разума, которое никогда не потеряет своего ореола.

64

"Мы почитаем древнюю Грецию как колыбель западной науки. Там впервые было создано чудо мысли - логическая система, теоремы которой вытекали друг из друга с такой точностью, что каждое из доказанных ею предложений было абсолютно несомненным: я говорю о геометрии Евклида. Этот замечательный триумф мышления придал человеческому интеллекту уверенность в себе, необходимую для последующей деятельности. Если труд Евклида не смог зажечь ваш юношеский энтузиазм, то вы не рождены быть теоретиком".

Вслед за апофеозом логики у Эйнштейна идет апофеоз эмпирии: "Все, что мы знаем о реальности, исходит из опыта и завершается им". Эта формула - эпиграф настоящей главы - ни в малейшей степени не ограничена замечаниями Эйнштейна о мысли, свободно создающей логические конструкции. Как же сочетается царство эмпирии с царством созидающего разума? "Если опыт - альфа и омега нашего знания, какова тогда роль разума в науке?" - спрашивает Эйнштейн.

Физика, по словам Эйнштейна, должна включать исходные понятия, далее - законы, в которых фигурируют понятия, и, наконец, вытекающие из указанных законов утверждения. Такие утверждения должны соответствовать опыту.

Здесь справедливо точно то же, что и в геометрии Евклида, но там фундаментальные законы называются аксиомами и не возникает требования, чтобы выводы соответствовали какому-либо опыту. Если, однако, евклидову геометрию рассматривают как науку о возможности взаимного расположения реальных твердых тел, т.е. если ее трактуют как физическую науку, не абстрагируясь от ее первоначального эмпирического содержания, то логическое сходство геометрии и теоретической физики становится полным.

С подобной точки зрения - она последовательно и систематически проводилась в физике и в геометрии, начиная с теории относительности Эйнштейна, - геометрия свободно, без оглядки на эксперимент конструирует сложную систему логически безупречных выводов. Но эмпирия - и только она одна - придает этим конструкциям физический смысл. Именно так следует понимать слова Эйнштейна о творческой, конструктивной функции математических понятий и методов в физике и об их способности приблизиться к реальности.

65

"Опыт остается, конечно, единственным критерием возможности применения математических конструкций в физике, но именно в математике содержится действительно творческий принцип. С подобной точки зрения я считаю правильным убеждение древних: чистая мысль способна постичь реальное".

Те же мысли, но в несколько ином аспекте Эйнштейн изложил в статье "Проблема пространства, эфира и поля в физике" [7].

Указанная статья позволяет еще точнее представить взгляды Эйнштейна на соотношение математических и экспериментальных корней физической теории. Эйнштейн сопоставляет, с одной стороны, логический анализ с его высокой достоверностью и полной неспособностью сообщить своим конструкциям физический смысл и, с другой стороны, эмпирические источники знания.

Эйнштейн иллюстрирует соотношение этих составляющих науки следующим примером:

"Некий археолог, принадлежащий цивилизации будущих веков, находит курс евклидовой геометрии без чертежей. Он сможет разобраться в том, как применяются слова: точка, прямая, плоскость в различных теоремах; он поймет, как из одной теоремы выводится другая, и даже сможет сам найти по усвоенным правилам новую теорему. Но теоремы останутся для него игрой слов, ему недоступна операция, которую можно выразить словами "представить себе нечто", применительно к терминам: точка, прямая, плоскость и т.д..."

Что значит "представить себе нечто", когда речь идет о точке, прямой, плоскости? Эйнштейн разъясняет, что подобное представление означает возможность опыта и наблюдения. Археолог, нашедший курс евклидовой геометрии, должен произвести опыты в надежде, что некоторые наблюдения будут соответствовать прочитанным в книге и пока еще бессодержательным словам.

66

В 1926 г. Эйнштейн изложил общую концепцию связи между геометрией и физикой в статье "Неевклидова геометрия и физика" [8]. Здесь схема генезиса новой геометрии и теории относительности обобщена в историческом плане. Наука в своем филогенетическом развитии прошла тот же цикл, что и Эйнштейн в своем индивидуальном развитии. Эйнштейн, разумеется, лишь ретроспективно, после создания теории относительности, мог четко сформулировать общую концепцию логических конструкций и наблюдаемых в природе соотношений. Ретроспективно он мог сформулировать и историческую концепцию перехода от первоначального отождествления геометрических и физических понятий к последующему их разграничению и, наконец, к синтезу. Но нельзя думать, что Эйнштейн просто проецировал в прошлое путь, приведший его к теории относительности. Схема, которую Эйнштейн видел в процессе познания в целом, не была ретроспективно навязана истории науки, она действительно вытекает из исторической картины математики и физики. Знакомство с математическими и физическими идеями в их историческом развитии подготовляло в сознании Эйнштейна генезис той схемы "бегства от чуда" и "бегства от очевидности", которая получила свое отчетливое выражение в связи с теорией относительности.

7 Einstein A. Comment je vois le monde. Paris, 1934, p. 214-233. Далее обозначается: Comment je vois le monde, с указанием страницы.
8 См,: Эйнштейн, 2, 178-182.


Эйнштейн говорит, что в древности геометрия была полуэмпирической наукой, рассматривавшей, например, точку как реальное тело, размеры которого можно игнорировать. "Прямая определялась или с помощью точек, которые можно оптически совместить в направлении взгляда, или же с помощью натянутой нити. Мы имеем, таким образом, дело с понятиями, которые, как это и вообще имеет место с понятиями, не взяты непосредственно из опыта или, другими словами, не обусловлены логически опытом, но все же находятся в прямом соотношении с объектами наших переживаний. Предложения относительно точек, прямых, равенства отрезков и углов были при таком состоянии знания в то же время и предложениями относительно известных переживаний, связанных с предметами природы".

В этой характеристике античного представления о геометрии и реальности Эйнштейн повторяет свою общую эпистемологическую концепцию: понятия не выводятся логически из опыта, но тем не менее всегда сохраняют связь с опытом. Вскоре он снова вернется к этой концепции, применительно к общей характеристике пути, ведущего к геометрическим понятиям от их физических прообразов.

67

Античная геометрия - физическая или полуфизическая наука - эволюционировала, освобождаясь от эмпирических корней. Постепенно выяснилось, что большое число геометрических положений можно вывести из аксиом. Тем самым геометрия стала собственно математической наукой. "Стремление извлечь всю геометрию из смутной сферы эмпирического привело незаметным образом к ошибочному заключению, которое можно уподобить превращению чтимых героев древности в богов", - говорит Эйнштейн. Теперь под "очевидным" стали понимать то, что присуще человеческому разуму и не может быть отринуто без появления логических противоречий. Как же могут быть применены эти логически непротиворечивые, присущие человеческому духу и поэтому "очевидные" аксиомы, в частности геометрические аксиомы, к познанию действительности? И тут, продолжает Эйнштейн, на сцену выходит кантовское учение о пространстве как априорной форме познания.

Эйнштейн не только отвергал кантовский априоризм, но вместе с тем указывал реальные проблемы науки и действительные противоречия, из которых при неправомерном абсолютизировании отдельных сторон, отрезков, витков познания вырастали метафизические заблуждения, в данном случае - мысль об априорной природе пространства. Иллюзия априорности создавалась аксиоматизацией геометрии. Второй источник отрыва геометрических понятий от их прообразов находился в самой физике.


"Согласно ставшему гораздо более тонким взгляду физики на природу твердых тел и света, в природе не существует таких объектов, которые бы по своим свойствам точно соответствовали основным понятиям евклидовой геометрии. Твердое тело не может считаться абсолютно неизменяемым, а луч света точно не воспроизводит ни прямую линию, ни даже вообще какой-либо образ одного измерения. По воззрению современной науки, геометрия, отдельно взятая, не соответствует, строго говоря, вообще никаким опытам, она должна быть приложена к объяснению их совместно с механикой, оптикой и т. п. Сверх того, геометрия должна предшествовать физике, поскольку законы последней не могут быть выражены без помощи геометрии. Поэтому геометрия и должна казаться наукой, логически предшествующей всякому опыту и всякой опытной науке".

68

Объясняя такую аберрацию научной мысли, Эйнштейн снова ссылается на свой исходный тезис: понятия сами по себе, логически не следуют из опыта. Этот тезис был обычным выводом из историко-научных экскурсов Эйнштейна.

В одном из писем Соловину Эйнштейн высказал этот тезис чрезвычайно прозрачным образом и при этом пошел далеко вперед по сравнению со всеми предыдущими формулировками [9].

9 См.: Lettres a Solovine, 129.


"Строго говоря, - пишет Эйнштейн, - нельзя сводить геометрию к "твердым" телам, которые ведь не существуют. Твердые тола нельзя считать бесконечно делимыми. Это нужно учитывать".

Здесь Эйнштейн констатирует, что тела, состоящие из атомов, не могут быть точным прообразом геометрических фигур: вершины их углов не совпадают с точками, грани - с плоскостями и т.д., а с позиций волновой теории света луч по может быть прообразом прямой. Отсюда уже вытекает соблазн считать геометрические понятия условными или априорными, независимыми от результатов физического эксперимента и поэтому незыблемыми. Но Эйнштейн прибавляет еще одно соображение. Оно относится к измерению пространственных расстояний и, в частности, к определению положений тел. Мы пользуемся для этого линейками и совмещаем материальные точки, расстояние между которыми требуется определить, с другими точками, расстояние между которыми уже определено. Но если это материальные точки, то нельзя абсолютно игнорировать воздействие линейки на измеряемое тело. Подобное обстоятельство, как можно думать, имел в виду Эйнштейн в строках, которые следуют за приведенными:

"Аналогичным образом нельзя утверждать, что тела, с помощью которых мы измеряем предметы, не воздействуют на эти предметы. Подобное утверждение не является строгим и само по себе не оправданно".

Это замечание придется потом вспомнить в связи с эйнштейновской позицией в отношении квантовой механики. За ним следует вывод:

69

"Поистине никогда и ни при каких условиях понятия не могут быть логическими производными ощущений. Но дидактические и эвристические цели делают такое представление неизбежным. Мораль: если вовсе не грешить против разума, нельзя вообще ни к чему прийти. Иначе говоря, нельзя построить дом или мост, если не пользоваться строительными лесами, которые, конечно, не являются частью сооружения".

Вывод, несколько неожиданный для последователя великих рационалистов XVII-XVIII вв. Они были твердо убеждены: грешить против разума - значит грешить против истины. Все дело в том, что Эйнштейн был не столько последователем, сколько преемником Декарта и Спинозы. Он знал этих мыслителей, но он также знал Гёте с его "теория, друг мой, сера, но зелено вечное дерево жизни". Эйнштейн знал, что непосредственные впечатления бытия преображаются в абстрактные понятия теории сложным путем, включающим игнорирование некоторых сторон реальности. Высшее выражение "безгрешного" рационализма - всеведущее существо Лапласа, знающее положения и скорости всех частиц Вселенной, для рационалистов XVII в. было будущим их концепции, а для рационалистов XIX-XX вв.- прошлым.

Как бы то ни было, в XIX в. с его установившимися атомистическими представлениями о веществе и волновыми представлениями о свете природа уже не была прикладной геометрией. Отсюда сделали вывод, что геометрия - это не абстрактно выраженная природа, и дошли до априорности геометрии либо до ее условности.

Болезни роста излечиваются дальнейшим ростом. Иллюзии априорности и условности геометрии исчезли с дальнейшим развитием аксиоматизации и с дальнейшим развитием представлений о физических прообразах геометрии.

Прежде всего в геометрии выросли большие, разветвленные системы, которые отличались некоторыми исходными допущениями. Появление различных по исходным постулатам геометрических систем подорвало корни представления об априорной геометрии и априорном понятии пространства. Был поставлен вопрос: какова геометрия действительного мира? Имеет ли этот вопрос смысл? Эйнштейн рассматривает, во-первых, ответ Гельмгольца: понятиям геометрии соответствуют реальные объекты, и геометрические утверждения представляют собой в последнем счете утверждения о реальных телах.

70

Другая точка зрения высказана Пуанкаре: содержание геометрии условно. Эйнштейн присоединяется к ответу Гельмгольца и говорит, что без такой точки зрения практически было бы невозможно подойти к теории относительности.

Как мы увидим позже, теория относительности представляет собой попытку ответить на вопрос, какая геометрия соответствует объективной действительности, описывает действительность наиболее точным образом. Тем самым геометрия теряет характерное для логики и математики в целом безразличие к физической природе своих объектов и к физической истинности своих суждений. "Чистая математика, - писал Бертран Рассел, - целиком состоит из утверждений типа: если некоторое предложение справедливо в отношении данного объекта, то в отношении его справедливо некоторое другое предложение. Существенно здесь, во-первых, игнорирование вопроса, справедливо ли первое предложение, и, во-вторых, игнорирование природы объекта... Математика может быть определена как наука, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и никогда не знаем, верно ли то, что мы говорим". Это игнорирование онтологической стороны дела теперь становится уже условным. Существуют различные пути для вывода второго предложения из первого, выбор пути зависит от содержания первого предложения и от природы объекта, к которому оно относится. Математика - в данном случае геометрия - обретает онтологическую, физическую содержательность. Для Эйнштейна это значит, что содержание математических суждений должно в принципе допускать экспериментальную проверку.

Мы видим, что концепция Эйнштейна направлена как против априоризма и против представления о чисто условных математических истинах, так и против примитивной идеи тождества геометрических соотношений с "очевидными" и непреложными физическими соотношениями. Логические конструкции пе дают априорных результатов при познании природы, они нуждаются в сопоставлении с экспериментом и в соответствии с ним обретают физическую содержательность. Априорной очевидности не существует. Но и эмпирическая очевидность - иллюзия. Геометрические понятия получают все новое и новое физическое содержание и при этом сами меняются. Все это характеризует путь, которым шел

71

Эйнштейн при создании и развитии теории относительности. Но вместе с тем сказанное характеризует эффект математической и физической подготовки Эйнштейна в юности. Все стало на свое место позже, после построения теории относительности, но строительные материалы заготовлялись раньше.

Чтобы охарактеризовать эти материалы, нужно указать, в каком виде они вошли в постройку, какие математические сведения оказались необходимыми Эйнштейну впоследствии. Повторим несколько систематичнее пояснения математических понятий, уже мелькавших раньше.

Вся совокупность теорем наиболее простой и элементарной геометрии, которую изучают в средней школе, основана па неизменной длине отрезка, переносимого с места на место и измеряемого в различных положениях. На этом следует остановиться, так как понятие неизменной длины отрезка подводит к понятиям, которые впоследствии понадобятся для изложения основ теории относительности.

Длина отрезка прямой - это расстояние между его концами. Мы определяем положение каждой точки через расстояния между нею и другими точками, а расстояния - через положения точек. Положение точки - относительное понятие, оно может быть определенным, если указано, по отношению к каким другим точкам, линиям и поверхностям оно определено. Даже такие, не связанные с количественным измерением определения положения, как "сверху", "снизу", "справа", "впереди", тоже требуют указания на другие точки, линии и поверхности, по отношению к которым данная точка находится "снизу", "впереди" и т.д. Декарт нашел способ, с помощью которого можно количественно определить положение точки в пространстве. Если это пространство - плоскость, то нужно провести через некоторую точку на плоскости - начало отсчета - две взаимно перпендикулярные прямые, затем опустить на эти прямые (они называются осями координат) перпендикуляры из данной точки. Длины этих перпендикуляров - координаты данной точки - определяют ее положение на плоскости. Пространство, в котором положение точки определяется двумя координатами, называется двумерным. Оно не обязательно должно быть плоским и может быть кривой поверхностью, например поверхностью сферы. Такова поверхность Земли, положение на этой поверхности определяется расстоянием от полюса (или от экватора) и от меридиана, принятого за начальный. Здесь в такой координатной системе (системе отсчета) осями служат уже не прямые, а кривые линии.

Чтобы определить положение точки с помощью декартовых координат в трехмерном пространстве, понадобится система, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки определяется тремя координатами - длинами опущенных на эти плоскости перпендикуляров.

Мы можем заменить данную декартову систему координат иной декартовой системой, выбрав новое начало координат или проведя в ином направлении взаимно перпендикулярные оси. Такая замена называется преобразованием координат. Она меняет значения координат, но не меняет длины отрезка. Если нам известны координаты одного конца отрезка и координаты другого конца отрезка, мы можем вычислить его длину. Перейдя к иной системе отсчета, получив новые значения координат концов отрезка и вычислив вновь его длину, мы получим ту же самую величину, что и при измерении положения концов отрезка в старой координатной системе. Длина отрезка принадлежит к числу величин, которые не меняются при преобразовании координат и называются инвариантами таких преобразований.

Когда знакомишься с этими геометрическими понятиями, воображение рисует их физические прообразы. Отрезок представляется нам, например, штангой - двумя металлическими шарами, которые сохраняют между собой одно и то же расстояние - они образуют жесткую механическую систему. Координатные оси на плоскости представляются двумя перпендикулярными прямыми, начерченными на столе, на полу или на земле. Под понятие трехмерной системы отсчета мы подставляем конкретный образ трех бесконечно простирающихся плоскостей - что-то вроде бесконечного пола и двух бесконечных перпендикулярных стенок, прикрепленных к кораблю, на котором мы путешествуем, или к Земле, Солнцу, Сириусу и т.д. Нам кажется, что длина штанги (или размеры и форма другой, более сложной материальной системы) не меняется при измерении координат ее точек в системе корабля, в системе Земли и т.д., т.е. что мы можем взять любую начальную точку отсчета, чтобы описать геометри-

73

ческие свойства реальных тел. Такую равноправность всех точек при выборе начала координат мы называем однородностью окружающего нас пространства. Мы можем теперь сказать, что Коперник, лишивший систему координат, связанную с Землей, ее привилегированного характера, показал однородность мирового пространства. Но при этом мы уже, по существу, утверждаем, что при переходе к иной системе координат (Коперник прикрепил ее к Солнцу) не меняются не только форма и размеры тел, но и их поведение.

Соответственно мы приходим к представлению о равноправности направлений в окружающем нас пространстве - такая равноправность называется изот