса.
   - Именно такие вопросы и заставляют думать, - ответил Шалтай-Болтай.
   - Думать о чем? - спросила Алиса.
   - О том, каким мог бы быть ответ! - ответил Шалтай-Болтай.
   - Но вы же сами сказали, если мне не послышалось, что ответов на эти
вопросы нет.
   - Нет, - подтвердил Шалтай-Болтай, - и это самое прекрасное в них!
   Алиса немного подумала, но, как она ни старалась, не смогла придать
хоть какой-нибудь смысл словам Шалтая-Болтая.
   - А вы не могли бы привести хоть один пример такого вопроса? -
попросила Алиса.
   - Вот теперь ты говоришь как разумный ребенок, - похвалил ее
Шалтай-Болтай. - Почему же не могу? Хочешь, я, не сходя с места,
придумаю тебе два примера? С какого ты предпочла бы начать?
   - Откуда я знаю? - сказала Алиса. - Я же не знаю, какие примеры
вы придумаете. Как же я могу сказать, с какого примера лучше начать?
   - Ты абсолютно права! - просиял ШалтайБолтай.
   - Вот это то, что я называю логически мыслящим ребенком!
   Я приведу сейчас замечательный пример вопроса, на который нет ответа.
Вот как он звучит:
   - Можно ли считать "нет" правильным ответом на этот вопрос?
   - На какой вопрос? - спросила Алиса.
   - На вопрос, который я только что задал! - пояснил Шалтай-Болтай.
Алиса немного подумала.
   - Нет, - сказала она, - конечно же, нет!
   - Вот ты и попалась! - с гордостью заявил Шалтай-Болтай.
   - Как? - не поверила Алиса.
   - Суди сама, дитя мое! На мой вопрос ты ответила "нет", правильно?
   - Правильно! - согласилась Алиса.
   - А разве ты ответила правильно? - спросил Шалтай-Болтай.
   - Конечно! - уверенно ответила Алиса. - Какие могут быть сомнения?
   - Вот тут-то ты и попалась! - заявил ШалтайБолтай.
   - Так как ты ответила "нет" и ответила правильно, то на заданный
вопрос правильного ответа не существует!
   - Именно это я и утверждаю! - сказала Алиса.
   - Не совсем так! Если "нет" - правильный ответ, то когда я
спрашиваю тебя, можно ли считать его правильным, ты должна была бы
ответить "да", а не "нет"!
   Алиса задумалась, и внезапно ей все стало ясно.
   - Ну конечно же! - закричала она. - Вы абсолютно правы! Я должна
была бы ответить "да", а не "нет"!
   - Вот ты и опять попалась! - торжествующе заметил Шалтай-Болтай.
   - Почему? - в изумлении воскликнула Алиса.
   - Конечно, попалась, дитя мое! - "Да" не может быть правильным
ответом!
   - Почему? - спросила Алиса, удивленная еще больше, чем прежде.
   - Ответить "да" - значит утверждать, что "нет"
   - правильный ответ. Но если "нет" - правильный ответ, то ты должна
была бы дать его вместо того, чтобы давать неправильный ответ "да"!
   - Ах так! - сказала Алиса, окончательно запутавшись. - Выходит, я
правильно ответила в первый раз. Значит, на ваш вопрос мне все же
следовало ответить "нет".
   - Вовсе не следовало! - резко оборвал ее Шалтай-Болтай. - Я же
доказал тебе это!
   - Сдаюсь! - устало сказала Алиса. - А какой ответ правильный?
   - Правильного ответа не существует, - торжествующе заявил
Шалтай-Болтай, - и это - самое прекрасное в таких вопросах!
   - А откуда вы берете эти головоломные вопросы? - спросила Алиса.
   - Я придумываю их сам! - с гордостью ответил Шалтай-Болтай.
   - Разве я не прав?
   - Правы в чем? - спросила Алиса.
   - Разве такие вопросы не заставляют думать?
   - Еще как заставляют! - призналась Алиса. - У меня от вашего
вопроса чуть не разболелась голова! Уж не парадокс ли ваш вопрос?
   - Вот именно, дитя мое! Великолепный пример парадокса, и это -
самое прекрасное в нем! Я сам его придумал!
   - Знаю, - подтвердила Алиса. - Вы повторили это уже дважды.
   - Не совсем! - возразил Шалтай-Болтай. - Я сказал это дважды, а
повторил только один раз.
   - Но дело не в этом, - продолжал он. - Обычно парадоксам придают
форму утверждений, а не вопросов. Мой же парадокс (и в этом его новизна)
облечен в форму вопроса, а не утверждения. В основе его та же
замечательная идея, которая заложена в знаменитом утверждении,
утверждающем, что оно ложно!
   - А что это за утверждение? - спросила Алиса.
   - Это очень известное утверждение. Если хочешь, могу записать тебе
его на память.
   Алиса протянула Шалтаю-Болтаю карандаш и записную книжку.
   Шалтай-Болтай просмотрел первые девять страниц.
   - Очень интересно, - заметил он, - но ты забыла пронумеровать
страницы. Не забывай, что страницы нужно непременно нумеровать. Иначе как
ты узнаешь, какая страница за какой следует?
   - Но ведь странички не вырваны из записной книжки, - возразила
Алиса, - а переплетены вместе, поэтому сразу видно, какая страничка за
какой следует!
   - Все равно страницы нужно нумеровать! - настаивал Шалтай-Болтай.
- -- Я их тебе сейчас перенумерую.
   Он перенумеровал первые девять страниц, а затем еще чистые десятую и
одиннадцатую страницы. Затем на десятой странице он написал 
   - 10 -
 Утверждение на странице 10 ложно 
   и отдал записную книжку Алисе.
   - Что ты теперь скажешь? - спросил ШалтайБолтай.
   - Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?
   - На этот вопрос невозможно ответить, - сказала Алиса, немного
подумав. - Оно может быть и истинным, и ложным.
   - Неправильно! - воскликнул Шалтай-Болтай. - Неправильно, что оно
может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!
   - А почему? - спросила Алиса.
   - Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение
быть истинным?
   - А почему бы нет? - удивилась Алиса.
   - Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно.
Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но
в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно
должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же
утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным.
Следовательно, оно не может быть истинным.
   - Совершенно верно! - сказала Алиса. - А раз оно не может быть
истинным, то должно быть ложным.
   - Опять неправильно! - торжествующе сказал Шалтай-Болтай. - Оно
не может быть и ложным!
   - А почему? - спросила Алиса.
   - А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем
говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно
ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует
действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в
действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно
истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не
может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!
   - Как же быть? - огорченно сказала Алиса. - Я опять в таком же
затруднительном положении, как с вашей первой задачей!
   - Совершенно верно! - согласился Шалтай-Болтай. И это самое
прекрасное.
   - Припоминаю, - продолжала Алиса, - что мне приходилось слышать о
похожем парадоксе и раньше - историю о древнегреческом философе
Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:
   "Все критяне лжецы". Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если
Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.
   - Неправильно! - решительно возразил Шалтай-Болтай.
   - Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка.
   Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом
деле никакой это не парадокс!
   - Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? - попросила Алиса.
   - Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом - того, кто все
время лжет, или того, кто лжет время от времени?
   - Я никогда не задумывалась над этим раньше, - призналась Алиса,
- но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы
называть лжецом.
   - Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, - ответил
Шалтай-Болтай. - Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если
понимать слово "лжец" по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время
от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени
лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное
утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение - о
том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.
   - Вижу, - сказала Алиса. - Наверное, мне нужно было иначе
определить, что такое лжец? По-видимому, лжец - это человек, который
всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?
   - Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, - уверил ее
Шалтай-Болтай. - Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь,
то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все
критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет.
   Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение.
Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и
мы приходим к противоречию.
   - Да ведь это парадокс! - сказала Алиса.
   - Нет! - возразил Шалтай-Болтай. - Противоречие возникает только
в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать,
что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!
   - Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, - попросила
Алиса.
   - Охотно, - согласился Шалтай-Болтай. - Что мы имеем в виду,
когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее:
неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один
критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида
следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от
времени говорит правду, а это совсем не парадокс!
   - Как интересно! - воскликнула Алиса.
   - Кстати сказать, - заметил Шалтай-Болтай, - если мы примем
дополнительно два допущения о том, что Эпименид - единственный критянин
и что высказанное им утверждение - единственное утверждение, когдалибо
сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс! Он будет в
точности таким же, как то утверждение, которое я написал на листке из
твоей записной книжки. Помнишь, в нем говорилось о том, что оно ложно?
   - Поразмысли над этим, - посоветовал Шалтай Болтай. - а я хочу
предложить тебе провести еще один опыт. Не дашь ли ты мне еще раз свою
записную книжку?
   Алиса с готовностью протянула ему карандаш и записную книжку.
Шалтай-Болтай что-то написал в ней и, вернув записную книжку, сказал:
   - Взгляни на страницу II. Истинно написанное там утверждение или
ложно?
   Алиса открыла записную книжку на странице 11 и прочитала:
 
   - 11 -
 Утверждение на странице 11 истинно 
   Алиса немного подумала и ответила:
   - Я ничего не могу сказать. Мне кажется, что оно может быть и
истинным, и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия не
возникает. Если же оно ложно, то никакого противоречия также не возникает.
   - На этот раз ты абсолютно права! - согласился Шалтай-Болтай.
   - Да ты, я вижу, хамелеонная девочка!
   - Что вы имеете в виду? - удивилась Алиса.
   - А то, что ты говоришь то неправильно, то правильно, совсем как
хамелеон, который меняет свою окраску: то он одного цвета, то другого.
   Такое употребление слова "хамелеонный" показалось Алисе весьма
странным. Впрочем, у Шалтая-Болтая (как она вспомнила) слова означали
только то, что он хотел, не больше и не меньше.
   - Я хотел бы провести еще один опыт, - сказал Шалтай-Болтай. -
Дай-ка мне еще раз твою записную книжку.
   Взяв у Алисы ее записную книжку, Шалтай-Болтай стер номера 10-й и 11-й
страниц и вместо 10 написал II, а там, где стоял номер II, написал 10,
после чего странички стали выглядеть так:
 
   - 10 - - 11 -
 Утверждение Утверждение на странице 11 на странице 10 ложно истинно 
   - Как, по-твоему, - спросил Шалтай-Болтай, - ложно или истинно
утверждение на странице 11?
   Алиса задумалась, как вдруг ей в голову пришло решение.
   - Утверждение на странице 11 не может быть ни ложным, ни истинным,
- -- сказала она. - Это еще один парадокс!
   - Правильно! - сказал Шалтай-Болтай. - Но как это доказать?
   - Очень просто, - сказала Алиса. - В утверждении на странице 11 в
действительности говорится только не прямо, а косвенно, что оно ложно: в
нем говорится, что истинно утверждение на странице 10, в котором
говорится, что утверждение на странице 11 ложно. Следовательно, если
утверждение на странице 11 истинно, то оно должно быть ложно, а если оно
ложно, то должно быть истинно, и мы снова получаем парадокс.
   - Ты растешь прямо на глазах! - воскликнул Шалтай-Болтай, очень
довольный своей ученицей.
   - Вы знаете, есть один парадокс, который мне так и не удалось решить,
сколько я ни старалась, - сказала Алиса.
   - Может быть, вы сможете мне чем-нибудь помочь?
   - Буду очень рад, - ответил Шалтай-Болтай, которому очень польстила
просьба Алисы. - Я перерешал все задачи, которые когда-либо были
изобретены, и еще больше задач, которые никогда не были изобретены. Так в
чем твоя задача?
   - В ней говорится о брадобрее, - сказала Алиса. - В одном
небольшом городе жил брадобрей, который брил всех жителей города, которые
не брились сами. Брился ли сам брадобрей или не брился?
   - Это очень старая и очень легкая задача! - засмеялся Шалтай-Бо