в виде
конечного текста, записанного по определенным правилам. Требование
наглядности оказывается здесь особенно важным. Мы можем быть уверены в
производимых нами математических рассуждениях, если доказана их
непротиворечивость. Доказательство же непротиворечивости, производимое на
метауровне, может и должно быть наглядным, непосредственно очевидным.
Объект, конструируемый в ходе метарассуждения, возникает у нас на глазах и
его свойства (в частности, свойство непротиворечивости) оказывается
наглядно представимым и непосредственно проверяемым. Здесь особую роль
играет знаковая природа математического рассуждения. В нем любой (в том
числе и бесконечный) предмет представлен знаком, конечным, более того,
чувственным, доступным непосредственному восприятию объектом. Это
обстоятельство специально подчеркивалось Гильбертом: "Кое-что уже дано в
нашем представлении для применения логических выводов и для выполнения
логических операций: объекты, которые имеются в созерцании до всякого
мышления в качестве конкретных переживаний. Для того, чтобы логические
выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью, во всех
частях; их показания, их отличия, их следование, расположение одного из них
наряду с другим дается непосредственно, наглядно, одновременно с другими
объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и
не нуждается в таком сведении..." И далее: "В математике предметом нашего
рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых,
согласно нашей установке, непосредственно ясен и может быть впоследствии
узнан" ([15], c. 351).

Таким образом, по отношению к метаобъекту Гильберт предъявляет требования,
пожалуй, более жесткие, чем Брауэр по отношению ко всем объектам
математики. Последний не настаивает на "наглядности". Гильберт и Бернайс
характеризуют установки интуиционизма как "расширение" финитной установки
([18], c. 71). При этом важно, что в конечном счете гильбертовская
математика также основывается на определенных базовых интуициях. Френкель и
Бар-Хиллел указывают, что такими интуициями для Гильберта являются
первичные представления о тождестве и различии, а именно о
самотождественности знака, который должен быть опознан как один и тот же
при разных вхождениях в формулы и при этом отличЁн от всякого другого
знака. Действительно, всякое конструирование объекта, коль скоро оно
сводится к комбинирований некоторых элементарных конфигураций,
подразумевает, прежде всего, способность видеть различия между разными
конфигурациями и уверенно опознавать одну и ту же в различных
обстоятельствах. Здесь однако уместны следующие два замечания. Во-первых,
названные элементарные конфигурации, строго говоря, не являются уже
знаками. Точнее, они могут быть названы знаками в силу их происхождения,
поскольку именно в качестве знака выступали для математического
рассуждения. В нем они действительно обозначают нечто иное - математический
объект, о котором ведется рассуждение. Но как только само математическое
рассуждение превращается в объект, т.е. становится предметом
метаматематического рассуждения, эти знаки уже ничего не обозначают. Они
выступают лишь как первичные структурные элементы, из которых складывается,
как из деталей конструктора, исследуемое математическое рассуждение.

Во-вторых, сами эти знаки (или псевдо-знаки) очевидно оказываются
объектами. Они конструируются как некоторые графические конфигурации и в
качестве таковых уже сами являются предметами рассуждения. Здесь необходимо
вернуться к вопросу о тождестве и различии, которые у Френкеля и
Бар-Хиллела названы первичными интуициями формальной математики. Такой
подход к интерпретации элементарных объектов метаматематического
рассуждения был подвергнут критике, например, в [57], где проблема
тождества и различия рассмотрена как чисто логическая и не нуждающаяся в
ссылках на интуицию. Мы предпочитаем подойти к этому вопросу иначе.
Различение знаков подразумевает возможность вынесения определенного
суждения о тождестве или различии тех или иных элементарных графических
конструкций. Знак или комбинация знаков становится субъектом
метаматематического суждения, тогда как тождество или различие выступает
его предикатом. Причем этот предикат присоединяется в суждении к субъекту в
зависимости от того, как именно построена (начерчена) данная конфигурация.
Например, суждение о том, что графические конфигурации 'n' и 'n',
находящиеся в двух различных позициях формулы xn=2n, тождественны, основано
на том, что оба знака построены сообразно одной и той же графической схеме.
Таким образом, вопрос о тождестве или различии конструктивных элементов
математического рассуждения решается с помощью суждения, которое, впрочем,
находится в жесткой корреляции с процедурой построения наглядно
представимого, зримого предмета. Тот факт, что отождествляя или различая
знаки, мы как правило не делаем никаких суждений, не меняет ситуацию в
принципе. Возможность такого суждения всегда присутствует. Акт различения
или отождествления знаков не является некоторым первичным, неразложимым
актом. Он действительно выражается на логическом уровне. Первичной
интуицией является здесь пространство, поскольку именно в качестве
определенной пространственной конфигурации всякий знак может быть узнан и
отличен от другого.

Похожее рассмотрение можно провести и относительно математического
рассуждения (вывода, доказательства), поскольку оно является объектом
метаматематики. Рассуждение, будучи конструкцией, появляющейся в результате
комбинирования знаков, представляет собой чувственно воспринимаемый объект.
Он предстает в виде определенной пространственной конфигурации,
определяемой как способом сочетания составляющих его знаков, так и способом
начертания самих этих знаков. Как чувственно воспринимаемый объект
рассуждение выступает в качестве субъекта метаматематического суждения.
Задачей метаматематики оказывается установление ряда предикатов (например,
предиката непротиворечивости) для названного субъекта. Но такого рода
предицирование есть не что иное как выражение определенных пространственных
свойств созерцаемого (точнее создаваемого на бумаге или на доске) объекта.
(См. примечание 5) Рассуждение или система аксиом обнаруживает себя как
непротиворечивое (обладающее предикатом непротиворечивости) в ходе его
пространственного (строго говоря, пространственно-временного)
конструирования. Суждение о непротиворечивости оказывается таким образом
априорным и синтетическим, в самом строгом кантовском смысле.
Гильбертовская метаматематика содержит в себе все установленные Кантом
элементы знания: данный в созерцании объект, являющийся в пространстве и
времени, синтетическое суждение об этом объекте и, наконец, синтез
продуктивной способности воображения, в результате которого этот объект
конструируется.

Таким образом две соперничающие математические школы имеют один и тот же
философский корень. Можно сказать, что каждая из них сделала больший акцент
на одной из двух выделенных Кантом интуиций. Если Брауэр, как мы видели,
считал исходной интуицию времени, явно утверждая вторичность и
производность пространства, то Гильберт, вообще ничего не говоря о времени,
явно рассматривал пространство и пространственное конструирование как
основу математики. Очевидная кантианская родословная двух
влиятельных математических традиций несомненно требует более внимательного
анализа кантовского текста. Именно к рассмотрению проблемы существования в
математики с позиций философии Канта мы перейдем в следующей главе.


Примечания к Главе 2

1. Хотя Кантор и пытается выстроить иерархию математических понятий,
подобную родо-видовой иерархии, и рассмотреть все построенные так объекты
как некие субстантивированные универсалии, предлагаемая им процедура
выделения общих свойств имеет мало общего с тем абстрагированием, которое
описывает, например, Боэций (см. Введение). Как мощность, так и порядковый
тип бесконечного множества невозможно определить как его собственное
свойство. Оно не обладает этим свойством как субстанция своим
атрибутом. Мощность бесконечного множества определяется как свойство
отношения множеств. Сущности можно приписывать признак, рассматривая ее
саму по себе, независимо от других сущностей. Мощность множества (равно как
его порядковый тип) устанавливается только для класса множеств. Поэтому
подвести канторовское представление о существовании под аристотелевское
учение о сущности невозможно без серьезных натяжек, хотя сам Кантор,
по-видимому, хотел именно этого. вернуться в текст

2. Цитата приводится по книге [55], с. 245. вернуться в текст

3. В разных местах Брауэр говорит о качественно различимых частях или
различимых вещах. В любом случае речь идет о дискретной последовательности
событий, характеризующих когнитивную деятельность. Ряд лежащих на прямой
(последовательно, друг за другом) отрезков является естественной
математической моделью такой деятельности. вернуться в текст

4. Математическое развитие этих идей содержится в брауэровской теории
континуума как среды становления для свободно становящихся
последовательностей. Дискретные последовательности точек, выбираемых из
среды сообразно некоторому закону или согласно свободному выбору, разбивают
континуум на все более мелкие части, устанавливая определенную структуру
отношений между этими частями. Подробно об этом см. в [34]. вернуться в
текст

5. Близкий подход к математике разрабатывается в [60] под названием
"пангеометризм". вернуться в текст


ГЛАВА 3
Существование в геометрии. Анализ категорий модальности

Мы видели, что две влиятельные математические школы XX века, которые
справедливо рассматриваются как соперничающие между собой, исходят, в
конечном счете, из общего философского основания. Этим основанием явилась
для них философия Канта. Поэтому мы имеем право говорить о кантианской
(или, возможно, трансценденталистской) традиции в основаниях математики.
Обсуждая проблему существования и математической онтологии, мы будем иметь
в виду именно эту традицию. Совершенно очевидно, что она не
является единственно возможной. Ей явно противостоит иная традиция,
связанная с именами Фреге и Рассела и обосновывающая математическое
рассуждения средствами логического позитивизма (или аналитической
философии). Мы не будем касаться этой традиции в рамках настоящей работы.
Наиболее естественным для нас сейчас будет подробное рассмотрение той
интерпретации существования математических объектов, которая предлагается
самим Кантом.

ї 1 Возможное и действительное в математике

Обсуждать проблему существования, оставаясь в рамках "Критики чистого
разума", довольно удобно, поскольку определение существования дано в этой
книге явно. "Существование" - одна из трех категорий модальности и Кант
весьма подробно описывает каким способом рассудок определяет предмет как
существующий. С другой стороны, однако, определение существования
(действительности) дается здесь в совокупности с определением двух других
категорий модальности и может быть правильно понято лишь при сопоставлении
с ними. Обратимся к непосредственному описанию обсуждаемых категорий:
возможности, действительности и необходимости. Такое описание приведено в
главе "Система всех основоположений чистого рассудка" и названо "Постулаты
эмпирического мышления вообще".

"1. Что согласно с формальными условиями опыта (что касается наглядных
представлений и понятий), то возможно.

2. Что связано с материальными условиями опыта (ощущения), то
действительно.

3. То, связь чего с действительностью определяется согласно общим условиям
опыта, существует необходимо." (B266, курсив Канта).

В какой мере категория действительности (т.е. существования в собственном
смысле этого слова)
(См. примечание 1) может быть условием знания о предметах математики? Чтобы
установить это, обратимся к краткому разъяснению Канта по поводу
соответствующего постулата.

"Постулат действительности вещей требует восприятия, т.е. ощущения и
сознания, если не непосредственно самого предмета, существование которого
должно быть познано, то, по крайней мере связи его с каким-либо
действительным восприятием согласно аналогиям опыта.." (B272 - курсив
Канта).

Едва ли рассуждение о математическом предмете может основываться на
аналогиях опыта, призванных установить "реальные связи" (т.е. связь
согласно законам причинности и взаимодействия). Следовательно постулат
действительности требует непосредственного восприятия предмета для познания
его существования. Поэтому как о действительном можно говорить, прежде
всего, только о единичном предмете, представленном благодаря ощущению. Есть
ли вообще в математике такие предметы? Несомненно есть, поскольку всякое
математическое рассуждение так или иначе оставляет след на бумаге или на
доске. Действительным является изображенный и непосредственно
воспринимаемый математический символ, выписанная формула (конечная
последовательность символов), начерченная геометрическая фигура. Но эти ли
предметы представляют для математики основной интерес? Разве, например, в
теореме о сумме внутренних углов треугольника говорится о неровном
карандашном следе, о трех попарно пересекающихся на листе бумаги отнюдь не
прямых линиях, которые непосредственно воспринимаются нами? Конечно же нет.
Речь идет о треугольнике "вообще", который нигде и никак не нарисован. Но в
таком случае он и не действителен.

Может ли предмет знания не быть действительным (т.е. существующим)
предметом? Ответ на этот вопрос легко угадывается, благодаря присутствию в
таблице категорий другой категории модальности. Предмет знания может быть
возможным предметом. Сказанного здесь уже достаточно, чтобы предполагать,
что именно о возможных предметах и говорит, прежде всего, математика.
Математическая онтология есть по преимуществу онтология возможного.
Впрочем, по этому поводу нужны дополнительные разъяснения.

Вот что пишет Кант о первой из категорий модальности: "Постулат возможности
вещей требует, следовательно, чтобы понятия их согласовывались с
формальными условиями опыта вообще. Но опыт вообще, т.е. объективная форма
его, содержит в себе весь синтез, необходимый для познания объектов" (B267
- курсив Канта).

Итак, вещь возможна, когда знание о ней содержит весь необходимый синтез.
Следовательно лишь осуществив этот синтез, т.е. получив полное знание о
вещи мы только и можем удостовериться в ее возможности.

Нашей дальнейшей задачей будет выяснение того, что означает для математики
такая полнота синтеза. Но прежде обратим внимание на одно важное
различение. В "Критике чистого разума" имеется ряд пассажей, в которых
указывается на иной смысл слова "возможность". Под возможностью понимается
отсутствие противоречия в понятии о вещи. Это, очевидно, не то же самое,
что согласие с формальными условиями опыта. Поэтому Кант различает
логическую и реальную (или трансцендентальную) возможность. Очевидно, что
нас сейчас будет интересовать последняя. Интересно однако вспомнить, что
пытаясь установить критерий существования для математических объектов,
Пуанкаре, а за ним и Гильберт указывали в качестве такового именно свободу
от противоречия. Верно ли то, что они сводили действительность к логической
возможности, совершая таким образом своеобразную подмену категорий?
Проведенный выше анализ гильбертовской интерпретации непротиворечивости
показывает, что это не так, поскольку сама по себе непротиворечивость
оказывается результатом синтеза.

Синтез по Канту состоит, прежде всего, в том, что к понятию, выступающему
как субъект суждения, присоединяется признак (предикат), не содержащийся в
понятии. Акт синтеза, таким образом, приводит к образованию нового понятия,
содержание которого богаче, чем понятие первоначального субъекта суждения.
Следовательно, говоря о реальной возможности, мы должны говорить, прежде
всего, о возможности понятия. Оно возможно тогда, когда осуществлен его
синтез. Однако присоединение предиката к субъекту в синтетическом суждении
невозможно как чисто рассудочное действие. Ему должен соответствовать
синтез многообразия наглядного представления, производимый способностью
воображения. Произнесение суждения, описывающего некоторое реальное (См.
примечание 2) положение дел, необходимо сопровождается конструированием
этого положения дел в пространстве и времени. Последнее производится
сообразно схеме понятия и необходимо представлено созерцанию в виде (по
крайней мере) воображаемого предмета. Эта процедура подробно описана Кантом
в главе о трансцендентальной дедукции категорий. Следовательно, "весь
синтез", требуемый для познания реальной возможности вещи, включает в себя
как интеллектуальный синтез, так и синтез способности воображения. Здесь
уместно уточнить, что может стоять за словом "вещь". Возможность чего,
собственно, устанавливается. Мы видели уже, что устанавливается возможность
понятия. Но конструирование, производимое воображением, согласно условиям
чувственности, не может происходить без того, чтобы представить образ,
воображаемый результат конструирования. Очевидно, что образ, наряду с
понятием, также должен фигурировать в качестве возможного.

Итак есть смысл говорить о возможности понятия и возможности образа. В
самом деле и то и другое во-первых соответствует формальным условиям опыта,
а во-вторых противопоставлено действительному, т.е. представленной в
восприятии единичности. Иными словами и понятие, и образ возможны поскольку
могут быть осуществлены (актуализированы). Впрочем, они возможны в разном
смысле. Можно представить себе невозможное понятие (Кант приводит пример
плоской фигуры, ограниченной двумя прямыми). Но образ возможен всегда,
поскольку является результатом завершенного синтеза. Разберем теперь все
сказанное на примере геометрии. Тот факт, что евклидова геометрия является
основным источником для философии математики Канта, принимается многими
исследователями. В частности это объяснено в [72], [74], [79], [83], [62].
Поэтому рассмотрение кантовских категорий на материале "Начал" Евклида
можно считать модельным. Это, однако, поможет нам увидеть некоторые моменты
применения указанных чистых понятий рассудка, которые оказываются
существенны и для других областей математики, а возможно и для всякого
знания вообще.

Пять постулатов Евклида представляют собой пять первоначальных
синтетических суждений, в которых конструируются начальные понятия
геометрии. Важно то, что четыре из этих пяти постулатов (несколько
отличается от прочих четвертый постулат, утверждающий равенство всех прямых
углов) суть не сколько утверждения, сколько предписания. Они описывают
некоторые операции, которые, будучи произведены, приведут к созданию
первоначальных геометрических объектов: прямой, окружности, пары
параллельных (или пары пересекающихся) прямых. Постулаты сформулированы,
естественно, как общие суждения и речь в них идет об общих понятиях (прямая
вообще или окружность вообще). Важно однако, что самая суть постулатов
заключается в обнаружении возможности этих понятий. Они предполагают
наличие схемы прямой или схемы окружности, сообразно которым могут быть
построены соответствующие этим понятиям объекты. В частности, согласно двум
первым постулатам, прямую в принципе можно построить. Как построить?
Карандашом на бумаге или мелом на доске.

Последнее утверждение представляется, по-видимому, слишком категоричным.
Прямую или окружность можно провести и в воображении. Заметим однако, что
несмотря на такую возможность почти всегда, даже при рассмотрении
элементарных понятий предпочитают пользоваться чертежами. Это
обстоятельство представляется нам важным, вытекающим из сути
математического дискурса, а отнюдь не из слабости нашей памяти. Мы вернемся
к этой проблеме позже, а сейчас заметим лишь, что синтетическое суждение,
высказываемое в постулате, подразумевает не только возможность, но и
действительность обсуждае