Болтая за весьма полезные уроки логики и прямиком
отправилась в лес, туда, откуда слышался храп.
   Вскоре она действительно увидела Черного Короля. Он только что
проснулся и стоял в окружении Траляля и Труляля, которые не спускали с
него глаз.
   - Видите, Король проснулся! - закричала Алиса обоим братцам. - А
я не погасла, как свеча! Я существую, как прежде! Что вы на это скажете?
- -- добавила она торжествующе.
   - Думаю, нам лучше вернуться в наш домик, - сказал Труляля,
обращаясь к братцу. - Вот-вот разразится ливень.
   - Ты можешь остаться здесь, если тебе угодно, - добавил он,
взглянув на Алису, - а мы с братцем идем домой.
   Алиса взглянула вверх. На небе не было ни облачка.
   - Думаю, мне лучше остаться, - сказала она. - Мне нужно
поговорить с Черным Королем. Но я хотела бы еще раз поблагодарить вас за
чудесные логические игры. Они мне так понравились!
   Держа друг друга за руки, братцы медленно поплелись из леса. Проводив
их взглядом, Алиса повернулась к Черному Королю, который к тому времени
полностью очнулся от сна.
   - Ты, должно быть, Алиса! - сказал Черный Король.
   - Да, - ответила Алиса, - а как вы узнали?
   - Ты знаешь, - сказал Король, - мне только что приснился странный
сон! Мне снилось, будто я гулял по лесу с Траляля и Труляля и мы набрели
на девочку, которая прикорнула под деревом. Она была очень похожа на тебя.
   - Кто это? - спросил я.
   - Это Алиса, - ответил Труляля, - и знаете, что ей снится?
   - Откуда кто-нибудь может знать, что ей снится? - ответил я. "Ей
снитесь вы. Ваше Величество!" - сказал Труляля. Затем оба братца
попытались убедить меня, что я сам по себе не существую, а только снюсь
тебе и что если ты проснешься, то я сразу - фьють! - потухну, как
свеча!
   Поэтому, - продолжал Король, - я очень рад видеть тебя наяву и
убедиться, что я жив, а не потух - фьють!
   - как свеча!
   - Какое сверхнеобычное совпадение! - воскликнула Алиса. - То же
самое, только наоборот, приключилось со мной, когда я впервые увидела вас,
Ваше Величество. Вы тогда спали, а я была с Траляля и Труляля, и они
принялись убеждать меня, что я вам только снюсь и, если вы вдруг
проснетесь, потухну - фьють! - как свеча!
   - Вот видишь, - улыбнулся Черный Король, - а сейчас мы с тобой
бодрствуем, и никто из нас не потух - фьють! - как свеча! Сдается мне,
что братцы Траляля и Труляля либо заблуждались, либо просто подшучивали
над нами!
   - Но откуда мне быть уверенной, что я бодрствую? - спросила Алиса.
- Разве не может так случиться. что я сплю и все происходящее мне просто
снится?
   - Очень интересный вопрос! - обрадовался Черный Король. -
Ответить на него не так-то легко! Однажды у меня была довольно
продолжительная дискуссия на эту тему с Шалтаем-Болтаем. Ты с ним знакома?
   - О да! - ответила Алиса.
   - Шалтай-Болтай - один из самых проницательных мыслителей, каких я
только знаю. Он способен убедить кого угодно и в чем угодно, стоит ему
только захотеть! Так вот, Шалтай-Болтай чуть не убедил меня, что у меня
нет веских оснований считать себя бодрствующим, но я все-таки переспорил
его! Дискуссия отняла у меня около трех часов, но под конец я убедил его,
что должен быть бодрствующим. Он сдался, я выиграл спор, и тогда...
   Черный Король замолчал на полуслове и погрузился в размышления.
   - И что же случилось тогда? - спросила Алиса.
   - И тогда я проснулся! - признался Черный Король, и вид у него был
несколько растерянный.
   - Значит, после всего прав все-таки оказался Шалтай-Болтай ! -
воскликнула Алиса.
   - Прав в чем? - спросил Черный Король. - Ведь в действительности
никакого спора между мной и Шалтаем-Болтаем не было! Мне все это
приснилось!
   - Я не имела в виду реального Шалтая-Болтая, - сказала Алиса. - Я
говорила о Шалтае-Болтае, который вам приснился. Он-то и был прав!
   - Минуточку! - возразил Черный Король. - Уж не хотите ли вы
сказать, что существуют два ШалтаяБолтая, реальный и тот, который мне
приснился? Алиса не сразу нашлась, что ответить.
   - Как бы то ни было, - продолжал Черный Король, - мне удалось
придумать несравненно более убедительное доказательство того, что я
бодрствую. Возможно, мои рассуждения безупречны. Они просто не могут не
быть правильными!
   - Мне бы очень хотелось их услышать, - призналась Алиса.
   - Должен тебе сказать, - начал Черный Король, - что я
придерживаюсь теории, согласно которой все живые существа на свете
подразделяются на два типа: тип A и тип B. Существа, принадлежащие к типу
A, судят обо всем абсолютно здраво наяву и абсолютно превратно во сне.
Все, в чем они убеждены наяву, истинно. Все, в чем они убеждены во сне,
ложно. Существа, принадлежащие к типу B, наоборот, судят обо всем
абсолютно превратно наяву и абсолютно здраво во сне.
   - Что за необыкновенная теория! - сказала Алиса.
   - И какие у вас доказательства, что она правильна?
   - Чуть позже я докажу тебе, что моя теория вне всяких сомнений верна,
а пока мне хотелось бы обратить твое внимание на некоторые следствия из
моей теории. Прежде всего из нее непосредственно следуют два утверждения.
   Утверждение 1. Если в какой-то момент времени некто считает себя
бодрствующим, то он должен принадлежать к типу A.
   Утверждение 2. Если в какой-то момент времени некто считает себя
принадлежащим к типу A, то он должен в это время бодрствовать.
   Затем к удовлетворению Алисы Черный Король доказал оба утверждения (по
крайней мере Алисе не удалось обнаружить ошибки в его доказательствах).
   88. Всего лишь один вопрос Действительно ли следуют из теории Черного
Короля утверждения 1 и 2?
   - Теперь, когда ты знаешь доказательства утверждений 1 и 2, я могу
наконец доказать тебе, что сейчас я бодрствую.
   Доказательства Черного Короля - Я докажу три пункта, - сказал
Король. - Вопервых, что я принадлежу к типу A. Во-вторых, что я
бодрствую. В-третьих, что моя теория правильна. Прежде всего ты должна
принять за исходную посылку, что я убежден в истинности всех трех пунктов.
В этом ты мне не откажешь?
   - Разумеется, не откажу, - согласилась Алиса. - Я ни на минуту не
сомневаюсь, что вы убеждены в истинности всех трех пунктов. Неясно лишь,
истинны ли они на самом деле!
   - Из того, что я убежден в их истинности, - ответил Черный Король,
- -- следует, что они должны быть истинны.
   - Как? - воскликнула Алиса в изумлении. - Не хотите ли вы
сказать, Ваше Величество, будто из того, что кто-то убежден в истинности
чего-то, следует, что это что-то должно быть истинно?
   - Разумеется, нет! - вскричал Черный Король. - Я не хуже тебя
знаю, что от того, что кто-то убежден в истинности чего-то, отнюдь не
обязательно следует, что это что-то истинно. Но три пункта, которые я
назвал, обладают поистине замечательным свойством: если кто-нибудь убежден
в истинности любого из них, то они становятся истинными!
   - Как такое может быть? - удивилась Алиса.
   - А вот это я сейчас тебе докажу! - пообещал Черный Король. -
Следи за моими рассуждениями внимательно. Так как я убежден, что
бодрствую, то должен принадлежать к типу A.
   - Это следует из утверждения 1, - согласилась Алиса.
   - Правильно! - подтвердил Король. - Из утверждения 2 следует, что
так как я убежден, что принадлежу к типу A, то я должен сейчас
бодрствовать.
   - Да, - кивнула Алиса.
   - Прекрасно! - торжествующе провозгласил Король.
   - Так как я бодрствую и принадлежу к типу A, то убеждения, которых я
придерживаюсь сейчас, здравы. А так как мои убеждения здравы и я убежден в
правильности предложенной мной теории, то эта теория правильна! Что может
быть убедительнее такого доказательства?


                                 Глава 12

                               Какая Алиса?

   - Постойте, постойте! - сказал Майкл. - Уж не думаете ли вы, что
я поверю в теорию Черного Короля?
   - А почему бы и нет? - поддразнил я его, едва удерживаясь от улыбки.
   - Это самая нелепая теория, какую я когда-либо слышал!
   - Почему? - невинно осведомился я. - Разве она логически не
возможна?
   - Разумеется, нет! - отрезал Майкл. - Она же сумасшедшая от
начала и до конца!
   - Но разве Черный Король не доказал, что его теория правильна? -
спросил я.
   Последовала продолжительная пауза: мой оппонент погрузился в
размышления. Первой молчание нарушила Алиса.
   - Не совсем, - заметила она. - Доказательство Черного Короля
логически небезупречно.
   - Можешь ли ты указать хоть одну логическую ошибку?
   - спросил я с самым беззаботным видом.
   - Все его "доказательство" основано на порочном круге, -
рассердилась Алиса. - Тот, кто считает себя принадлежащим к типу A,
должен бодрствовать, а тот, кто считает себя бодрствующим, должен
принадлежать к типу A! Да такие рассуждения опираются в первую очередь на
теорию Короля, а ее правильность "доказывается" с их помощью!
   - Очень хорошо! - кивнул я. - Диагноз поставлен верно! В
рассуждениях Черного Короля действительно содержится порочный круг!
   - Значит, я был прав! - обрадовался Майкл. - Теория Черного
Короля ошибочна!
   - Вовсе нет! - резко возразил я. - Алиса не доказала, что его
теория ошибочна. Ей удалось доказать лишь, что Черный Король не смог
доказать правильность своей теории. Но ошибочность предложенного Черным
Королем доказательства еще не означает ошибочности самой теории.
   - Но это же глупейшая из теорий, которые я когда-нибудь слыхал! -
настаивал Майкл.
   - Глупая - одно, логически невозможная - совсем другое, -
ответил я. - Согласен с тобой, что теория в высшей степени
неправдоподобная, но это еще не означает, что она логически невозможна.
   - В рассуждениях Короля также есть одна тонкость, которую мне
хотелось бы подчеркнуть, - добавил я. - Если бы сам Король принадлежал
к типу A или B, то от того, что он убежден в истинности трех доказываемых
им тезисов, эти тезисы действительно стали бы истинными! Рассуждения
Короля стали бы правильными, если бы мы добавили еще одну исходную
посылку, предположив, что Король принадлежит к типу A или к типу B. Если
Король принадлежит к одному из этих типов, то отсюда следует, что и любое
другое существо также принадлежит либо к типу A, либо к типу B, то есть
что теория Короля должна быть правильной.
   - Все равно я считаю, что глупее, чем теория Короля, ничего не
придумаешь, - сказал Майкл, как бы подводя итог нашему разговору.
   Но на этом история не закончилась! Ночью Алисе приснился странный сон.
Когда она ложилась спать, в голове у нее еще роилось множество необычных
логических задач, которые она услышала за день. В частности, ей не давали
покоя замена истины ложью и лжи истиной в рассуждениях зазеркальных
логиков и теория Черного Короля.
   "Возможно ли в действительности, чтобы теория Черного Короля была
правильной? - размышляла Алиса. - Если да, то хотела бы я знать, к
какому типу я принадлежу - к типу A или к типу B?".
   И тут Алисе приснился сон. Ей снилось, что она не она, а другая Алиса,
та, из Зазеркалья. Ей снилось, что она повстречала Черного Короля и
указала тому на пробелы в его доказательстве. Он исправил ошибку и
предложил Алисе новое доказательство, одной из посылок которого было
предположение о принадлежности Короля к типу A или B. (К сожалению,
проснувшись на следующее утро, Алиса не смогла припомнить новое
доказательство Короля, поэтому я затрудняюсь сказать вам, в чем оно
состояло!) Тем не менее во сне Алиса была полностью убеждена, что Король
действительно принадлежал либо к типу A, либо к типу B и что, таким
образом, всякое живое существо, как следовало из первого доказательства
Короля, принадлежало либо к типу A, либо к типу B. Между Алисой и Черным
Королем состоялся следующий разговор:
   - Существует на свете еще одна Алиса, - сказал Король. - Сейчас
она спит, и ей снится, что она - это ты.
   - Необыкновенно интересно! - воскликнула Алиса. - А разве не
может быть так, что это я сейчас сплю и мне снится, что я - это она?
   - Это одно и то же, - ответил Король. - Какая разница?
   Замечание Короля поразило Алису! Ей было совсем не понятно, почему это
одно и то же.
   - Как, по-твоему, какая ты Алиса, та или эта? - спросил Король.
   - Сейчас я вряд ли смогу ответить на этот вопрос, - призналась
Алиса.
   - К какому типу ты принадлежишь - к A или B? - спросил Король.
   - Боюсь, что и на этот вопрос я не смогу ответить, - призналась
Алиса. - Сейчас я даже не уверена, сплю я или бодрствую.
   - Позволь мне подвергнуть тебя небольшому тесту, - попросил Король.
- -- Какого цвета у тебя глаза?
   - Карие ... Ах нет! Думаю, что они синие ... Нет, подождите! Это
зависит от того, какая я Алиса. Какая же я Алиса и какого цвета у меня
глаза?
   - Если позволишь, я бы сформулировал эту задачу так, - предложил
Черный Король. - Бармаглот знает и тебя, и другую Алису. Когда Бармаглот
спит, он убежден, что у одной из вас глаза карие, а у другой синие. Когда
Бармаглот бодрствует, он убежден, что у тебя глаза карие, а у другой Алисы
синие. Так скажи мне теперь, какого цвета у тебя глаза?
   Решение этой нехитрой задачки я целиком предоставляю вам, дорогой
читатель. Какого цвета глаза у Алисы, которую я знаю? А у другой Алисы? И
еще: к какому из двух типов (A или B) принадлежит Бармаглот?


                                  РЕШЕНИЯ

                                  Глава 1

  Кто Джон? Для того чтобы узнать, кого из двух братьев-близнецов
зовут Джон, нужно спросить одного из них:
   "Джон говорит правду?". Если в ответ на этот вопрос последует "да", то
независимо от того, лжет ли спрошенный близнец или говорит всегда только
правду, он должен быть Джоном. Если же он ответит "нет", то Джоном зовут
его брата. Доказать это можно следующим образом.
   Если спрошенный близнец отвечает "да", то он тем самым утверждает, что
Джон говорит правду. Если это утверждение истинно, то Джон действительно
говорит правду, а так как говорящий изрек истину, то его и должны звать
Джоном, Если же высказанное утверждение ложно, то Джон в действительности
не говорит правду. Значит, Джон лжет, как лжет и спрошенный близнец.
Следовательно, и в этом случае спрошенного должны звать Джоном. Тем самым
доказано, что независимо от того, говорит ли тот, к кому мы обращаемся с
вопросом, всегда только правду или лжет, он должен быть Джоном (в
предположении, что на наш вопрос он ответил "да").
   Если же спрошенный нами ответит "нет", то тем самым он утверждает, что
Джон говорит неправду. Если это утверждение истинно, то Джон не говорит
правду, а если ложно, то Джон говорит правду. И в том и в другом случае
спрошенный близнец поступает не так, как Джон.
   Следовательно, он должен быть братом Джона. Таким образом, "нет" в
ответ на заданный вопрос означает, что спрошенного зовут не Джон.
   Разумеется, вопрос "Лжет ли Джон?" ничуть не хуже. "Да"
   в ответ на этот вопрос означает, что спрошенный близнец не Джон, а
"нет" - что его зовут Джон.
   Мне удалось придумать только эти два вопроса в три слова, которые
позволяют решить задачу. Интересно, есть ли другие?
   * * *
 Во второй задаче (найти вопрос из трех слов, позволяющий установить, не
лжет ли Джон) достаточно просто спросить:
   "Вы не Джон?"
   Предположим, что близнец, к которому мы обращаемся, отвечает "да". Он
либо говорит правду, либо лжет.
   Предположим, что выбранный нами близнец говорит правду.
   Тогда его действительно зовут Джон, а так как он говорит правду, то
Джон всегда говорит только правду.
   Предположим теперь, что близнец, к которому мы обращаемся, лжет. Тогда
в действительности его зовут не Джон (раз он утверждает, что его зовут
Джон). Значит, он лжет и его зовут не Джон, поэтому Джоном должен быть тот
из братьев, кто всегда говорит только правду. Тем самым доказано, ..что
если близнец, к которому мы обращаемся с вопросом, отвечает "да", то
независимо от того, лжет ли он или говорит правду, того, кто всегда
говорит только правду, зовут Джоном.
   Предположим теперь, что в ответ на наш вопрос мы услышали "нет".
Близнец, к которому мы обратились, либо лжет, либо всегда говорит только
правду. Предположим, что он говорит правду. Тогда он действительно не Джон
и Джоном зовут другого брата, а поскольку другой брат всегда говорит
только правду, Джоном зовут того из двух братьев, кто лжет.
   Предположим теперь, что близнец, к которому мы обратились, лжет. Тогда
(поскольку лжец утверждает, что он не Джон) его настоящее имя должно быть
Джон, поэтому Джоном в данном случае зовут лжеца. Тем самым доказано, что
если близнец, к которому мы обращаемся с вопросом, отвечает "нет", то
независимо от того, лжет он или говорит правду, того, кто лжет, зовут
Джоном.
   Между решениями двух задач, которые решали Алиса и ее гости, имеется
замечательная симметрия. Для того чтобы узнать, не зовут ли того из
близнецов, к которому вы обращаетесь, Джоном, ему необходимо задать
вопрос: "Лжет ли Джон?". Для того чтобы выяснить, лжет ли Джон, необходимо
задать вопрос: "Вы не Джон?".


                                  Глава 2

  1. История первая. По существу, Болванщик заявил, что варенье
украли либо Мартовский Заяц, либо Соня. Если Болванщик солгал, то ни
Мартовский Заяц, ни Соня не украли варенье. Но тогда Мартовский Заяц,
поскольку он не украл варенье, дал правдивые показания. Следовательно,
если Болванщик лгал, то Мартовский Заяц не лгал, поэтому Болванщик и
Мартовский Заяц не могли лгать одновременно.
   Следовательно, когда Соня показала, что по крайней мере один из ее
соседей, то есть либо Мартовский Заяц, либо Болванщик, не лгали, она
сказала правду. Но из условий задачи мы знаем, что Соня и Мартовский Заяц
не могли дать правдивые показания одновременно. Так как Соня сказала
правду, Мартовский Заяц не мог дать правдивые показания.
   Значит, Мартовский Заяц солгал. Его показания ложны.
   Следовательно, варенье украл Мартовский Заяц.
   2. История вторая. Предположим, что муку украл Мартовский Заяц. Так как
тот, кто похитил муку, дал правдивые показания, Мартовский Заяц на суде
сказал правду, то есть муку украл Болванщик. Но мы твердо знаем, что муку
украл только один из трех обитателей домика. Следовательно, Мартовский
Заяц не мог украсть муку. Значит, Мартовский Заяц невиновен. Но поскольку
двое из трех подсудимых дали ложные показания на суде, Мартовский Заяц в
своем выступлении на суде солгал. Неверно, что муку украл Болванщик (как
утверждал Мартовский Заяц). Следовательно, ни Мартовский Заяц, ни
Болванщик не могли украсть муку.
   Значит, муку должна была украсть Соня.
   3. История третья. Если бы кухарка украла перец, то она заведомо знала
бы об этом. Следовательно, давая показания на суде (когда она заявила, что
знает, кто украл перец), она сказала бы правду. Между тем мы твердо знаем,
что те, кто крадет перец, никогда не говорят правды. Следовательно,
кухарка Герцогини невиновна.
   4. Кто же украл перец? Если перец украл Мартовский Заяц, то он лгал
(потому что те, кто крадет перец, всегда лгут).
   Следовательно, его утверждение о Болванщике ложно. Значит, Болванщик
тоже украл перец. Но из условий задачи нам известно, что перец украл
кто-то один. Следовательно, Мартовский Заяц не мог украсть перец. Так как
Мартовский Заяц невиновен, его заявление на суде истинно. Значит, то, что
он сказал о Болванщике, истинно. Следовательно, Болванщик также невиновен.
В свою очередь это означает, что Болванщик сказал правду, поэтому Соня
также невиновна.
   Таким образом, никто из троих подозреваемых не крал перец.
   5. Так кто же все-таки украл перец? Предположим, что Грифон был бы
виновен. Это означало бы, что, выступая на суде, он солгал. Следовательно,
Черепаха Квази не невиновен (как утверждал Грифон), а виновен. Но тогда
виновных было бы двое, хотя перец (как говорилось в предыдущей задаче)
украл кто-то один. Значит, Грифон невиновен. Но тогда на суде он сказал
правду, поэтому Черепаха Квази невиновен.
   Следовательно, Черепаха Квази на суде сказал правду:
   виновен Омар.
   6. Метаза