мого объекта. Нам предстает не только понятие и
образ, но также и чувственно воспринимаемый единичный предмет, который
согласуется не только с формальными, но и с материальными условиями опыта.

Мы будем придерживаться той интерпретации "Начал" Евклида, о которой
упоминает, например, Фридман ([72], c. 88-89). Согласно этой интерпретации
постулаты вводят ряд элементарных операций (построений), которые
рассматриваются как заведомо выполнимые. Любое другое построение будет
выполнимым, если оно представляет собой последовательность этих
элементарных операций. (Естественно, что при дальнейшем изложении геометрии
вместо элементарных операций могут фигурировать и более сложные построения,
выполнимость которых показана ранее.) К развертыванию такой
последовательность выполнимых операций сводится не только решение задач на
построение, но и доказательство теорем. Всякое геометрическое предложение
формулируется как некоторое общее утверждение. Это значит, что в нем
предполагается возможность какого-либо понятия. Важно увидеть, что в любом
предложении (т.е. в синтетическом суждении) речь идет именно об одном
понятии. Добавляя к субъекту новый предикат, мы не устанавливаем отношение
двух понятий, а создаем одно новое. Например, когда мы утверждаем, что
сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, то предполагаем
реальную возможность треугольника, обладающего названным признаком, т.е. мы
говорим, что понятие "треугольник, сумма внутренних углов которого равна
двум прямым" возможно. Выражение в кавычках неудачно в том смысле, что
создает впечатление будто равенство суммы углов указанной величине есть
некий различительный признак, выделяющий определенный вид в роде
треугольников. Последнее, конечно же, неверно. Синтетическое суждение,
являющееся содержанием приведенной теоремы, создает новое понятие, которое
мы попытались назвать с помощью приведенного здесь несколько неуклюжего
выражения. Это понятие нетождественно понятию треугольника, т.к. предикат
не выводится из понятия субъекта. Он присоединяется к нему в процессе
синтеза.

Проводимое далее доказательство, призванное показать реальность возможности
обсуждаемого понятия, как раз и заключается в развертывании синтеза. Нам
необходимо предъявить какую-либо построенную по правилам конструкцию,
соответствующую понятию, реальная возможность которого доказывается.
Конструкция должна быть сооружена в результате ряда действий, предписанных
постулатами. Последовательность применения постулатов составляет схему
рассматриваемого понятия, а возможность понятия будет установлена, когда
будет завершено построение конструкции. Иными словами, возможность понятия
будет установлена, когда мы предъявим соответствующий этому понятию
единичный предмет, воспринимаемый чувствами. Чтобы более точно рассмотреть
взаимодействие возможного и действительного при доказательстве, нам
представляется уместным развернуть процедуру доказательства подробнее,
описав ее в тех терминах, которые использовались еще в античности.



ї 2 Структура доказательства у Евклида в связи с категориями модальности

Сейчас при изложении требующих доказательства предложений в математической
литературе явно выделяются две части: формулировка предложения и его
доказательство. Для античных авторов дело обстояло иначе. В изложении
теоремы выделялось пять или шесть частей.(См. примечание 3)Этот способ
структурирования процедуры доказательства оказывается очень уместным для
правильного понимания соотношения возможного и действительного, а также
общего и единичного в математическом рассуждении. Хинтикка [74] утверждает,
что структура доказательства у Евклида явилась парадигмой для Канта.

Охарактеризуем кратко эти шесть частей изложения теоремы, используя в
качестве примера упомянутую выше теорему о внутренних углах треугольника.

1. Утверждение (protasis) дает общую формулировку теоремы. В нашем случае
эта первая часть теоремы выглядит так: сумма внутренних углов треугольника
равна двум прямым.

2. Экспозиция (ekqesis) указывает на единичный предмет, общее понятие
которого дано в утверждении. Для геометрии естественно в этой части теоремы
дать чертеж.

Пусть ABC - произвольный треугольник.

3. Ограничение или детерминация (diorismos) состоит в переформулировании
общего утверждения для представленного в экспозиции единичного предмета:
сумма углов 1, 2 и 3 равняется двум прямым.

4. Построение (kataskeuh) - это то, что сейчас обычно называют
дополнительным построением. В нашем случае оно выглядит так:

проведем через вершину B прямую, параллельную основанию AC.
5. Доказательство (apodeixis) представляет собой последовательность
логических выводов об элементах конструкции, представленной в предыдущей
части. Эта последовательность должна завершиться утверждением,
представленном в части 3. Для рассматриваемой нами теоремы имеет место
следующий ряд заключений.

Угол 1 равен углу 4, а угол 3 равен углу 5 как накрест лежащие при
пересечении пары параллельных прямых третьей.

Углы 4, 2, 5 в сумме составляют один развернутый, а потому их сумма равна
двум прямым.

Из двух этих утверждений следует, что сумма углов 1, 2 и 3 также равна двум
прямым.

6. Заключение (sumperasma) обобщает вывод, полученный в доказательстве,
повторяя формулировку первой части:

итак, сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым. В предыдущем
параграфе мы уже обсудили смысл утверждения теоремы. Оно содержит общее
синтетическое суждение. Впрочем, назвать его в полном смысле синтетическим
еще нельзя. Хотя оно и присоединяет предикат к субъекту, создавая тем самым
новое понятие, синтез еще не проведен. У нас нет пока уверенности в том,
что названное в protasis понятие соответствует формальным условиям опыта.
Иными словами мы пока только предполагаем возможность понятия.

Ekqesis совершает переход от общего понятия к единичному объекту. С него
начинается процедура конструирования. Вместо возможного треугольника (т.е.
треугольника вообще) нам предстает действительный треугольник. Согласно
Канту, такое выделение единичности составляет необходимый момент
математического рассуждения. "..Математика ничего не может достигнуть
посредством одних лишь понятий и тотчас спешит перейти к наглядному
представлению, рассматривая понятие in concreto, однако не в эмпирическом
наглядном представлении, а в таком, которое a priori установлено ею, т.е.
конструировано, и в котором то, что следует из общих условий
конструирования, должно иметь общее значение также и в отношении к объекту
конструируемого понятия" (B744). Следует обратить внимание на точность
кантовского выражения: "тотчас спешит перейти к наглядному представлению".
В самом деле, сразу после формулировки общего утверждения начинается
конструирование чувственно созерцаемого предмета. Иными словами происходит
актуализация того, что в protasis фигурировало только как возможное. В
ekqesis она (актуализация) в известном смысле беспроблемна, т.к.
конструируется то понятие, возможность которого уже установлена. Здесь лишь
воспроизводится синтез, проведенный ранее, поэтому мы имеем в распоряжении
регулярный способ предъявления единичного предмета, соответствующего
данному понятию (в нашем случае - понятию треугольника).

Детерминация выделяет в структуре единичной конструкции, предъявленной в
экспозиции, определенные конструктивные элементы - те, о которых пойдет
речь в последующем рассуждении. Эта часть теоремы как бы повторяет
protasis. Она также носит гипотетический характер. Но предполагается в ней
не возможность понятия, а действительность конструкции. Теперь мы говорим
только о единичном предмете, который уже начали конструировать. Важно, что,
формулируя интересующее нас свойство, мы уже имеем перед глазами часть
создаваемой конструкции. Говоря, "сумма углов 1, 2 и 3 равняется двум
прямым," мы видим то, о чем говорим. Здесь мы имеем в виду непосредственно
представленный, данный в восприятии, т.е. действительный объект. Этот
объект - след действия, произведенного нами ранее (в экспозиции).

Построение есть прямое продолжение экспозиции. К уже существующему (нами
созданному) объекту мы добавляем новые конструктивные элементы. Каждый
новый элемент добавляется в соответствии с уже известной теоремой или
постулатом. (Последние, напомним, можно рассматривать как элементарные
выполнимые операции или правила построения.) В нашем случае, впрочем,
построение сводится к единственному акту - проведению через вершину B
прямой, параллельной основанию. Но сколь проста ни была бы проводимая нами
операция, она имеет ключевое значение для всей процедуры доказательства
теоремы. Именно сейчас мы произвели конструкцию, полностью коррелятивную
понятию, возможность которого требуется установить. Единичный объект,
полученный в ходе построения и представленный на рисунке (в тексте
настоящего параграфа), есть актуализация этого понятия. На этом рисунке
сумма внутренних углов треугольника изображена так, что ее равенство двум
прямым становится непосредственно видимым.

Есть один очень важный момент, отличающий дополнительное построение от
экспозиции. Построение треугольника в соответствии со схемой понятия
треугольника означало подведение единичного объекта под общее правило. Если
это общее правило (понятие треугольника) задано рассудком, то подведение
подразумевает действие определяющей способности суждения. Но для той
конструкции, которая была создана при дополнительном построении, у нас еще
не было соответствующего понятия. То понятие, возможность которого
предполагается в утверждении теоремы, не имеет еще под собой никакой схемы,
никакого конкретного правила построения. Это правило необходимо изобрести,
причем изобрести так, чтобы из него выводилось утверждение теоремы. Иными
словами, дополнительное построение требует действия рефлектирующей
способности суждения. Создаваемая конструкция (равно как и правило, по
которому она создается) есть обобщающая догадка, есть та общая структура, в
рамках которой становятся ясными интересующие нас отношения ранее
построенных объектов. Все они находят свое место в объединяющей их
конфигурации и конструирование каждого отдельного элемента становится
целесообразным. Следовательно, только благодаря рефлектирующей способности
суждения возможен синтез понятия в теореме.

Если построение есть непосредственное продолжение экспозиции, то
доказательство как бы продолжает детерминацию. Оно представляет собой речь
по поводу проведенного построения, описывая полученную в ходе его
конструкцию. Доказательство, как и детерминация, имеет дело со следом.
Хинтикка утверждает, что эта часть теоремы чисто аналитическая, поскольку,
в отличии от экспозиции и построения, не вводит никаких новых единичных
предметов. Все доказательство можно развернуть в виде цепочки силлогизмов.

1. Накрест лежащие углы равны.
Углы 1 и 4 - накрест лежащие.
____________________________________
углы 1 и 4 - равны.

2. Накрест лежащие углы равны.
Углы 2 и 5 - накрест лежащие.
___________________________________________
Углы 2 и 5 - равны.

3. Смежные углы в сумме равны двум прямым.
Углы 1 и 3+5 - смежные.
___________________________________________

Углы 1 и 3+5 - в сумме равны двум прямым

4. Если слагаемые равны между собой, то их суммы равны .
Слагаемые в суммах 4+5+2 и 1+3+2 равны между собой.
______________________________________________________

4+5+2 и 1+3+2 равны между собой.

5. Если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой.
1+2+3 и p порознь равны 4+5+2
___________________________________________
1+2+3 и p равны между собой.

Обратим внимание на то, что меньшими посылками этих силлогизмов являются
единичные синтетические суждения. (Поэтому и заключение каждого силлогизма
- единичное суждение.) Этим они (меньшие посылки) существенно отличаются,
например, от больших посылок или от утверждения теоремы. В них не
содержится никакого синтеза понятий. Следовательно они не устанавливают (и
не предполагают) возможности. Их роль совершенно иная. Они фиксируют
действительность предмета, описывая актуальный, уже созданный единичный
объект. Все, что говорится по ходу доказательства относится к имеющемуся в
наличии предмету. Это присутствие в наличии (которое, вообще, и есть
действительность) представляет собой необходимое условие доказательства.
Последнее всегда относится к следу проведенного построения. Если при
разговоре об аксиомах или постулатах требование наличия следа (на доске или
бумаге) казалось излишним, то теперь именно этот след и является изучаемым
объектом. Заключительная фраза доказательства в точности повторяет
детерминацию. Но если тогда она произносилась гипотетически, то сейчас
является описанием уже построенного объекта, т.е. констатацией факта. Суть
этой констатации состоит в том, что она указывает на актуализацию того
понятия, возможность которого предполагалась в protasis. Коль скоро нами
построена конструкция, сообразная схеме этого понятия, то оно (понятие)
реально. Возможен его реальный синтез согласно формальным условиям опыта.
Точнее не только возможен, но уже произведен. Поэтому можно вернуться к
первоначальному утверждению теоремы, произнеся его уже в качестве
заключения. Заключение представляет собой общее суждение, указывающее на
реальную возможность понятия, как на установленную. В переходе от
доказательства к заключению можно усматривать логическую трудность. С точки
зрения формальной логики такой переход незаконен, т.к. является заключением
от единичного к общему, т.е. переходом от более слабого утверждения к более
сильному. Проведенное рассмотрение позволяет, однако, взглянуть на дело
иначе. В доказательстве мы говорили о действительном объекте. Заключение
касается лишь возможности того же объекта вообще. То, что действительно,
естественно также и возможно. Обоснование законности заключения, таким
образом, состоит в рассмотрении не количества суждений, а их модальности.
Мы совершаем переход от более сильной модальности к более слабой, чем и
удостоверяем истинность утверждения теоремы.


ї 3 Необходимость и случайность

Пока что мы не касались третьей из категорий модальности - необходимости.
Обращение к ней требует от нас дополнительных разъяснений, ибо возникает
подозрение, что все предыдущее рассуждение содержит какую-то путаницу с
категориями. В самом деле, разве доказательство теоремы устанавливает
возможность суждения? Не лучше ли сказать, что она устанавливает его
необходимость? Совершенно естественно и неоспоримо, в частности, что сумма
внутренних углов треугольника необходимо равняется двум прямым.
Утверждение, что упомянутая сумма возможно равна двум прямым, звучит по
меньшей мере странно. Прежде всего, укажем на два различных (хотя и
близких) понимания возможности. Допустимо (и вполне естественно) говорить о
возможном, как о горизонте всех явлений, которые могут при определенных
условиях возникнуть. Например, речь может идти о спектре различных свойств,
которыми может обладать вещь (точнее о спектре признаков, которые могут
быть присоединены к данному понятию). Треугольник может быть равнобедренным
или вписанным в окружность. Но может и не быть. Но сумма его внутренних
углов равна двум прямым всегда. Этого не может не быть. Это - необходимое
свойство. В противоположность ему два других - случайные. Может так
случиться, например, что треугольник вписан в окружность.

Как, однако, удостовериться в возможности, понимаемой в названном только
что смысле? Как, уж если мы обратились к такому примеру, выяснить, что
треугольник можно вписать в окружность. Процедура выяснения, оказывается,
ничем не будет отличаться от той, которая выполнялась при установлении
необходимого свойства. Мы должны будет установить, что понятие
"треугольник, вписанный в окружность," согласуется с формальными условиями
опыта, т.е. предъявить необходимый синтез настоящего понятия. Говоря более
конкретно, нужно, сформулировав сначала общее суждение о возможности
(protasis), мы должны будем затем начертить треугольник (ekqesis). После
этого общее суждение о возможности будет переформулировано применительно к
единичному предмету (diorismos - вокруг построенного треугольника ABC может
быть описана окружность l). После этого мы проведем серединные
перпендикуляры к двум сторонам треугольника (kataskeyh), докажем, что точка
их пересечения - центр окружности, проходящей через вершины треугольника
(apodeixis), и сделаем окончательный вывод об истинности исходного
утверждения (sumperasma).

Таким образом, возможность и необходимость оказываются категориями
достаточно близкими. Впрочем, речь пока что должна, по-видимому, идти о
двух разных пониманиях возможности. Когда мы обсуждали категорию
возможности в предыдущем параграфе, мы говорили о возможности в
противопоставлении действительности. Мы указывали, что треугольник (с
суммой внутренних углов равной p) является возможным понятием, поскольку
может быть построен. Мы всегда можем предъявить соответствующее ему
созерцание, т.е. создать конструкцию согласно определенной схеме. Этим
названное понятие ничем не отличается от таких, как "равнобедренный
треугольник", или "треугольник, вписанный в окружность". Каждое из них
обнаруживает себя как реальное тогда, когда проведена процедура синтеза и
предъявлена соответствующая актуализация. Здесь мы поэтому говорим о
несколько иной интерпретации той же самой категории. Важно, впрочем, что
для обеих интерпретаций требуется проведение всей полноты синтеза.

Так что устанавливая необходимость какого-либо положения дел, мы
одновременно показываем возможность некоторого понятия. С другой стороны,
выясняя возможность чего-либо, мы обнаруживаем необходимую связь
актуализируемых при этом понятий. Так, когда мы проводим процедуру,
призванную показать возможность понятия "треугольник, вписанный в
окружность," мы одновременно доказываем, например, такое (необходимое)
утверждение: "Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к
сторонам треугольника, есть центр описанной вокруг него окружности".

Возможность и необходимость устанавливаются при одинаковых обстоятельствах,
но относятся к разному. Возможность относится к одному понятию, тому,
которое конструируется в синтетическом суждении. Необходимость относится к
связи понятий. Понятие или предмет не могут быть необходимыми. Необходимым
может быть какое-то положение дел: связь понятий или отношение объектов.

Говоря о возможном, мы всегда подразумеваем случайность. То, что возможно,
может и не произойти. Треугольник может быть и не вписан в окружность, хотя
такое возможно. К чему относится это указание на случайность? Оно относится
к некоторому событию, а именно событию актуализации данного понятия, т.е.
событию построения. Точнее, здесь нужно говорить о ряде событий, после
которых появляются на свет какие-то новые конструкции. Что такое событие не
одно, следует из структуры теоремы, в которой различены ekqesis и
kataskeuh. Возможное возможно, поскольку оно может случиться. Но к этому
моменту случайности относится и указание на необходимость. Некоторое
положение дел необходимо, если возникает всякий раз, когда нечто случится.
Всякий раз, когда треугольнику случится быть вписанным в окружность, центр
этой описанной окружности совпадет с точкой пересечения серединных
перпендикуляров. Установление необходимости требует указания случая.

Обратим внимание, что выражение возможности и необходимости требует, строго
говоря, различных суждений. Возможность фиксируется категорическим
суждением, конструирующим новое понятие. Необходимость фиксируется
гипотетическим суждением, указывающим на условие, при котором неизбежно
наступает некоторое положение дел.

Сказанное легко проследить на примере теоремы о сумме внутренних углов.
Внутренние углы треугольника необходимо составляют в сумме два прямых, но
для этого треугольнику еще нужно случиться. Треугольник - возможное
п