дований англоязычных авторов является, на наш взгляд, попытка выяснить
отношения с реализмом (или платонизмом), который некоторые из них
рассматривают как главную альтернативу структурному подходу. Так Б. Хейл,
выделяя ряд течений в рамках структурализма, отмечает, что все они
"противостоят платонистскому взгляду на математику". Характеризуя
последний, Хейл цитирует С. Шапиро: "Традиционный платонизм полагает, что
предметом исследований той или иной математической дисциплины является
совокупность абстрактных объектов, таких как натуральные числа, каждый из
которых в определенном смысле онтологически независим от любого другого"
([73], c. 126).

Существует одна, на наш взгляд странная, особенность, присущая практически
всем исследователям, придерживающимся структуралистского подхода. Мы уже
отмечали, что идея структуры разрабатывалась - задолго до возникновения
структурализма - в творчестве Кассирера (равно как и других философов
Марбургской школы). Однако никто из структуралистов (насколько, по крайней
мере, нам известно) не указывает на какую-либо связь с кантианской или
нео-кантианской традицией. Более того, в ряде работ встречается известное
отторжение этой традиции. В частности Мулуд указывает на несовместимость
кантовской системы с аксиоматическим подходом ([37], c. 36). (См.
примечание 6) Шапиро ([82], c.149) рассматривает появление аксиоматических
методов и связанного с ними структурного подхода как попытку освободить
математику от априорных форм созерцания (т.е. от интуиции пространства и
времени). Гильбертовскую программу он считает поэтому "глубоко
анти-кантовской", несмотря на то, что сам Гильберт неоднократно заявлял о
своих кантианских пристрастиях (с. 156).

Задачей нашего исследования является согласование трансцендентального
метода со структурным подходом. Мы попытаемся обосновать, что - как уже
отмечалось выше - именно трансцендентализм (кантовского типа) делает
структуру основной категорией математического и естественнонаучного
мышления. Более того, трансцендентализм дает полное обоснование
структурализма: именно в рамках трансцендентального рассмотрения становится
понятным каким образом формальная система (т.е. структура) оказывается
адекватным средством описания физической реальности и почему, в частности,
математика столь эффективна при изучении природы. Таким образом будет
установлено, что структурализм обладает теми же преимуществами, которые
П.Мэдди находила лишь у реализма.

Другой задачей предпринимаемого исследования будет разработка ряда
категорий, необходимых, на наш взгляд, для структурного описания
математического мышления. Проблема состоит прежде всего в том, чтобы
представить понятие структуры в виде философской категории. Для этого
необходимо согласовать его с рядом других категорий, в значительной мере
обуславливающих друг друга. Прежде всего это - объект, конструкция и
дискурс. Нашей задачей будет по возможности точное определение этих
категорий, объяснение их связи и уточнение их онтологического смысла.
Говоря об онтологическом смысле категорий, мы имеем в виду способ
использования их в рассуждении - мы, иными словами, попытаемся установить,
как, пользуясь названными категориями, можно установить существование или
описать нечто как существующее (См. примечание 7)


Примечания к Введению

1. Собственная задача Шеллинга состоит в том, чтобы развить оба названных
подхода и показать их конечное тождество. Нас ни в малейшей мере не будет
интересовать возможность реализации подобного проекта, но само
произведенное Шеллингом разделение представляется очень существенным.
вернуться в текст

2. Кассирер считает, что существо описанной логической процедуры не будет
меняться от того, что именно полагается в основание образуемого
абстрактного понятия. Это может быть и единичная вещь, о которой
"сказываются" ее свойства, и субстантивированная универсалия (как это
полагают средневековые реалисты), и психическое переживание, т.е.
восприятие или ощущение, не обязательно связанное с какой-либо внешней
реальностью. вернуться в текст

3. Самый простой пример такого понимания общего - теория групп -
разбирается Кассирером в связи с рядом современных ему представлений с
психологией зрительного восприятия в [68]. Логическое правило, задающее
группу, определяет множество ее элементов, о которых не нужно знать ничего,
кроме того, что они отличны друг от друга. Именно таким логическим правилом
может быть задана группа преобразований пространства в геометрии.
Инварианты определенных таким способом преобразований могут быть, по мысли
Кассирера также и инвариантами зрительного восприятия пространства.
С другой стороны, этот способ понимания общего отнюдь не является
изобретением Кассирера. Например, Боэций, описавший процедуру
абстрагирования как возможное решение проблемы универсалий ([9], c.27-31),
указал и такую возможность интерпретации общего, при котором оно не может
быть ни субстанцией, ни чем-либо, сказывающимся о субстанции. Так, единая
вещь, может быть общей многим различным и тогда, "когда она становится
общей для всех одновременно, но тогда она не составляет субстанции тех,
для кого является общей, как, например, театр или любое другое зрелище,
общее для всех зрителей" ([9], c. 25). Даже если спектакль, объединяющий
многих зрителей (и исполнителей), и не является строго определенной
логической формой, то во всяком случае представляет собой единую систему
отношений, сообразную некому замыслу. вернуться в текст

4. Кассирер показывает, что оппозиция "внутреннее - внешнее" есть
порождение субстанционального подхода. Именно такой подход
противопоставляет объективную вещь и субъективное представление о вещи. Это
противопоставление порождает весьма тяжелую проблему адекватности
представления вещи. Внешняя (объективная) реальность неизбежно должна быть
трансцендентна субъекту. См. [32], c.349-400.
вернуться в текст

5. Бернайс был по-видимому первым, кто ввел для обозначения
рассматриваемого направления термин "платонизм", достаточно широко
используемый в современной литературе. вернуться в текст

6. Суждение Мулуда о Канте имеет, на наш взгляд, принципиальное значение.
Он обращает внимание на важное достижение кантовской философии -
способность согласовать априорность логической формы и апостериорность
опытных данных. "Однако, - пишет далее Мулуд, - гармония между формой и
содержанием, которую гарантирует трансцендентальная философия, освобождает
разум от необходимости искать адекватный аппарат формализации данной
реальности, что как раз входит в задачу аксиоматических наук. Кантовская
система не располагает процедурами, которые позволяют осуществить
аксиоматизацию, одновременно верифицируя формальную систему, для
экспликации новых аспектов предмета" ([37], c. 36). Такая оценка
кантовского априоризма верна, если ограничиться рамками "Критики чистого
разума". Однако все те функции, которыми по мнению Мулуда не располагает
кантовская система (формализация реальности и верификация формальной
системы), выполняет рефлектирующая способность суждения, описанная Кантом в
"Критике способности суждения". Рассмотрение действия этой способности
будет одной из главных тем нашего исследования. вернуться в текст

7. По поводу одной из названных категорий, о дискурсе, необходимо дать
некоторые объяснения уже сейчас - тем более этот термин вынесен в заголовок
работы. Это слово часто используется в самых разных смыслах и нужно
пояснить, что мы имеем в виду, используя его.

В статье Ю.Степанова ([54], c.36-46) приводится (со ссылкой на различных
авторов) целый ряд определений термина "дискурс". Не пытаясь анализировать
их, приведем те, которые в нашей работе чаще всего будут подразумеваться.
Таковым является понимание дискурса как последовательности связанных
высказываний или "последовательности элементарных пропозиций, связанных
между собой логическими отношениями конъюнкции, дизъюнкции и т.п." (с. 38).
Такую последовательность, впрочем, с успехом можно было бы
назвать и "рассуждением". Говоря о "математическом дискурсе", мы имеем в
виду, что наряду с рассуждением (последовательностью пропозиций, речью) в
наше рассмотрение должна быть также включена и графика, например,
геометрические чертежи. Математический дискурс, следовательно, является для
нас более широким понятием, чем математическое рассуждение.

Другим возможным пониманием слова "дискурс" является связный текст или
группа текстов (Степанов указывает, что такое понимание присуще
англо-саксонской традиции - с. 36). Такое понимание также важно для нас.
Понимая дискурс как текст, мы имеем в виду фиксацию последовательности
высказываний, равно как и графических образов. Благодаря такой фиксации,
дискурс становится предметом интерпретации и сам может быть рассмотрен как
графическая конструкция. Это означает, в частности, что дискурс
(рассмотренный в качестве текста) может сам стать предметом высказывания
или другого дискурса.

Степанов не считает удовлетворительными такие интерпретации термина
"дискурс", находя их чрезмерно узкими. Он, в конечном счете, определяет
дискурс как "язык в языке" ([54], c. 44), как достаточно широкий
порождающий контекст множества текстов, определяющий и лексику, и
синтаксис, и семантику. Мы, однако, будем избегать такой интерпретации -
для нас очень будет важно указать на серьезную дистанцию, разделяющую
понятия "дискурс" и "язык". вернуться в текст


ГЛАВА 1
Рассмотрение онтологического статуса предметов математики в некоторых
философских системах

К математическим образам и способам рассуждения философы, как правило,
обращаются очень
охотно.(См. примечание 1) Поэтому представить здесь сколько-нибудь полный
обзор различных философских представлений о математических предметах не
представляется возможным. Для этого пришлось бы написать нечто вроде курса
истории философии. Задача настоящей главы состоит в том, чтобы выделить два
принципиально отличных друг от друга подхода к математической онтологии, в
рамках которых возникают различные определения существования. Прежде всего
мы обратимся к пониманию природы математических объектов в философии
Платона и Аристотеля. Их взгляды на математику явили своего рода парадигму
для многих последующих поколений. Вполне естественно рассматривать их
концепции математики как конкурирующие. Наверное можно легко проследить
идущие через века "линию Платона" и "линию Аристотеля", связывая первую с
реализмом, а вторую с эмпиризмом в подходе к математической онтологии. Нас,
однако, больше будет интересовать тот общий подход, который был выработан
совместно обоими философами и который, в известном смысле, может быть
противопоставлен трансцендентальному рассмотрению математического
рассуждения.


ї 1 Платон и Аристотель: определение сущности

Отношение Платона к математике естественно рассматривать в рамках
проводимого им различения между подлинным бытием и становлением.
Онтологический статус любой вещи определяется в терминах такого различения.
Вещь существует в той мере, в какой причастна подлинному бытию, и в той же
мере она может быть познана умом. То, что доступно чувству (и в той мере, в
какой оно доступно чувству) не существует, а лишь становится, и о нем
возможно лишь мнение, а не знание. Такого рода различение
встречается во многих диалогах - сошлемся хотя бы на следующий пассаж из
"Тимея": "Представляется мне, что для начала должно разграничить вот какие
две вещи: что есть вечное, не имеющее возникновения бытие и что есть вечно
возникающее и никогда не сущее. То, что постигается с помощью размышления и
рассуждения, очевидно, и есть вечно тождественное бытие; а то, что
подвластно мнению и неразумному ощущению, возникает и гибнет, но никогда не
существует на самом деле" (Тимей, 27d-28a). Платон
неоднократно обращался к этому противопоставлению и попыткам описать мир
бытия и мир становления, но один интересный аспект описания последнего он
обнаружил в диалоге "Филеб". Там указывается, что, характеризуя данные
чувств (т.е. высказывая мнение), мы всегда сопоставляем одно ощущение с
другим такого же рода. Мы говорим о чувственно воспринимаемой вещи, что она
"более теплая" или "более холодная" (чем, например, другая вещь или та же
самая в другое время). В мнении мы всегда прибегаем к сопоставлению,
выражая его словами "более" или "менее", "сильнее" или "слабее". Таким
образом мы выстраиваем беспредельную шкалу отношений - ведь говоря
"больше", мы всегда подразумеваем возможность другого, которое больше
(сильнее, теплее), чем воспринимаемое сейчас. Мир становления предстает
именно как набор отношений, где ничего не существует самостоятельно, но
определяется лишь по сопоставлению с другим. Это какая-то беспредельная
совокупность не имеющих отчетливого определения и ясного
очертания предметов, которые можно лишь сопоставлять с другим, но нельзя
рассмотреть каждый самостоятельно, "сам по себе" ("Филеб" 24b-d).

Теперь противопоставления подлинного сущего и становящегося может быть
описано в следующих терминах: первое познается и существует самостоятельно,
само по себе, а потому и определяется само из себя, как независимая от
другого сущность. Второе же лишь видится и мнится в совокупности, как
нечто, не имеющее собственного определения, но предстающее обязательно
совместно с другим. Оно не обладает никакими собственными характеристиками,
оно лишь "более" или "менее", чем другое. Это элемент в
беспредельной совокупности отношений, который если чем и определяется, то
только отличием от другого. Существование, таким образом, оказывается
тождественно самоопределенности. Чем в большей мере самостоятельна вещь,
тем с большим правом она может быть признана сущей. В главах V-VII
"Государства" Платон выстраивает целую иерархию сущностей, место которых
тем выше, чем меньше нуждаются они в другом для своего определения. По
поводу находящегося на вершине иерархии Блага (или Первообраза в
"Тимее" или Единого в "Пармениде"), впрочем, уже оказывается невозможно
сказать, что оно существует, поскольку, определяя все остальное, оно
оказывается недоступно никакому определению и познанию.

Каково же место математических предметов в этой иерархии? Прежде всего,
следует сказать о числах и счете. Разговор о них начинается тогда, когда
возникает потребность установить в чувственном мире хотя бы какую-то
определенность, т.е. начать не только ощущать вещи, но и размышлять о них.
Для этого же необходимо прежде всего отделить одно ощущаемое от другого,
выделить их в нечто (хотя бы отчасти) самостоятельное. "Если каждый из них
один, а вместе их два, то эти два будут в мышлении разделены"
("Государство", VII, 524c)... и далее "Для выяснения этого мышление в свою
очередь вынуждено рассмотреть большое и малое, но не в их слитности, а в их
раздельности: тут полная противоположность зрению." Но разделять и
обособлять предметы значит их пересчитывать, т.е. указывать сначала на
одно, потом на второе, потом на третье. Мы уже не говорим о чем-то, что оно
"более легкое" или "менее теплое". Мы выделяем его как нечто особенное в
ряду пересчитываемых предметов. Ряд отдельных сущностей оказывается
доступен мысли именно благодаря числу. Следовательно число есть начало
(причина) самостоятельного существования чувственно воспринимаемой вещи. Ее
можно мыслить прежде всего благодаря количеству.

Платон рассматривает обращение к числу как способ пробуждения мысли и ее
обращения к подлинному бытию. Будучи причинами обособленного бытия вещей,
числа поэтому интересны как сущие сами по себе, как самостоятельные
сущности. По мысли Платона рассмотрение этих самостоятельных сущностей
должно обратить ум к рассмотрению Блага. Последнее играет по отношению к
числам ту же роль, какую они по отношению к пересчитываемым вещам - оно
есть причина их бытия и благодаря ему их можно мыслить. Следовательно, если
рассматривать существование как полную самодостаточность и определенность в
себе, то и числа не существуют в полной мере. Их существование
несамостоятельно и зависимо от другого (того, что не является числом).

Похожее рассуждение Платон проводит и по поводу геометрии. От чувственного
созерцания вещей мысль обращалась к числам.

Точно также от чувственного созерцания чертежей (или геометрических
построений, проводимых в практических целях - "Государство" 526d) геометр
обращается к вечным сущностям - геометрическим фигурам самим по себе. Эти
последние есть причины существования первых. Чертеж - нечто
вспомогательное, нужное лишь для обращения к самостоятельной и независимо
от всяких построений существующей вещи, постигаемой только размышлением.
Однако и такие вещи не вполне самостоятельны - также как и числа. Их можно
созерцать умом лишь благодаря Благу, которое есть причина их постигаемости
и их существования. Платон утверждает, что если бы геометр имел возможность
исходить из идеи Блага, как подлинного начала геометрических сущностей, то
он вовсе не нуждался бы в чертежах, а мог бы постигать фигуры лишь умом
("Государство" 511e-d).

Таким образом, онтологический статус математических предметов определяется
их промежуточным (срединным) положением между становящимися и не сущими в
полной мере вещами и абсолютно сущим (т.е. абсолютно независимым) Благом.
Они могут быть рассмотрены как самостоятельные сущности и тем отличаются от
становящихся вещей (которые явлены лишь через отношение к другому). Однако
их рассмотрение зависит от ряда условий, т.е. они не мыслимы в полной мере
сами по себе. Математическое рассуждение неизменно включает множественность
изучаемых предметов и включает не только каждый такой предмет, но и
отношения между ними. С другой стороны, мыслимость предметов математики
возможна лишь благодаря Благу или Единому.

Рассмотрение "бытия самого по себе", как основного определения
существования, было совершенно иначе проведено Аристотелем. Однако само
понимание существования является общим для обоих философов. Аристотель,
однако, разработал систему терминов, в которых вопрос о существовании можно
поставить более ясно, чем это делает Платон.

О существовании, как о самостоятельном существовании, Аристотель начинает
говорить в пятой книге "Метафизики" следующим образом: "Самостоятельное
существование в себе приписывается тому, что обозначается через различные
формы категориального высказывания: ибо на сколько ладов эти различные
высказывания производятся, столькими путями они (здесь) указывают на бытие"
("Метафизика", V, 7). Эта отсылка к категориям заставляет немедленно
вспомнить об основной категории, о сущности (oysia), к рассмотрению которой
Аристотель тут же и переходит. В предварительном рассмотрении (в V книге)
указывается два основных значения этой категории: подлежащее (ypokeimenon),
т.е. то, что ни о чем не сказывается, но о чем сказывается все остальное; и
"суть бытия", о которой Аристотель говорит, что она есть определение всякой
вещи.

Здесь уже выделен главный (не рассмотренный у Платона) аспект
самостоятельности - особое место сущности в рассуждении. Сущность то, что
ни о чем не сказывается. То, что сказывается о ней, зависимо от нее.
Следовательно на сущность, понятую как подлежащее (в русском переводе
используется также латинский термин "субстрат"), можно лишь непосредственно
указать. Но благодаря такому указанию не возникает еще никакой
определенности. Поэтому понимание сущности как подлежащего должно быть
дополнено пониманием сущности как "сути бытия". Последний оборот есть
попытка перевода вопросительного выражения: "to ti hn einai", которое
можно, по-видимому,перевести как "что есть это". Следовательно "суть бытия"
подразумевает,прежде всего, определение единичного предмета, на которой в
данный момент указывается. Такое определение и должно включить всю полноту
категориальных высказываний. Самостоятельно существует и определена как
сущность вещь, рассмотренная именно в этой полноте. Все способы описания
через категории обретают